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8x2Rn; f(x) =ekxk2x:
1) Montrer que la fonctionfest de classeC1surRnet que l'on a
8x2Rn;8h2Rn; Df(x)h=ekxk2h2hx;hiekxk2x:
2) SoitB=
x2Rn=kxk<1p2 . Montrer queDf(x) est inversible pour toutx2B. (Indication : On pourra considerer kerDf(x))3) a) Soit':R!Rla fonction denie par'(t) =tet2,t2R.
Etudier le sens de variation de'et montrer que'induit une bijection deh 0;1p2 i surh0;e1=2p2
i b) En deduire quefest injective sur la bouleB.4) Montrer quefest unC1dieomorphisme de la bouleBdans un ouvert que l'on precisera.
Exercice 3.SoitT:Rn!Rnune application de classeC1telle queT(0) = 0. On suppose que 1 n'est pas une valeur propre deDT(0).1. Montrer quef:Rn!Rn,x7!T(x)x, est unC1dieomorphisme d'un voisinage de
0 dans un voisinage de 0.
2. En deduire que 0 est un point xe isole deT.
3. SoitS:Rn!Rnune application de classeC1. Montrer qu'il existe >0 et un voisinage
Ude 0 dansRntels que, pourjj< , l'applicationT:Rn!Rn; x7!T(x)S(x) admet un unique point xexdansU. Que peut-on dire sur la regularite de l'application 7!x? (Indic. On pourra appliquer, en le citant correctement, le theoreme des fonctions im- plicites a la fonction appropriee)4.( Bonus )Application :Soit l'applicationG:R4!R4denie par
G(x;y;z;t) =0
BB@2xex+y+te(x2+y2)
sin(z) +tcos(x+yz)2ycos(x) +t
t1 CCA;8(x;y;z;t)2R4:
Montrer qu'il existe >0 et un voisinageUR3de 0 tels que, pour toutjtj< , l'applicationGadmet un point xe unique dansU ftg. (Indic. On pourra remarquer queG(x;y;z;t) = (T(x;y;z) +tS(x;y;z);t) ouTetS verient les hypotheses de la question precedente).Exercice 4.R
nest muni de son produit scalaire canoniqueh;iet on notek kla norme euclidienne associee. Soientb2Rn,A2 Mn(R) une matrice inversible etJ:Rn!Rdenie parJ(x) =12
hAx;Axi hb;xi;8x2Rn:1. Montrer queJest de classeC2.
2. CalculerDJ(x) etD2J(x) pour toutx2Rn.
3. Montrer queATAest une matrice symetrique denie positive.
4. Determiner l'unique point critique deJainsi que sa nature (locale).
5. Montrer queJ(x)!
kxk!+1+1.6. En deduire inf
x2RnJ(x).Exercice 5.(Facultatif)
On considere la fonctionf:R2!Rdenie par
f(x;y) =y3+12 x2xyyx :1. Determiner les points critiques defet leur nature (locale).
2. Montrer que
inf y0f(x;y)! jxj!+1+1et infx2Rf(x;y)!y!+1+1:3. Montrer quefadmet un minimum (global) surR+R+et le determiner. (Indic. : On
pourra etudier separementfsur les 2 demi-axesf0g R+etR+ f0g).4. Montrer quefadmet un minimum (global) surRR+et le determiner.
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