[PDF] S Pondichéry avril 2016 2.a. Montrer que le





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S Pondichéry avril 2016

2.a. Montrer que le vecteur ?. AG est normal au plan (IJK). b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK). 3. On désigne par M un point du segment 





Nouvelle-Calédonie-novembre-2014.

c. Montrer que le vecteur ?n de coordonnées (3;1;4) est un vecteur normal au plan (IJK) . En déduire une équation cartésienne de ce plan. 2. Soit p le plan 



Pondichéry 2016. Enseignement spécifique

2) a) Montrer que le vecteur. -?. AG est normal au plan (IJK). b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK). 3) On désigne par M un point du segment [ 



Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

a) Prouver que le vecteur??n de coordonnées (8; 9; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z 



Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

3) Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Démonstration : Elle est incluse dans 



Exercices : révisions fonctions E 1

AG est normal au plan (IJK). (b) Démontrer que la distance M I est minimale pour le point M ... est un vecteur normal au plan (ABC).



TS. Contrôle 5 -Correction 1 ( 6 points ) Lespace est rapporté au

Démontrer que le vecteur n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan. Une équation du plan (IJK) est donc :.



Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire

https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-s-mathematiques-centres-etrangers-2018-obligatoire-corrige-exercice-4-geometrie-dans-l-espace.pdf

Qu'est-ce que le plan de vecteur normal ?

Le plan P de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que . Si , alors une équation cartésienne du plan P est de la forme ax + by + cz + d = 0 . Si le plan P a pour équation ax + by + cz + d = 0 , alors le vecteur est un vecteur normal à P . Une équation de la sphère de centre I ( a ; b ; c) et de rayon R est .

Comment obtenir un vecteur normal ?

Généralement, on peut obtenir un vecteur normal de deux façons différentes : en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan; à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).

Comment calculer un vecteur ?

Partie B: 1. Justifier que le vecteur est un vecteur normal au plan (MNP). En déduire une équation cartésienne du plan (MNP). M( 1 ; 0 ; ½) ; N( 1 ; 1 ; -½) ; P( 0 ; ½ ; ½ ).

Comment reconnaître un vecteur non nul colinéaire ?

Alors, tout vecteur non nul colinéaire à vec {n} n est aussi un vecteur normal de (P) (P). Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l’un est un vecteur normal de l’autre. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.

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Exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1

Le point I est le milieu du segment [BF]

Le point J est le milieu du segment [BC]

Le point K est le milieu du segment [CD]

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L. Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction . le point L ; . l'intersection d des plans (IJK) et (CDH) ; . le section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L'espace est rapporté au repère (A;⃗AB;⃗AD;⃗AE)1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

2.a. Montrer que le vecteur

⃗AG est normal au plan (IJK). b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l'intervalle [0;1] tel que :

⃗AM=t⃗AG a. Démontrer que MI2=3t2-3t+5 4 b. Démontrer que la distance est minimale pour le point M (1 2;1 2;1

2)4. Démontrer que pour ce point M

(1 2;1 2;1

2) a. M appartient au plan (IJK).

b. La droite (IM) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

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ANNEXE

EXERCICE 3

(à compléter et à remettre avec la copie)

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CORRECTION

Partie A

On joint la figure, donnée en annexe, complétée La droite d d'intersection des plans (IJK) et (CDH) est la droite (LK). La section du cube par le plan (IJK) est un hexagone (on peut démontrer que cet hexagone est 2).

Partie B

1. A(0;0;0) ; G(1;1;1) ;

I(1;0;1

2) ; J(1;1

2;0) ; K(1

2;1;0)2.a.

⃗AG est un vecteur normal au plan (IJK) si et seulement si le vecteur ⃗AG est orthogonal à

deux vercteurs non colinéaires du plan (IJK) par exemple les vecteurs ⃗IJ et ⃗IK. ⃗AG (1 1 1) ⃗IJ (0 1 2 -1 2) ⃗IK (-1 2 1 -1 2) ⃗AG.⃗IJ=1×0+1×1

2+1×(-1

2)=1 2-1 2=0 ⃗AG.⃗IK=1×(-1

2)+1×1+1×(-1

2)=-1 2+1-1 2=0

Conclusion

S Pondichéry avril 2016

Le vecteur ⃗AG est normal au plan (IJK).

b. M(x;y;z) appartient au plan (IJK) si et seulement si ⃗AG.⃗IM=0 ⃗AG (1 1 1) ⃗IM (x-1 y z-1

2) donc 1×(x-1)+1×y+1×(z-1

2)=0 (IJK):x+y+z-3 2=0

3. t est un nombre réel de l'intervalle [0;1], M(x,y,z)

⃗AM=t⃗AG ⇔ {x=t y=t z=t a. ⃗MI (1-t -t 1

2-t) MI2=(1-t)2+(-t)2+

(1 2-t)2 =t2-2t+1+t2+t2-t+1 4

MI2=3t2-3t+5

4 b. On détermine le minimum du trinôme : T(t)=3t2-3t+5

4 sur l'intervalle [0;1].

T'(t)=6t-3 6t-3⩾0⇔t⩾3

6=1 2

6t-3<0⇔t<1

2 T (1 2)=3 4-3 2+5 4=1 2

La distance minimale de MI est obtenue pour

t=1

2 donc pour le point M(1

2;1 2;1

2) Remarque

Cette distance minimale est égale à 1

2.

S Pondichéry avril 2016

4.a. (IJK):x+y+z-3

2=0 M(1

2;1 2;1 2) 1 2+1 2+1 2-3

2=0 donc M appartient au plan (IJK).

b.

A(0;0;0) ; G(1;1;1) ; M(1

2;1 2;1

2) donc le point M est le milieu de [AG] et M appartient à la droite (AG).

I et M sont deux points appartenant au plan (IJK) donc la droite (IM) est contenue dans le plan (IJK).

Le vecteur

⃗AG est normal au plan (IJK) donc (AG) est orthogonale à (IM).

Conséquence

Les droites (IM) et (AG) sont perpendiculaires.

. B(1;0;0) ; F(1;0;1) ; M (1 2;1 2;1

2) ; I(1;0;1

2) ⃗BF (0 0 1) ⃗IM (-1 2 1 2 0) ⃗BF.⃗IM=0×(-1

2)+0×(1

2)+1×0=0

Les vecteurs

⃗BF et ⃗IM sont orthogonaux donc les droites (BF) et (IM) sont orthogonales. I est le milieu de [BF] donc I appartient à la droite (BF).

Conséquence

les droites (IM) et (BF) snt perpendiculaires.

Conclusion

La droite (IM) est la perpendiculaire commune aux deux droites (non coplanaires) (BF) et (AG).quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30
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