[PDF] TS. Contrôle 5 -Correction 1 ( 6 points ) Lespace est rapporté au

View - Download TS. Contrôle 5 -Correction 1 ( 6 points ) Lespace est rapporté au

Previous PDF

Next PDF

TS. Contrôle 5 -Correction|

1( 6 points )L"espace est rapporté au repère orthonormal³

A ;¡¡!AB ,¡¡!AD ,¡¡!AE´

On considère le cubeABCDEFGHreprésenté sur l"annexe, à rendre avec la copie. On désigne parI,JetKles milieux respectifs des segments[BC],[BF]et[HF].

1.Déterminer les coordonnées des pointsI,JetK.

On a B(1 ; 0 ; 0) et C(1 ; 1 ; 0), donc

I µ

1 ;12

1 ; 0 ;12

µ12

;12 @2 1 11 A est orthogonal à¡!IKet à¡!IJ. En déduire qu"une équation du plan(IJK)est :4xÅ2yÅ2z¡5AE0. IK0 1/2 0 11 A ; donc¡!n¢¡!IKAE¡1Å0Å1AE0: les vecteurs sont orthogonaux; IJ0 @0 1/2 1/21 A ; donc¡!n¢¡!IJAE0¡12

Å12

AE0: les vecteurs sont orthogonaux.

Les vecteurs

¡!IK et¡!IJ ne sont manifestement pas colinéaires; ils définissent donc le plan (IJK).

Le vecteur¡!northogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan.

Une équation du plan (IJK) est donc :

M(x;y;z)2(IJK)()2xÅ1yÅ1zÅdAE0.

Comme I appartient à ce plan, on a Iµ

1 ;12

2(IJK)()2Å12

ÅdAE0()dAE¡52

M(x;y;z)2(IJK)()2xÅyÅz¡52

AE0()4xÅ2yÅ2z¡5AE03.a .Déterminer un système d"équations paramétriques de la droite(CD).

On calcule

¡¡!DC0

@1 0 01 A :x¡0AEt£1 y¡1AEt£0 z¡0AEt£0()(CD):8 :xAEt yAE1

zAE0t2?b.En déduire que le point d"intersectionRdu plan(IJK)et de la droite(CD)est le point de coordonnéesµ34

Les coordonnées de R vérifient l"équation de (IJK) et les équations paramétriques de (CD), donc le système :

8>>>< >>:xAEt yAE1 zAE0

4xÅ2yÅ2z¡5AE0()8

>>:xAEt yAE1 zAE0

4tÅ2¡5AE0()8

>>:xAEt yAE1 zAE0 tAE3/4()8 >>:xAE3/4 yAE1 zAE0 tAE3/4 R

µ34

S ectionav ecl af aceB CGF: [IJ ]

S ectionav ecl af aceABC D: [IR]

P ourla section av ecE FGH: on util isela pr opriété: " si d euxp lansso ntpar allèlest outplan séca ntà l "unest

sécant à l"autre et les droites d"intersection sont parallèles».

On trace donc la parallèle à la droite (IR) contenant K qui coupe [FE] et [GH] en deux points que l"on joint à J

et à R. Le contour de l"intersection est colorée en rouge. 5.

a .Déterminerunsystèmed"équationsparamétriquesdeladroite(¢)passantparGetperpendiculaireauplan(IJK)

:x¡1AEt0£2 y¡1AEt0£1 z¡1AEt0£1()(¢):8 :xAE1Å2t0 yAE1Åt0 zAE1Åt0t02?b.En déduire que la distance du pointGau plan(IJK)estp6 4

Les coordonnées de L vérifient l"équation de (IJK) et les équations paramétriques de (¢), donc le système :8>>><

>>:xAE1Å2t0 yAE1Åt0 zAE1Åt0

4xÅ2yÅ2z¡5AE0()8

>>:xAE1Å2t0 yAE1Åt0 zAE1Åt0 >>:xAE1Å2t0 yAE1Åt0 zAE1Åt0 t

0AE¡1/4

L(x;y;z)2(¢)\(IJK)()8

>>:xAE1/2 yAE3/4 zAE3/4 t

0AE ¡1/4

L

µ12

;34 ;34 donc¡¡!GL0 1/2 1/4 1/41 A ()GLAEsµ

¡12

2

¡14

2

¡14

2 AEr6 16 AEp6 4

c.SoitSla sphère de centreGpassant parF. Justifier que la sphèreSet le plan(IJK)sont sécants. Déterminer le

au rayon GFAE1 de la sphère. Orp6 4

Ç1 (car 6Ç42)p6Ç4).

Doncla sphère et le plan sont sécants en un cerclede centre L, projeté orthogonal de G sur (IJK), et de rayon

rAELM où M un point du plan (IJK) appartenant à la sphèreS. Dans le triangle GLM rectangle en L, d"après le théorème de Pythagore : GM

2AEGL2ÅLM2()12AEÃ

p6 4 2

År2()r2AE1¡Ã

p6 4 2 ()r2AE1¡616

AE1016

AE)rAEp10

4

Annexe 1 - Ex 1.Si vous visualisez ce document à l"aide d"Acrobat Reader, vous pouvez activer la figure et la bouger avec la souris.

2( 4 points )

1.Pour chacune des figures suivantes,PRSTest-il une section du tétraèdreABCDpar un plan? Justifier.

²Figure¬Non,c"estimpossiblesurcettefigure¬lespointsP,RetS sonttouslestroiscoplanairesdansleplan(ACD)etTÝ(ACD).

Les points P, R, S et T n"étant pas coplanaires :

P RSTn "estpas une sec tiondu tét raèdreAB CDRemarque :Comme (PR)(AC) d"après lethéorème du toit, il faudrait(PR)(TS)

²FigureOui, uneconstruction hors solidepermet de vérifier que les droites (PR), (TS) et (BC) sont bien concourantes en un

point IAE(BC)\(PRS).P RSTest u nesect iondu t étraèdreABC D²Figure®Non, uneconstruction hors solidepermet de vérifier que les droites (PR), (TS) et (BC) ne sont pas concourantes en un

point IAE(BC)\(PRS).P RSTn "estp asune sect iondu tét raèdreAB CD

2.Construire la section du cube par le plan(MNP)avecNmilieu du segment[FC].3( 5 points )

Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement infé-

rieure à385grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à385grammes est

commercialisable.

La masse d"un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoireXsuivant la loi normale d"es-

pérance¹AE400et d"écart-type¾AE11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.x380385390395400405410415420

1.CalculerP(3906X6410).

P(3906X6410)AEP(X6410)¡P(XÇ390)AE0,818¡0,182AE0,6362.Calculer la probabilité p qu"un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si "X>385».

"X>385» est l"événement contraire de "XÇ385». On a doncp(X>385)AE1¡p(XÇ385)AE1¡0,086AE0,9143.Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire

varier la valeur de¾sans modifier celle de¹.

Pour quelle valeur de¾la probabilité qu"un pain soit commercialisable est-elle égale à96%?

On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsqueZest une variable aléatoire qui suit la loi normale d"espérance0et

d"écart-type1, on aP(Z6¡1,751)¼0,040. Soit Y la variable aléatoire de paramètres¹AE400 et¾, on a : Si Y suit une loi normale de paramètres¹AE400 et¾, on sait que ZAEX¡400¾ suit une loi normale centrée réduite etp(YÇ385)AE0,04()Pµ

Z6385¡400¾

AE0,04.

Or P(Z6¡1,751)¼0,040. On a donc :¡15¾

AE¡1,751()¾AE151,751

AE8,6Pour¾AE8,6, au dixième près; la probabilité qu"un pain soit commercialisable est de 96%.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d"obtenir96%de pains commercialisables.

Afin d"évaluer l"efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de300pains fabriqués.

1.Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commercialisables

dans un échantillon de taille 300.

L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commercialisables dans un

échantillon de taille 300 est de la forme :

I

300AE"

p¡1,96pp(1¡p)pn ;pÅ1,96pp(1¡p)pn

avecpAE0,96 etnAE300. On a donc :I 300AE[0,93 ; 0,99]2.Parmi les300pains de l"échantillon,283sont commercialisables.

Au regard de l"intervalle de fluctuation obtenu à la question1., peut-on décider que l"objectif a été atteint?

Parmi les 300 pains de l"échantillon, 283 sont commercialisables. Ce qui représente 94% de la production.

Au regard de l"intervalle de fluctuation obtenu à la question1., comme 0,942I300on accepte l"hypothèse que

"l"objectif a été atteint» .

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance

électronique est une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètre¸.

1.On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant30jours est de0,913. En déduire la

valeur de¸arrondie au millième. p(T630)AER30

0¸e¡¸xdxAEh

¡e¡¸xi30

0AE1¡e¡30¸.

On en déduit :p(T>30)AE1¡p(T630)AEe¡30¸et finalement : e ¡30¸AE0,913() ¡30¸AEln(0,913)()¸AE0,003Dans toute la suite on prendra¸AE0,003.

2.Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après90jours, sachant

qu"elle a fonctionné sans dérèglement60jours?

CalculonspT>60(T>90).

On apT>60(T>90)AEp((T>60)\(T>90))p(T>60)AEp(T>90)p(T>60)AE1¡p(T690)1¡p(T660)AEe¡90¸e

¡60¸AEe¡30¸.

Avec¸AE0,003, on a doncpT>60(T>90)AEp(T>30)AE0,913La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu"elle a

fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillissement!).

ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai?

Calculons la durée maximaletmaxpour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à 0,5.

¡e¡¸xitmax

p(T6tmax)60,5() ¡¸tmax>ln0.5 Avec¸AE0,003, on trouvetmaxAE231Le vendeur avait donc tort.

4( 5 points )Les parties A et B sont indépendantes-Les résultats seront arrondis à10¡4près

Partie A

Un ostréiculteur élève deux espèces d"huîtres : "la plate» et "la japonaise». Chaque année, les huîtres plates représentent15%de sa production.

Les huîtres sont dites de calibre n

o3lorsque leur masse est comprise entre66g et85g.

Seulement10%des huîtres plates sont de calibre no3, alors que80%des huîtres japonaises le sont.

1.Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l"ostréiculteur. On suppose que toutes les

huitres ont la même chance d"être choisies.

On considère les évènements suivants :

²J :"l"huître prélevée est une huître japonaise», ²C :"l"huître prélevée est de calibre no3». a.Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.²J CC JC C0,85

0,200,80

0,150,10

0,90 b.Calculer la probabilité que l"huître prélevée soit une huître plate de calibre no3. p³J\C´

AE0,15£0,10AE0,015c.Justifier que la probabilité d"obtenir une huître de calibre no3est0,695.

J etJ formant une partition de l"univers, la formule des probabilités totales donne : p(C)AEp³J\C´

Åp(J\C)AE0,015Å0,85£0,80AE0,695d.Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre no3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate?

Il s"agit de calculer une probabilité conditionnelle :pC(J)AEp³J\C´p(C)AE0,0150,695

¼0,021 62.La masse d"une huître peut être modélisée par une variable aléatoireXsuivant la loi normale de moyenne¹AE90et

d"écart-type¾AE2.

a.Donner la probabilité que l"huître prélevée dans la production de l"ostréiculteur ait une masse comprise entre

87g et89g.

À l"aide de la calculatrice :p(876X689)¼0,241 7b.DonnerP(X>91).

De mêmep(X>91)¼0,308 5Partie B

Cet ostréiculteur affirme que60%de ses huîtres ont une masse supérieure à91g.

Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d"huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l"affirmation

de l"ostréiculteur.

Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur10douzaines d"huîtres qu"on considèrera comme un échantillon de

120huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu"on l"assimile à un tirage avec remise.

Il constate que65de ces huîtres ont une masse supérieure à91g.

1.SoitFla variable aléatoire qui à tout échantillon de120huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse

supérieure à91g.

Aprèsen avoir vérifiéles conditions d"application, donner un intervallede fluctuation asymptotique au seuil de95%

de la variable aléatoireF.

L"échantillon est de taillenAE120. L"hypothèse formulée est que la probabilitépqu"une huître possède une masse

supérieure à 91 g estpAE0,60. On a alors :

²n>30;

²npAE72>5;

²n(1¡p)AE48>5.

Les trois conditions pour utiliser l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont réalisées, et cet

intervalle I est donné par : IAE" p¡1,96pp(1¡p)pn ;pÅ1,96pp(1¡p)pn AEh

0,512 3 ; 0,687 7i2.Que peut penser le restaurateur de l"affirmation de l"ostréiculteur?

La fréquence observée d"huîtres pesant plus de 91 g est FAE65120

¼0,541 7.

On a F2I, l"hypothèse selon laquellepAE0,60 ne peut être rejetée.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] géométrie dans lespace exercices corrigés

[PDF] abcdefgh est un cube i est le milieu de ae

[PDF] soit un cube abcdefgh d arête 1

[PDF] déterminer les coordonnées du point h intersection de la droite d et du plan abc

[PDF] abdos pro pdf

[PDF] programme abdos efficace

[PDF] exercice abdominaux homme sans materiel

[PDF] programme abdominaux homme 1 mois

[PDF] programme musculation abdominaux pdf

[PDF] exercices de gainage musculaire pdf

[PDF] exercice gainage abdo pdf

[PDF] diastase abdominale exercices

[PDF] exercice abdominaux homme pdf

[PDF] diastase abdominale symptomes

[PDF] diastasis des grands droits et sport