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Exercices29 mai 2016

Géométrie dans l"espace

Droites et plans

Exercice1

Soit un cube ABCDEFGH et un plan (IJK) tel que :

EI=2

3---→EH,--→AJ=23---→AB et--→FK=14--→FG

Déterminer l'intersection du plan (IJK) avec le cube ABCDEFGH. A BC DE F G H ?I J? K

Exercice2

ABCDEFGH est un cube d'arête 8 cm.

M, N et P sont les points respectivement

des arêtes [GH], [EF] et [AB] tels que :

EN=MG=PB=2 cm

1) a) Construire les points Q et R, in-

tersections du plan (MNP) avec les arêtes [BC] et [CG] b) Vérifier que la section du cube par le plan (MNP) est un pentagone

2) a) Calculer la longueur des côtés du

pentagone b) Dessiner ce pentagone en vraie gran- deur. A BC DE F G H ?M N P paul milan1 TerminaleS exercices

Exercice3

Soit un tétraèdre ABCD et un plan (EFG)

tel que : •E est le centre de gravité du triangleABD, •--→BF=1

2---→BC et---→CG=15---→CA

Déterminer l'intersection d'un plan (EFG)

avec le tétraèdre ABCD. A B C D? E F? G?

Exercice4

QCM Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Identifier cette réponse et justifier votre choix. ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG].

1) Le triangle IFJ est :

a) isocèle b) équilatéral c) rectangle isocèle

2) La section du cube par le plan (IFJ) est :

a) un parallélogramme b) un trapèze c) un quadrilatère quelconque A BC DE F G H I? J

3) Le plan (IFJ) coupe la droite (BC) en K.

a) C est le milieu de [BK] b) 2BK=3BC c) BK=3 BC

4) Le plan (IFJ) coupe le segment [DC] en L.

a) 5CL=CD b) 6CL=CD c) 4DL=3DC paul milan2 TerminaleS exercices

Exercice5

On considère le cube ABCDEFGH ci contre de côté 4 cm. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [GH], [AB], [EF] et [CD].

1) Le point F appartient-il au segment [IC]?

2) Justifier que EG=GB=BD=DE.

Peut-on en déduire que EGBD est un losange?

3) Démontrer que le quadrilatères EIGK, GKJC et

EICJ sont des parallélogrammes.

4) Démontrer que EICJ est un losange.

5) Le quadrilatère EICJ est-il un carré?

A BC DE F G HI J |K |L

Exercice6

ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [AD]et [BC]. K est le point de l'arête [AB] tel que 3AK=AB.

1) a) Construire le point M intersection de la droite (IK) et duplan (BCD).

b) Démontrer que D est le milieu de [BM]. On appelera E le milieude [BK] et on tracera [ED]

2) a) En déduire la construction du point L intersection de [CD] et du plan (IJK).

b) Déterminer la valeur dekpour laquelle CL=kCD A B CD? I J? K

Vecteurs colinéaires et coplanaires

Exercice7

A, B, C sont trois points non alignés de l'espace. I est le milieu de [BC]. Le point G est tel que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 . a) Démontrer que

GB+---→GC=2--→GI .

b) En déduire que les points G, A et I sont alignés et que G est lecentre de gravité du triangle ABC. paul milan3 TerminaleS exercices

Exercice8

ABCD est un tétraèdre, I est le limieu de [BC]. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC, c'est à dire d'après l'exercice précédent que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 .

On considère le point K tel que :

1) a) Démontrer que : 3

KG+---→KD=-→0

b) En déduire que les points K, G et D sont alignés.

2) Trouver le réelktel que :---→DK=k---→DG puis placer K

sur la figure.D A C B I? G?

Exercice9

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de

[AB] et J celui de [EH]. a) Démontrer que :

IJ=---→AE+1

2---→BD

b) En déduire que : 2

IJ=---→AE----→HB

c) Pourquoi peut-on en déduire que les vecteurs---→AE ,---→HB et-→IJ sont copla- naires? A BIC DE F G HJ

Dans un repère

Exercice10

1) On donne les points A(1;-1;2), B(0;5;3), C(4;-19;-1). Ces points sont-il alignés?

2) On donne les points A(3;2;2), B(-1;-4;4), C(1;0;1) et D(3;3;1). Les droites (AB)

et (CD) sont-elle parallèles?

3) La droitedest dirigée par?u(2;-1;3) et la droited?est dirigée par?v(-4;2;-6). Quel

théorème vous permet d'affirmer que ces deux droites sont parallèles?

Exercice11

On donne les points A(3;0;4), B(2;3;1), C(-1;2;3) et D(0;-1;6). a) Justifier que ces quatre points sont coplanaires. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?

Exercice12

On donne les points A(0;1;3), B(⎷2;0;2) et C(⎷2;2;2). Quelle est la nature du triangle ABC?

Exercice13

paul milan4 TerminaleS exercices On donne les points A(5;1;3), B(5;-3;-1), C(1;1;-1) et D(1;-3;3). Démontrer que le

Exercice14

On donne les points A(2;3;-1), B(2;8;-1), C(7;3;-1) et D(2;-1;2). Démontrer que les points B, C et D sont sur une même sphère de centre A.

Exercice15

Plan médiateur de [AB] : plan dont les points sont équidistants de A et de B. Il est ainsi perpendiculaire au segment [AB] en son milieu On donne les points A(5;2;-1) et B(3;-1;1). Indiquer parmi les points suivants ceux qui appartiennent au plan médiateur de [AB] : Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan

Exercice16

y=-2+2t z=-1-tt?R

1) a) Déterminer le point I deΔde paramètre 0.

b) Déterminer un vecteur ?udirecteur deΔ. c) Justifier qu'il existe un point deΔd'abscisse 5.

2) La droiteΔpasse-t-elle par le point A?

-10;16

3;-143?

Exercice17

On donne les droitesdetd?de représentations paramètriques suivantes : ?x=6-3s y=-7+2s y=-3 z=-5+2tt?R

Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'in-

tersection.

Exercice18

On donne les points A(2;1;0), B(0;1;1) et C(0;3;2). a) Démontrer que les points A, B et C ne ont pas alignés. b) Vérifier que

AB ,---→AC et?kne sont pas coplanaires.

c) La droite passant par O dirigée par ?kcoupe le plan (ABC) au point I. Calculer les coordonnées de I. paul milan5 TerminaleS exercices

Exercice19

1) Démontrer que les trois points A(-1;2;5); B(1;0;-2) et C(0;2;-3) définissent un

plan.

2) Déterminer une représentation paramétrique de ce plan

3) a) Prouver que les plans (ABC) et?O,?ı,???ne sont pas parallèles.

b) En déduire une représentation paramétrique de la droiteΔintersection de ces deux plans.

Exercice20

L'espace est rapporté à un repère?

O,-→ı ,-→? ,-→k?

. On noted1la droite passant par les points A(1;-2;-1) et B(3;-5;-2). y=-2-3t z=-1-tt?R y=-1+2s z=-ss?R

Démontrer qued1etd2ne sont pas coplanaires.

3) On considère le planPpassant par le point C(0;-3;0) et dirigé par les vecteurs

u(1;-4;0) et?v(0;-5;1) a) Démontrer que le planPcontient la droited1. b) Démontrer que le planPet la droited2se coupent en un point D dont on détermi- nera les coordonnées.

Le produit scalaire

Exercice21

On donne les vecteurs?uet?vde coordonnées respectives : (1;⎷3;0) et (0;⎷3;1).

1) Calculer

?u·?v

2) Quelle est, à un degré près, la mesure de l'angle géométrique associé à?uet?v

Exercice22

ABCDEFGH est un cube d'arêtea. O est le centre de la face EFGH et I le milieu du segment [CG].

1) Faire une figure. 2) Calculer en fonction dea

a)

AO·---→CG

b)

AO·--→GI

Exercice23

On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueura(aréel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

1) Calculer, en fonction dea, les produits scalaires suivants :---→EA·--→AF,---→AB·--→AF,---→

BC·--→AF

2) En déduire que les vecteurs--→EC et--→AF sont orthogonaux.

On admettra de même que les vecteurs--→EC et---→AH sont orthogonaux. paul milan6 TerminaleS exercices

3) En déduire que le point I est le projeté or-

thogonal de E sur le plan (AFH).

4) a) Justifier les résultats suivants : les

droites (AF) et (EH) sont orthogo- nales,ainsiquelesdroites(AF)et(EI). b) En déduire que la droite (AF) est or- thogonales la droite (HI). c) Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).

5) Que représenté le point I pour le triangle

AFH? ABC DE FG H I

Exercice24

Les points A, B et C ont pour coordonnées :

A(6;8;2),B(4;9;1)etC(5;7;3)

1) Déterminez la mesure de l'angle géométrique

?BAC.

2) Les points A, B et C se projettent orthogonalement respectivement en A', B' et C' sur

le plan?O,?ı,???(d'équationz=0). a) Déterminez les coordonnées des points A', B' et C'. b) Déterminez la mesure de l'angle géométrique ?B'A'C'. Que constatez-vous?

Équation cartésienne d'un plan

Exercice25

Déterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du planPpassant par les points

A et de vecteur normal

?n. a) A(2;0;1) et ?n(1;-1;3) b) A(⎷

2;-2;5) et?n(2;-3;-1)

Exercice26

Déterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du planPperpendiculaire en A à (AB). a) A(2;0;-1) et B(0;1;3). b) A(⎷

2;-2;5) et B(-1;3;2)

Exercice27

Le planPa pour équation cartésienne :x-3y+2z-5=0 et le point A a pour coordonnées (2;3;-1). Est-il vrai que le point H(3;0;1) est le projeté orthogonal de A sur le planP

Exercice28

On donne les points A(1;-1;3), B(0;3;1), C(2;1;3), D(4;-6;2) et E(6;-7;-1).

1) Démontrer que les points A, B et C définissent un planPde vecteur normal---→DE .

2) En déduire une équation cartésienne du planP

paul milan7 TerminaleS exercices

Exercice29

y=-2-t+s z=2t-s(t,s)?R2 Déterminer une équation cartésienne du planP.

Problèmes généraux

Exercice30

L'espace est rapporté à un repère orthonormal?

O,-→ı ,-→? ,-→k?

. Les points A, B et C ont pour coordonnées A(3;-2;2), B(6;1;5), C(6;-2;-1).

Partie A

1) Démontrez que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2) SoitPle plan d'équation cartésienne :x+y+z-3=0

Prouvez quePest orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3) SoitP?le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A. Déterminez une

équation cartésienne deP?.

4) Déterminez un vecteur directeur de la droiteΔintersection des plansPetP?.

Partie B

1) Soit D le point de coordonnées (0;4;-1). Prouvez que la droite (AD) est perpendicu-

laire au plan (ABC).

2) Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

3) Prouvez que l'angle

?BDC a pour mesureπ

4radian.

4) a) Calculez l'aire du triangle BDC.

b) Déduisez-en la distance du point A au plan (BDC).

Exercice31

Centre étrangers juin 2014

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère lespoints : A(1 ; 2 ; 7),B(2 ; 0 ; 2),C(3 ; 1 ; 3),D(3 ;-6 ; 1) et E(4 ;-8 ;-4)

1) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2) Soit

u(1 ;b;c) un vecteur de l'espace, oùbetcdésignent deux nombres réels. a) Déterminer les valeurs debetctelles que-→usoit un vecteur normal au plan (ABC). b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :x-2y+z-4=0. c) Le point D appartient-il au plan (ABC)?

3) On considère la droiteDde l'espace dont une représentation paramétrique est :

?x=2t+3 y=-4t+5 z=2t-1oùtest un nombre réel. a) La droiteDest-elle orthogonale au plan (ABC)? paul milan8 TerminaleS exercices b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de ladroiteDet du plan (ABC).

4) Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).

Exercice32

Amérique du Nord juin 2014 - Section d'un cube par un plan On considère un cube ABCDEFCH donné ci-après. On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que--→HP=1

4---→HG .

Partie A : Section du cube par le plan (MNP)

1) Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.

Construire le point L

2) On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on noteT leur point d'inter-

section. On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersec- tion. a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. b) Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).

3) En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

Partie B

L'espace est rapporté au repère?

A ;---→AB,---→AD,---→AE?

1) Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.

2) Déterminer les coordonnées du point L.

3) On admet que le point T a pour coordonnées?

1 ; 1 ;5

8?

Le triangle TPN est-il rectangle en T?

A BC DE F G H M NP paul milan9 TerminaleS exercices

Exercice33

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[PDF] déterminer les coordonnées du point h intersection de la droite d et du plan abc

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