[PDF] Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie – février

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A. P. M. E. P.

?Corrigédu baccalauréat S (obligatoire)?

Nouvelle Calédonie- février 2020

Exercice16 points

Commun à tous les candidats

PartieA

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ parf(x)=(ax+b)e-1 2x,

oùaetbdésignent deux nombresréels. Onadmetque cette fonction est dérivablesur l"intervalle

[0 ;+∞[ et on notef?sa fonction dérivée. Sa courbe représentativeCfest tracée ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012

Elle coupel"axedesordonnéesaupointd"ordonnée1etadmetunetangentehorizontaleaupoint d"abscisse 1.

1.f(0)=1 etf?(1)=0.

2.f?(x)=a×e-1

2x+(ax+b)×?

-12? e -1 2x=? a-12ax-12b? e -1 2x=? -12ax-12b+a? e -1 2x

2xetf?(x)=?

-12ax-12+a? e -1 2x. f ?(1)=0??? -1

2a-12+a?

e -1

2=0??12a-12=0??a=1

Donca=b=1; on en déduit quef(x)=(x+1)e-1

2xet quef?(x)=?

-12x+12? e -1 2x.

PartieB

On admet que la fonctionfest définie sur [0 ;+∞[ par :f(x)=(x+1)e-1 2x.

1. a.f(x)=(x+1)e-1

2x=xe-12x+e-12x=x

e12x+e-1

2x=212x

e12x+e-1 2x=2? 12x e12x? +e-1 2x b.• On sait que limX→+∞e X

X=+∞donc limX→+∞XeX=0.

On poseX=1

2x; limx→+∞X=+∞. On peut donc dire que limx→+∞1

2x e12x=0. • On sait que lim

X→+∞e-X=0.

On poseX=1

2x; limx→+∞X=+∞. On peut donc dire que limx→+∞e-1

2x=0.

On peut donc déduire que lim

x→+∞f(x)=0.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.f?(x)=?

-12x+12? e -1 2x

Or, pour toutx, e-1

2x>0 doncf?(x) est du signe de-12x+12qui s"annule et change de

signe pourx=1. f(0)=1;f(1)=2e-1

2et limx→+∞f(x)=0

On établit le tableau des variations defsur [0 ;+∞[ : x0 1+∞ -12x+12+++0--- f?(x)+++0--- 2e-12 f(x) 10

3.On complète le tableau de variations en plaçant le nombre 0,07 :

x0 1+∞ 2e-12 f(x) 10

0,07α

On en déduit que l"équationf(x)=0,07 admet une solution unique dans [0 ;+∞[.

4.En utilisant la calculatrice, on trouveα≈10,14 ce qui donne 10 comme arrondi à l"unité.

PartieC - Modélisationd"un tas de sable

Danscette partie,on considère que lacourbe dela fonctionfmodélise leprofild"un tas de sable. La longueurxet la hauteurf(x) sont exprimées en mètres.

Ainsi, le fait quef(0)=1 signifie qu"à son extrémité gauche, la hauteur du tas de sable est de 1

mètre. On souhaite que le tas de sable soit limité par deux murs comme indiqué sur le schéma

ci-dessous. Le mur de gauche coïncide avec l"axe des ordonnées et le mur de droite est placé de

telle sorte que la hauteur de sable à cet endroit est de 7 cm. x f(x)

1.Une hauteur de 7 cm correspond à 0,07 m; il faut donc savoir à quelle distancexdu mur

de gauche le mur de droite doit être placé pour quef(x)=0,07. Cette distance est deαsoit environ 10 mètres.

2.SoitGla fonction définie sur [0; 10] parG(x)=(-2x-4)e-1

2x. G ?(x)=(-2)×e-1

2x+(-2x-4)×?

-12? e -1

2x=(-2+x+2)e-12x=xe-12x

Donc la fonctionGest une primitive de la fonctiongdéfinie sur [0; 10] parg(x)=xe-1 2x.

3.f(x)=(x+1)e-1

2x=xe-12x+e-12x=g(x)+e-12x

La fonctionGest une primitive deg. On cherche une primitive de la fonctionx?-→e-1 2x; c"est la fonctionx?-→e-1 2x -12soit la fonctionx?-→-2e-1 2x. La fonctionfa donc pour primitive la fonctionFdéfinie par

F(x)=G(x)-2e-1

2x=(-2x-4)e-12x-2e-12x=(-2x-6)e-12x.

Nouvelle Calédonie2février 2020

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.Pour pouvoir créer un terrain de sport sur sable, on décide deniveler le tas de sable, c"est-

à-dire de l"étaler à une même hauteur entre les deux murs.

La hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé estégale à la valeur moyenne de

la fonctionfsur [0 ; 10], soit 1 10-0? 10 0 La hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé estdonc d"environ 58 cm.

Exercice25 points

Commun à tous les candidats

Les probabilités seront arrondies si nécessaire au millième.

PartieA

Une antenne relais chargée d"acheminer des communicationsest exploitée par trois opérateurs :

l"opérateur A, l"opérateur B et l"opérateur C. Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).

On dispose des données suivantes :

• 40% des communications passent par l"opérateur A;

25% des communications passent par l"opérateur B;

•• 10% des communications passant par l"opérateur A utilisent le canal vocal; • 20% des communications passant par l"opérateur B utilisent le canal vocal; • 20% de l"ensemble des communications utilisent le canal vocal. On choisit une communication au hasard et on considère les évènements : •A: "la communication passe par l"opérateur A»; B: "la communication passe par l"opérateur B»; ••C: "la communication passe par l"opérateur C»; •V: "la communication utilise le canal vocal».

1.À l"aide des valeurs de l"énoncé, on complète les pointillésindiqués sur les branches de

l"arbre pondéré donné enANNEXE.

2.La probabilité que la communication passe par l"opérateur Aet utilise le canal vocal est

3.La communication passe par l"opérateur C.La probabilité qu"elle soit acheminée par le canal vocal estPC(V)=P(C∩V)

P(C). On calculeP(C∩V) en utilisant la formule des probabilités totales :

DoncPC(V)=P(C∩V)

P(C)=0,110,35≈0,314.

PartieB

Cette antenne relais couvre une zone géographique bien définie appelée cellule. Dans cette cel-

lule, les ressources radio sont limitées à 350 appels simultanés. Cela signifie qu"au-delà de 350

appels, l"antenne relais est saturée. Dans cette cellule, 1600 personnes possèdent chacune un téléphone mobile. À un instant donné, on choisit au hasard une personne parmi les 1600 personnes de la cellule.

On admet que la probabilité que cette personne passe un appeltéléphonique est égale à 0,2.

On admet en outre que les 1600 personnes de la cellule agissent indépendamment les unes des autres. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule.

Nouvelle Calédonie3février 2020

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.• Une expérience aléatoire admet deux issues : la personne passe un appel télépho-

nique avec une probabilité dep=0,2, ou non. • On réalise cette expérience dans les mêmes conditions 1600fois. Donc la variable aléatoireXégale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule suit la loi binomiale de paramètresn=1600 etp=0,2.

2.L"espérance de la variable aléatoireXestE(X)=np=1600×0,2=320.

Il y a donc en moyenne 320 personnes qui téléphonent à un instant donné.

3.Au-delà de 350 appels, l"antenne relais est saturée; donc laprobabilité que l"antenne ne

soit pas saturée estP(X?350)≈0,971.

PartieC

On considère une autre cellule dans laquelle le nombre de personnes passant un appel télépho-

nique au même moment est modélisé par une variable aléatoireYsuivant une loi normale d"es-

péranceμ=335 et d"écart-typeσinconnu,

1.On a constaté que, dans cette cellule, la probabilité que l"antenne soit saturée est 0,0015.

On rappelle que l"antenne est saturée lorsque le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est supérieur à 350. a.Sur l"ANNEXE, on a réalisé un croquis donnant l"allure de la courbe de la fonction densité de la variable aléatoireY. Onhachuresur cette annexe ledomaine correspondantàlaprobabilitéque l"antenne soit saturée. b.La probabilité que l"antenne soit saturée est 0,0015 ce qui veut dire queP(Y>350)=

0,0015 ce qui équivaut àP(Y?350)=1-0,0015=0,9985.

La variable aléatoireYsuit la loi normale de moyenneμ=335 et d"écart-typeσ>0 donc la variable aléatoireZ=Y-335

σsuit la loi normale centrée réduite.

Y?350??Y-335?15??Y-335

σ?15σ??Z?15σ

ChercherσtelqueP(Y?350)=0,9985 sachantqueYsuitlaloinormaledemoyenne μ=335 et d"écart-typeσ, équivaut à chercherσtel queP? Z?15 =0,9985 sachant queZsuit la loi normale centrée réduite.

La calculatrice donne

15

σ≈2,9678 ce qui donneσ≈5.

2.L"antenne dispose d"un mode "économie d"énergie» qui s"active lorsque moins de330 per-

sonnes passent un appel téléphonique au même moment. La probabilité que l"antenne soit en mode "économie d"énergie» estP(Y<330) qui vaut environ 0,159.

Exercice34 points

Commun à tous les candidats

PARTIEA

On considère l"équation (E)suivante :z3+2??

2-1?z2+4?1-?2?z-8=0, ayant pour inconnue

le nombre complexez.

1.(z-2)?z2+2?

2z+4?=z3+2?2z2+4z-2z2-4?2z-8

=z3+?2?

2-2?z2+?4-4?2?z-8

=z3+2??

2-1?z2+4?1-?2?z-8

2.On résout dansCl"équation (E).

(E)??(z-2)?z2+2?

2z+4?=0??z-2=0 ouz2+2?2z+4=0

Nouvelle Calédonie4février 2020

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• L"équationz-2=0 a pour solutionz1=2. • On résout l"équation (E?) :z2+2?

2z+4=0.

Δ=?2?

2?2-4×1×4=8-16=-8=-?2?2?2

Donc l"équation (E?) admet deux solutions complexes conjuguées z

2=-b+i?

2a=-2?

2+i×2?2

2=-?2+i?2 etz3=z2=-?2-i?2.

L"ensemble des solutions de (E) est donc :?

z

1=2 ;z2=-?

2+i?2 ;z3=-?2-i?2?

3.On écrit toutes les solutions de l"équation (E) sous forme exponentielle.

•z1=2=2e0 •z2=-? 2+i?2 |z2|=? 2?

2+??2?

2=?4=2

◦z2=2? 2 2+i? 2 2? =2? cos3π4+i sin3π4?

Doncz2=2ei3π

4 •z3= z2=2e-i3π4

PARTIEB

Dans cette partie, on cherche à déterminer les valeurs exactes de cos?3π 8? et sin?3π8? On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct

O ;-→u,-→v?

On considère les points A et B du plan complexe d"affixes respectiveszA=2 etzB=2ei3π

4et I le

milieu du segment [AB] d"affixezI.

O-→u-→

vA B I

1.OA=|zA|=2 et OB=|zB|=???

2ei3π4???

=2 Donc OA=OB et donc le triangle OAB est isocèle de sommet principal O.

2.• Le point I est le milieu de [AB] donc (OI) est une médiane du triangle OAB. Comme ce

triangle est isocèle en O, cette médiane est aussi bissectrice.

Donc, à 2πprès,?--→OA ,-→OI?

=1 2? --→OA ,--→OB?

MaiszA=2 donc--→OA=2-→u.

On peut donc dire que?-→u,-→OI?

=1 2? -→u,--→OB? •zB=2ei3π

4donc3π4est un argument dezB, donc à 2πprès,?-→u,--→OB?

=3π4.

On en déduit donc qu"une mesure de l"angle

?-→u,-→OI? est1

2×3π4soit3π8.

Nouvelle Calédonie5février 2020

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.D"après la partie A, on sait que-?2+i?2=2ei3π4donczB=-?2+i?2.

Le point I est le milieu de [AB], donczI=zA+zB

2=2-? 2+i?2 2=2-? 2 2+i? 2 2. zI|=???? 2-? 2 2? 2 2 2? 2

4-4?2+2

4+24=?

8-4?2

4=?2-?2

8etpourmodule?2-?2

donczI=? 2-?2? cos3π8+i sin3π8? En utilisant les formes algébrique et trigonométrique dezI, on a donc :? 2-?2? cos3π8+i sin3π8? =2-? 2 2+i? 2 2.

On en déduit que cos

3π 8=2-? 2

2?2-?2=?

2-?2

2et que sin3π8=?

2

2?2-?2

Exercice45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1.On considère la suite(un)définie paru0=6 et pour toutn,un+1=3

4un+1.

Affirmation1 :Pour tout entier natureln,un=2?3

4? n +4. En calculant les premiers termes de la suite, on peut conjecturer que cette affirmation est vraie.

Démontrons par récurrence queun=2?3

4? n +4. • Pourn=0,un=u0=6 et 2?3 4? n +4=2?34? 0 +4=2+4=6.

Donc la propriété est vraie au rang 0.

• On suppose la propriété vraie pour un rangn?0 quelconque; c"est-à-direun=2?3 4? n +4.

On va démontrer qu"elle est vraie au rangn+1.

u n+1=3

4un+1=34?

2?34? n +4? +1=34×2?34? n +34×4+1=2?34?
n+1 +3+1 =2?3 4? n+1 +4

Donc la propriété est vraie au rangn+1.

• La propriété est vraie au rangn=0 et elle est héréditaire pour toutn?0 donc, d"après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour toutn?0.

Affirmation1 vraie

2.Soit(tn)une suite géométrique de premier termet0=2 et de raison1

4. On appelleSnla somme desn+1 premiers termes de la suite(tn), soitSn=t0+t1+...+tn.

Affirmation2 :La suite(Sn)a pour limite+∞.

D"après le cours sur les suites géométriques,

Sn=t01-qn+1

1-q=21-?1

4? n+1

1-14=21-?1

4? n+1 3

4=2×43?

1-?14?

n+1? =83?

1-?14?

n+1?

Or-1<1

4<1 donc limn→+∞?

14? n+1 =0. On déduit que limn→+∞Sn=83.

Affirmation2 fausse

Nouvelle Calédonie6février 2020

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.On définit la suite(cn), pour tout entier naturelnnon nul, parcn=1+cos(n)n.

Affirmation3 :La suite(cn)est convergente.

On sait que pour toutn,-1?cos(n)?1 donc pour toutn>0,-1n?cos(n)n?1net donc 1-1 n?cn?1+1n. • Soit (un) la suite définie surN?parun=1-1 n; on sait que limn→+∞1n=0 donc lim n→+∞un=1. • Soit (vn) la suite définie surN?parvn=1+1 n; on sait que limn→+∞1n=0 donc lim n→+∞vn=1. • On a vu que, pour toutn>0,un?cn?vn. D"après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite (cn) converge vers 1.

Affirmation3 vraie

4.Dans un repère orthonormé?

O ;-→ı,-→?,-→k?

de l"espace, on considère les points A(1; 2; 0) ,

B(3; 0; 6) , C(6 ;-1 ; 9) et D(-4 ; 4 ;-6).

Affirmation4 :Les droites (AB) et (CD) sont sécantes. On cherche les représentations paramétriques des droites (AB) et (CD). • Le vecteur --→AB a pour coordonnées (2 ;-2 ; 6). Donc la droite (AB) a pour représentation paramétrique???x=1+2t y=2-2t z=6t,t?R. • Le vecteur --→CD a pour coordonnées (-10 ; 5 ;-15). Donc la droite (AB) a pour représentation paramétrique???x=6-10s y= -1+5s z=9-15s,s?R. Les droites sont sécantes s"il existe un couple (t,s) tel que :???1+2t=6-10s

2-2t= -1+5s

6t=9-15s

La3

1+3-5s=6-10ssoit 5s=2 doncs=2

5.

De 2t=3-5sets=2

5, on déduit 2t=3-2×25soit 2t=1 donct=12.

En prenantla2

eéquation, ona: 2-2t=2-2×1

2=1, et-1+5s=-1+5×25=-1+2=1.

Les deux droites sont donc sécantes.

En remplaçanttpar1

2ouspar25, on peut calculer les coordonnées du point d"inter-

quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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