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Rayonnement d"une antenne demi-onde.

Une antenne est un conducteur filiforme rectiligne (sur l"axeOz), de longueurafinie (et centr´e sur

le pointO), parcouru par un courant sinuso¨ıdal de la formeI(z,t) =f(z) cosω t.

Question 1:

Peut-on se placer dans l"hypoth`ese du r´egime quasi-stationnaire? Que peut-on dire

de l"intensit´e aux extr´emit´es de l"antenne? Montrer quef(z) =I0cos(π z/a)v´erifie ces

conditions aux limites. Expliquer la d´enomination"antenne demi-onde». L"antenne peut-

elle ˆetre assimil´ee `a un dipˆole oscillant? En admettant, car une justification rigoureuse

nous m`enerait bien trop loin, queI(z,t)v´erifie l"´equation de d"Alembert dans le vide, en d´eduire la valeur de la pulsation.

Si l"on ´etait dans l"hypoth`ese du r´egime quasi-stationnaire, le courant serait uniforme dans le fil et

ce n"est pas le cas.

Bien ´evidemment, l"intensit´e doit s"annuler aux extr´emit´es sinon il y aurait accumulation de charges,

impossible en l"absence de condensateur. La fonctionf(z) doit s"annuler aux extr´emit´es, on peut donc

proposer une analogie avec les cordes vibrantes et affirmer quef(z) est d´ecomposable en fondamental

et harmoniques. Le fondamental est tel que la longueur de l"antenne soit une demi-longueur d"onde

(d"o`u le nom de l"antenne) etf(z), de p´eriode 2a,s"´ecrit alorsf(z) =I0cos(π z/a) pour s"annuler en

z=±a/2.

Par essence, la taille de l"antenne n"est pas n´egligeable devant la longueur d"onde (c"en est la moiti´e)

et l"on ne peut donc pas reprendre les r´esultats du cours pour trouver le champ rayonn´e.

On reporteI(z,t) =I0cos(π z/a) cosω tdans

2I∂t

2=c2∂2I∂x

2 et l"on tire sans peine queω=π c/a

Question 2:

On isole par la pens´ee une portionMM?de l"antenne entrezetz+ dzavecdz?λ. Montrer que l"on doit consid´erer qu"existe enMetM?des charges fictives oppos´ees dont on calculera l"expression. En d´eduire que cette portion d"antenne se comporte comme un dipˆole oscillant dont on pr´ecisera le moment. Pendant un temps dtle courantI(z,t) qui circule deM(cotez) `aM?(cotez+dz) transporte une

charge dq=Idtqui est pr´elev´ee enMet apport´ee enM?. Il y a donc apparition de chargesqenM?

et-qenMavec dq=Idt; donc dqdt=I(z,t) =I0cos(π z/a) cosω t d"o`uq(z,t) =I0ω cos(π z/a) sinω t Ce couple de chargesqenM?et-qenMest un dipˆole de moment ´el´ementaire d cos(π z/a) sinω tdz-→ez que l"on note dp(z,t)-→ez 1

Question 3:

Calculer, en reprenant les formules du cours, le champ ´electromagn´etique ´el´ementaire

cr´e´e par cette portion d"antenne en un pointPtr`es ´eloign´e dans une direction faisant

l"angleθavecOz.

On appellerMla distance?--→MP?,-→erle vecteur unitaire de--→MP,-→eθle vecteur unitaire directement

perpendiculaire `a

-→erdans le plan m´eridien contenantOzetPet enfin-→e?=-→er?-→eθ. Les formules du

cours o`u l"on remplacep(t) par dp(z,t) donnent : d -→E(P,t) =μ04πsinθr

Mω2dp(z,t-rM/c)-→eθ

d -→B(P,t) =μ04π csinθr

M¨dp(z,t-rM/c)-→e?=-μ04π csinθr

Mω2dp(z,t-rM/c)-→e?

Question 4:

Pour un pointPtr`es ´eloign´e dans une direction faisant l"angleθavecOz, les vec-

teurs unitaires-→er,-→eθet-→e?d´ependent-ils de la position du pointMsur l"antenne? Mˆeme

question pour la distancerMde cotez? La variation derMaveczest-elle importante?

Nuancez cette derni`ere r´eponse!

On peut consid´erer quePest `a l"infini dans la directionθet d`es lors les diff´erents segmentsMP

sont parall`eles et la base locale peut ˆetre consid´er´ee comme ind´ependante du choix deM. Par contre,

r

Md´epend dez; il suffit de penser au th´eor`eme de Malus et aux raisonnements habituels en optique

physique. On appeller=rO=?--→OP?etHla projection deMsurOM; classiquement r

M=r- ?--→OH?=r-zcosθLa variation entreretrMest minime carz?ret elle est effectivement n´egligeable dans le terme

en 1/rMmais ce n"est plus vrai dans le terme sinuso¨ıdal car dans celui-ci ce n"est pas la valeur derM

qui compte mais le reste de la division parλqui va donc varier entreOetMdezcosθ/λce qui n"est

pas du tout n´egligeable puisquez≂a=λ/2

Question 5:

En d´eduire, sous forme int´egrale, les champs cr´e´es par l"antenne. Le calcul de l"int´egrale

pourra ˆetre effectu´e par un logiciel de calcul formel ou son r´esultat admis. Proc´edons avec calme et m´ethode. Le cours donne (cf supra) d -→E(P,t) =-μ04πsinθr

Mω2dp(z,t-rM/c)-→eθ

pour d

-→B, on remplace-→eθpar-→e?et l"on divise parc, abstenons-nous donc de cette r´e´ecriture. On

remplacerMparrdans le terme en 1/rMet parr-zcosθdans le terme sinuso¨ıdal d -→E(P,t) =-μ04πsinθrω2dp(z,t-r/c+zcosθ/c)-→eθ 2 d´esormais on noterat?=t-r/c dEθ(P,t) =-μ04πsinθr

ω2dp(z,t?+zcosθ/c)

On y reporte (cf supra)

dp(z,t) =I0ω cos(π z/a) sinω tdz d"o`u dEθ(P,t) =-μ04πsinθr

ω2I0ω

cos(π z/a) sinω(t?+zcosθ/c)dz dEθ(P,t) =-μ0I04πsinθr

ωcos(π z/a) sinω(t?+zcosθ/c)dz

et il ne reste qu"`a int´egrer E

θ(P,t) =-μ0I04πsinθr

a/2 -a/2cos(π z/a) sinω(t?+zcosθ/c)dz

sans toutefois oublier (cf supra), car cela induit des simplifications, queω=π c/aque je n"´ecris que

l`a o`u c"est utile E

θ(P,t) =-μ0I04πsinθr

a/2 -a/2cos(π z/a) sin(ω t?+π zcosθ/a)dz Le changement de variableu=π z/aet quelques lignes de calcul de routine, pourvu que l"on maˆıtrise sa trigonom´etrie, donnent pour l"int´egrale a/2 -a/2···=2aπ cos?π2 cosθ?sin

2θsinωt?

et puisqueaetωsont li´es par (cf supra)ω=π c/a a/2 -a/2···=2cω cos?π2 cosθ?sin

2θsinωt?

E

θ(P,t) =-μ0cI02π rcos?π2

cosθ?sinθsinωt?

Question 6:

Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting et comparer sa d´ependance en

θpar rapport au dipˆole rayonnant du cours. En d´eduire, sous forme int´egrale, la moyenne

temporelle de la puissance rayonn´ee. D´efinir une r´esistance d"antenne.

On passe de

-→E`a-→Bcomme expliqu´e plus haut et au vecteur de Poynting par-→Π =-→E?-→B/μ0, d"o`u-→Π = Π-→eravec Π =E2θ/μ0cet puisque la moyenne temporelle d"un sinus au carr´e est 1/2,

?Π?=μ0cI208π2r2cos

2?π2

cosθ?sin 2θ

On trouvera ci-dessous le graphe de la fonction

cos2(π2 cosθ)sin

2θsuperpos´e `a celui de sin2θ(en pointill´e

et pour le dipˆole oscillant) : l"antenne est `a peine moins directive que le dipˆole. 3 La puissance moyenne rayonn´ee en est le flux `a travers une sph`ere de rayonr ?P?=??

O?Π?dS=??

O?Π?r2sinθdθd?

L"int´egration sur?donne 2π, lesrse simplifient et ?P?=μ0cI204π? 0cos

2?π2

cosθ?sinθdθ Par analogie avec?P?=RI2eff=RI20/2, on peut d´efinir une r´esistance de rayonnement ou d"an- tenne ´egale `a

R=μ0c2π?

0cos

2?π2

cosθ?sinθdθ

Il est remarquable que le r´esultat soit une constante universelle; la litt´erature donne pour valeur

73 Ω

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