[PDF] Équations de droites 17 abr 2014 3) Repé

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“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 1 — #1?

GÉOMÉTRIE1

Équations de droites

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Évaluer la valeur d'une expression littérale ?Résoudre des équations ?Placer des points dans un repère ?Lire les coordonnées d'un point

Auto-évaluation

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1Soit l"expressiony=-3x+2.

1)Quelle est la valeur deysi :

a)x=-6?b)x=23?2)Quelle est la valeur dexsi : a)y=-5?b)y=-14?

2Soit l"expressiony=0,4x-0,8.

1)Le couple (-2;5) vérifie-t-il cette égalité?

2)Le couple (0;-0,8) vérifie-t-il cette égalité?

3Soit la relation-5y-2x+4=0.

Exprimeryen fonction dex.

4Sur le graphique ci-contre :

1)Quelles sont les coordonnées du point d"intersec-tion de la

droite(HE)avec l"axe des ordonnées?

2)Quelles sont les coordonnées du point d"intersec-tion de la

droite(AF)avec l"axe des abscisses?

3)Repérer les points de ladroite(AF)qui ont des co-

ordonnées entières et citer-les.

4)Quelle est l"abscisse du point d"intersection desdroites

(HE)et(AF)?+1 +10 A+E+F +H 1 “MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 2 — #2?

Activités d'approche

DÉBAT1Zoom

Dans un repère orthonormal(O;I,J), construire la droite(d)passant par les pointsA(67;41) etB(-23;-4)pour des abscisses de-5 à 5. Présenter, en argumentant, la méthode choisie.

ACTIVITÉ2Équations

SoientA(1;3),B(-2;3)etC(1;1)trois points du plan.

1)Quels sont, parmi les pointsA,BetC, ceux dont les coordonnées vérifient les équations

suivantes? Justifier chacune des réponses.

•E2:y=3•E4:y=x2-1x+1•E6:x2+y2=2

2)Où se trouvent les points du plan dont les coordonnées vérifientE1?

Les représenter dans un repère orthogonal.

3)Reprendre la question précédente avec, dans l"ordre :E2,E3,E4,E5etE6.

4)Classer les équations précédentes selon des critères à expliciter.

DÉBAT3Deux?

Il suffit de deux points distincts pour définir une droite maisest-ce vraiment nécessaire?

1)Tracer la droite(d1)passant par les pointsA(-2;4)etB(3;6).

2)Tracer la droite(d2)passant par le pointC(-3;-1)et de coefficient directeura=-1.

3)Tracer la droite(d3)passant par le pointD(2;-1)et d"ordonnée à l"origineb=3.

4)Tracer la droite(d6)passant par le pointF(3;4)et perpendiculaire à l"axe des abscisses.

5)De combien d"informations a-t-on besoin pour tracer chacune de ces droites?

ACTIVITÉ4Démonstration version 2.0

On définit la droite(AB)comme l"ensemble des pointsMalignés avecAetB. Samir, depuis qu"il a suivi le cours de Maths de son professeur M. Apa, préfère comme définition :

"la droite(AB)est l"ensemble des points M tels que# »AM soit colinéaire à# »AB».

1)Dans cette question, on considère les pointsA(-40;-155)etB(20;25).

M(x,y)est un point pris au hasard dans le plan mais distinct deA.

Traduire, avec ces coordonnées, la condition : "# »AM est colinéaire à# »AB».

En déduire une équation de la droite(AB).

2)Peut-on trouver l"équation de n"importe quelle droite à partir de deux de ses points?

DÉBAT5Point commun

1)Dresser un tableau de valeurs de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x-4 sur[-4;4]avec un

pas de 1. Quelle relation semble lier les images de deux nombres consécutifs de la 2eligne du tableau?

2)Étudier de même la fonctiongdéfinie parg(x) =-2x+3 pour confirmer votre conjecture.

3)Prouver votre conjecture.

2

Chapitre G1.Équations de droites

“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 3 — #3?

Cours - Méthodes

1.Équations de droites

DÉFINITION :Équation de courbe

Uneéquation de courbeest une relation qui lie les coordonnées de tous les points dela courbe. Autrement dit : un point appartient à une courbe si etseulement si ses coordonnées vérifient l"équation de la courbe. REMARQUE:Une courbe peut avoir plusieurs équations. Par exemple, "xy=4»et "2xy=8»sont des équations de la même courbe.

PROPRIÉTÉ :Équation d'une droite

Soit(d), une droite dans un repère(O;I,J).

Si(d)estparallèle à l"axe des ordonnéesalors (d)admet une équation de la formex=coùcest un nombre réel. Si(d)n"est pas parallèle à l"axe des ordonnéesalors (d)admet une équation réduite de la formey=mx+p,metpétant des nombres réels. PREUVEOn se place dans un repère orthonormal (O;I,J). •Si(d)estparallèleà l"axe des ordonnées, alors elle coupe l"axe des abscisses en un seul point,C, de coordonnées(c;0). Un pointMde coordonnées(x;y)pris au hasard sur cette droite aura la même abscisse queC. Donc la droite(d)admetx=ccomme équation.

•Si(d)n"est pas parallèleà l"axe des ordonnées,(d)et l"axe des ordonnées se coupent en un

point

B, de coordonnées(0;p).

Aest le point de la droite(d)d"abscisse 1.etMun point de coordonnées(x;y)pris au hasard sur la demi-droite [BA) et n"appartenant pas au segment [AB]. Les autres positions du point M et la réciproque seront étudiées dans l"exercice 67.
+-1+1+2+3+4+5+6 +-1+ 1+ 2+ 3+ 4 0

×B(0;p)

×M(x;y)

×D(1;p)×C(x;p)

×A(1;yA)

y-p y A-p 1 x

On place les pointsCetDd"ordonnéep

de manière à ce queBMCsoit rectangle enCetBADsoit rectangle enD.

Ces deux triangles sont en configuration

de Thalès.

Il vient doncBD

BC=DACM=BABM.

Comme le repère est orthonormal, on

évalue ces longueurs à partir des coor-

données des points et l"égalité des deux premiers rapports devient : 1 x=yA-py-p. L"égalité des produits en croix donne :(yA-p)x=y-p. Les nombrespetyA-pne dépendent que de la position de la droite(d)dans le repère.

Ils sont fixes et on notem=yA-p.

(yA-p)x=y-pdevient alorsmx=y-psoity=mx+p. Donc tous les points de la droite(d)vérifient l"équationy=mx+p.

Chapitre G1.Équations de droites3

“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 4 — #4?

Cours - Méthodes

REMARQUES:

On considère le cas des droites non parallèles à l"axe des ordonnées.

Une droite a une infinité d"équations.

L"équation de la formey=mx+pest appelée

équation réduite.

Dans la démonstration précédente, le pointBd"ordonnéepest l"inter- section de la droite avec l"axe des ordonnées. pest appelé ordonnée à l"originede la droite(d). L"égalitéBDBC=DACMpermet aussi d"écrire queDABD=CMBC=m1=m. mest appelé le coefficient directeurde la droite(d). Les accroissements des ordonnées sont proportionnels aux accroisse- ments des abscisses etmest le coefficient de proportionnalité. +-1+1 +-1+ 1 0

B(0;p)M

DC Am 1 ExempleOn considère la droite(d)d"équationy=2x-3. Les pointsA(1;4)etB(-1;-5)appartiennent-ils à la droite(d)?

Correction

2xA-3=2×1-3=-1. Or,-1?=yA. DoncA/?(d).

2xB-3=2×(-1)-3=-5=yB. DoncB?(d).

MÉTHODE 1Trouver l'équation réduite d'une droite par le calculEx.20p. 234 Lorsque l"on connaît les coordonnées(x1;y1)et(x2;y2)de deuxpoints distincts d"une droite, •six1=x2, la droite estparallèleà l"axe des ordonnées.

Son équation réduite estx=x1.

•six1?=x2, la droiten"est pas parallèleà l"axe des ordonnées.

Son équation réduite est de la formey=mx+p.

•Lecoefficient directeurse calcule comme suit :m=y1-y2x1-x2oum=y2-y1x2-x1. •On calculel"ordonnée à l"originepavec les coordonnées de l"un ou l"autre des points en résolvant une équation d"inconnuep:y1=mx1+pouy2=mx2+p.

Exercice d'applicationSoientAetBdeux points de

coordonnées respectives(4;6)et(1;-2). Déterminer l"équation réduite de la droite(AB).

Correction

A(4;6)etB(1;-2)n"ont pas la même abscisse.

Donc la droite(AB)admet une équation réduite de la formey=mx+p. m=yA-yB xA-xBsoitm=6-(-2)4-1=83.

Ensuite,pest solution deyA=mxA+psoit

6=8

3×4+pdoncp=6-323=-143.

L"équation réduite de(AB)esty=8

3x-143.

ExempleLes pointsA(-1;1),B(2;10)etC(30;94)sont-ils alignés? CorrectionLes pointsAetBn"ont pas la même abscisse, donc l"équation réduite de la droite (AB)est de la formey=mx+pavecm=yB-yA xB-xA=10-12-(-1)=93=3. p=yA-mxA=1-3×(-1) =1+3=4. L"équation réduite de la droite(AB)esty=3x+4. mx

C+p=3×30+4=94=yC. DoncC?(AB).

Donc, les pointsA,BetCsont alignés.

4

Chapitre G1.Équations de droites

“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 5 — #5?

Cours - Méthodes

MÉTHODE 2Trouver l'équation réduite d'une droite par lecture graphiqueEx.17p. 234 •Si la droite estverticale, il suffit de lirec, l"abscisse du point d"intersection de la droite avec l"axe des abscisses. L"équation réduite de la droite est alorsx=c. •Sinon, l"équation réduite de la droite est de la formey=mx+p. •pest l"ordonnéedu point d"intersection de la droite avec l"axe des ordonnées. •mest l"accroissement des ordonnées(positif ou négatif) lorsque l"on passe d"un point de la droite à un autre point dont l"abscisse est augmentée d"une unité. Exercice d'applicationQuelles sont les équations des droites(d1)et(d2)? +-10+-5+5+10 +50
(d1) (d2)

Correction

•La droite(d1)n"est pas parallèleà l"axe des ordonnées donc son équation réduite est de la formey=mx+p.

Elle coupe l"axe des ordonnées au point

de coordonnéesA(0;4)doncp=4.

Pour déterminerm, on choisit un autre

point de la droite de coordonnées entières. +5 +50
(d1) -4 +6 m=-4

6=-23.

L"équation de la droite(d1)est :y=-2

3x+4. •La droite(d2)estparallèleà l"axe des ordon- nées. Elle coupe l"axe des abscisses au point de coordonnées(4;0).

L"équation de la droite(d2)estx=4.

2.Représentation graphique d'une fonction affine

PROPRIÉTÉ :Représentation graphique d'une fonction affine Soitmetpdeux nombres réels etfla fonction affine définie parf(x) =mx+p. Les coordonnées(x;y)de tous les points de la représentation graphique de la fonctionfsont liées par la relationy=mx+p. Il s"agit d"une droitenon parallèleà l"axe des ordonnées. Sim=0, la fonction est diteconstanteet sa représentation graphique a pour équationy=p. Sip=0, la fonction estlinéaireet sa représentation graphique a pour équationy=mx. MÉTHODE 3Construire la courbe représentative d'une fonction affineEx.30p. 235 Exercice d'applicationDans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction fdéfinie parf(x) =-2x+5.

CorrectionLa fonctionfest affine, sa représen-

tation graphique est une droite et il suffit de connaître deux de ses points. x03 f(x)5-1

Points à placerA(0;5)B(3;-1)

+-2+2+4+6 +2+ 4 0 +A +B

Chapitre G1.Équations de droites5

“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 6 — #6?

Cours - Méthodes

3.Droites parallèles, droites sécantes

Voici un tableau récapitulatif des positions relatives de deux droites à partir de leur équation réduite.

Équation deDx=cy=mx+p

Équation deD?x=c?x=c?y=m?x+p?

Positions relatives

deDetD?DetD" sont parallèlesDetD" sont sécantesm=m?m?=m?

DetD?sont

parallèlesDetD?sont sécantes

Représentation

+I +J O

• •c c?

DD? 1 +I +J O•

•pc?

DD? 2 +I +J

O••p

p D D 3 +I +J O D D 4• p ?p MÉTHODE 4Interpréter un système de deux équations linéairesEx.49p. 236

Lors de larésolutiond"un système de deux équations linéaires du premier degré à deux in-

connuesavec des coefficientsnon nuls, chaque équation peutse transformer en une équation

réduite de droite.Résoudre un tel systèmerevient à chercher les éventuels points d"inter-

section de deux droites à partir de leurs équations réduites. Ces deux droites peuvent être :

•sécantes(coefficients directeurs différents). Le système a uneuniquesolution. •confondues(même équation réduite). Le système a uneinfinitéde solutions. •strictement parallèles. Le système n"aaucunesolution. Exercice d'applicationRésoudre les systèmes. 1)

5x+2y=2

15x+6y=4

2)

6x+2y=9

2x-y=-3

3)

3x-6y=18

x-2y=6

Correction

1)Le système devient???????y=-52x+1

y=-5 2x+23 On reconnaît deux équations de droites paral- lèles non confondues (figure 3), ce système n"a pas de solution. 2)

6x+2y=9

2x-y=-3devient?????y=-3x+9

2 y=2x+3 On reconnaît deux équations de droites sé- cantes (figure 4).

La solution de ce système est unique.

-3x+9

2=2x+3 donnex=310

ety=2x+3 donney=18 5.

La solution est le couple

3

10;185?

3)

3x-6y=18

2x-3 y=1 2x-3 Il s"agit de la même équation de droite. Les so- lutions sont les couples de coordonnées de tous les points de la droite d"équationy=1 2x-3. 6

Chapitre G1.Équations de droites

“MS2_2G5_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:43 — page 7 — #7?

S'entraîner

Activités mentales

1Parmi les équations suivantes, lesquelles sont des

équations de droites?

1)y=⎷3x-23)x=57

2)yx=24)y= (x-2)2-(x+6)2

2On donne le graphique ci-contre.

1)Quelle est l"ordonnée à l"originede cette droite?

2)Quel est le coefficient directeurde cette droite?+1

+10

3Donner les équations réduites des droites.

1) +1 +10 3) +1 +10 2) +1 +10 4) +1 +10

4Quelle est l"équation réduite de la droite d"équa-

tion : 3x-6y=2?

5Le point A de coordonnées(-2;3)appartient-il à

la droite d"équationy=4x+5?

6La droite(D1)d"équationy=156x-5 et la droite

(D2)d"équationy=20

8x+5 sont-elles parallèles?

7Déterminer l"intersection des droites(D1)et(D2)

d"équations respectivesy=5x-7 etx=-4.

8Quel est le nombre de solutions des systèmes?

1) y=-1,5x+2,4 y=-1,5x-8 2) y=5x-1 y=7x-1

Équations de droites

9Indiquer si l"équation proposée est une équation

de droites. Préciser l"ordonnée à l"origine et le coeffi- cient directeur le cas échéant.

1)y2=3x-24)x=3

2)y=-5x+75)y=5x2+5

3)x4=16)y=-3x+15

10Même consigne que l"exercice9.

1)-23x+57=y4)x-3=5

2)2y=-5x+75)0=17x

3)x=-316)-3x+1

y=1

11Vérifier si le pointC(3;7)appartient à chacune

des droites dont les équations sont données ci-dessous.

1)y=3x+23)y=-2x-2

2)y=3x-24)y=-2x+13

12Vérifier si le pointD(-4;1)appartient à chacune

des droites dont les équations sont données ci-dessous.

1)y=2x+13)y=-3x-11

2)y=2x+94)y=-x+3

13Vérifier si le pointE?

56;-73?

appartient aux droites dont les équations sont données ci-dessous.

1)y=2x+13)y=-6x-15

2)y=2x-94)y=-5x+3

14Vérifier si le pointF(-1;-2)appartient à chacune

des droites dont les équations sont données ci-dessous.

1)y=15x+453)y=-67x-1514

2)y=23x-434)y=1217x+311

15Indiquer si l"équation proposée est celle d"une

droite parallèle à un axe du repère et préciser lequel, le cas échéant.

1)y=5x-174)y=5

2)x=2,55)y=-12x+7

3)y=-3x-126)y=2x

16Même consigne que l"exercice15.

1)y=3x+73)y=x5)y=23x+37

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