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La droite (MN) est donc parallèle aux droites (IJ) et (BC) > Solution n°4 Dans l'exercice précédent utilisant la même figure on a démontré que (IK)
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Fiche d’exercices n°15 : Géométrie dans l’ESPACE N° 7 : On considère une bougie conique représentée ci-contre (la figure n’est pas aux dimensions réelles) Le rayon OA de sa base est de 25 cm et la génératrice SA = 65 cm a) Montrer que la hauteur SO de la bougie est de 6 cm
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TD Géométrie espace (http://www math93 com/gestclasse/classes/troisieme htm) Page 1 TD d’exercices de Géométrie dans l’espace Exercice 1 (Brevet 2006) Pour la pyramide SABCD ci-contre : La base est le rectangle ABCD de centre O AB = 3 cm et BD = 5cm La hauteur [SO] mesure 6 cm 1) Montrer que AD = 4 cm
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Comment calculer la longueur de diagonale d'un parallélépipède rectangle ?
b) En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle. 3) Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 m3. 4) Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 m2.
Comment calculer une section d'une pyramide par un plan parallèle à la base ?
Une section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est de même nature que la base, A'B'C'D' est donc un rectangle. b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction. Le rapport de réduction est qui vaut puisque O' est le milieu de [SO].
Comment calculer la longueur d'un triangle ?
1. Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. Le triangle AOB étant rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore nous avons : ; AB mesure 3,6 cm au dixième près. 2. Calculer le volume du cône : donner en cm3la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.
Cours de mathématique de 3ème
Exercices: La
géométrie dans l'espaceExercice 1:
Un pavé droit
ABCDEFGH a pour
dimensions (l'unité est le cm) :AB = 8 ; AD = 2 ; AH =
6.Dans chaque cas,
indiquer la nature et calculer l'aire de la section du pavé par le plan P.1) P est un plan parallèle à la face ADEH.
La section obtenue est un rectangle. A = 2 6 = 12 cm22) P est un plan parallèle à la face ABGH.
La section obtenue est un rectangle. A = 8 6 = 48 cm23) P est un plan parallèle à ABCD.
La section obtenue est un rectangle. A = 2 8 = 16 cm2Exercice 2:
Un pavé droit ABCDEFGH
a pour dimensions (l'unité est le cm) :AB = 16 ; AD = 12 ; AH =
5.Dans chaque cas, indiquer
la nature et calculer l'aire de la section du pavé par le plan P.1) P est un plan parallèle à
(AB) et passant par D et C.La section obtenue est un
rectangle.Calcul de DH : Dans le triangle ADH rectangle en A, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :
DH2 = AD2 + AH2 AE DH2 = 122 + 52
DH2 = 144 + 25 AE DH2 = 169
DH = 13 cm
2) P est un plan parallèle à (BG) et passant par A et I.
La section obtenue est un rectangle.
Calcul de AI : Dans le triangle ADI rectangle en D, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :
AI2 = AD2 + DI2 AE AI2 = 122 + 92
AI2 = 144 + 81 AE AI2 = 225
AI = 15 cm
Calcul de l'aire de la section :
A = DH DC = 13 16 = 208 cm2
Calcul de l'aire de la section :
A = AI AH = 15 5 = 75 cm2
Cours de mathématique de 3ème
3) P est un plan parallèle à (BG) et passant par A et C.
La section obtenue est un rectangle.
Calcul de AC : Dans le triangle ADC rectangle en D, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :
AC2 = AD2 + DC2 AE AC2 = 122 + 162
AC2 = 144 + 256 AE AC2 = 400
AC = 20 cm
Exercice 3:
On considère un cube d'arête 10 cm tel que celui dessiné ci-dessous:1) Marquer le point I de [CG] tel que CI = 3 cm et le point J de [DC] tel
que DJ = 6 cm. Calculer IJ.La section obtenue est un rectangle.
Calcul de JI : Dans le triangle ACI rectangle en C, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a : IJ2 = JC2 + CI2 AE IJ2 = 42 + 32IJ2 = 16 + 9 AE IJ2 = 25 AE JI = 5 cm
2) Représenter la section du cube par le plan parallèle à (BC) passant par I
et J. Calculer l'aire de la section. Calcul de l'aire de la section : A с J'J IJ = 10 5 = 50 cm2Exercice 4:
Un cylindre a pour bases des disques de centres O et O', de rayon 5 cm. La hauteur du cylindre est de 6 cm. Un plan parallèle à (OO') coupe le cylindre selon le rectangle ABCD. H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB et OH = 3 cm.1) Quelle est la nature du triangle OAB ?
Les points A et B appartiennent au cercle de centre O. Donc, OA et OB sont deux rayons de ce cercle et OA = OB. OAB est un triangle isocèle en O.2) Calculer BH.
OBH est un triangle rectangle en H. D'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a : Dans le triangle ACI rectangle en C, d'aprğs le thĠorğme dePythagore, on a :
OB2 = BH2 + HO2 AE 52 = BH2 + 32
25 = BH2 + 9 AE BH2 = 25 - 9
BH2 = 16 AE BH = 4 cm
3) Calculer l'aire de la section.
Dans un cylindre, la section par un plan parallğle ă l'adže est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle. A = AB BC = (2 4 ) 6 = 48. L'aire de la section est 48 cm24) Dessiner la section en vraie grandeur.
Exercice 5 : ABCDEFGH est un cube. Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE], [FB], [AD] et [BC]. JKNM est une section du cube par un plan parallğle ă l'arġte AB.1) Donner, sans justifier, la nature de la section JKNM. La section obtenue est
un rectangle.2) La face FGCB a été dessinée en vraie grandeur, ci-dessous. Placer les points K
et N sur cette face. A côté, dessiner la section JKNM en vraie grandeur.Calcul de l'aire de la section :
A = AC AH = 20 5 = 100 cm2
8 cm 6 cm BA DCCours de mathématique de 3ème
S AB CD 4 m 6 m 3 m3) Quelle est la nature du solide
AJMBKN ?
Le solide a deux faces triangulaires qui
sont superposables et parallèles et trois faces rectangulaires : le solide AJMBKN est un prisme droit dont la base et un triangle.Exercice 6 :
SABCD est une pyramide à base rectangulaire. On place sur sa plan passant par A' et parallğle ă sa base, on obtient la pyramide ^[[[[XOn a : SA = 9 cm, AB = 8 cm et BC = 6 cm.
1) Calculer A'B'.
Sachant que la section de la pyramide est parallèle à la base alors les droites (B'A') et (BA) sont parallèles. De plus les droites (AA') et (BB') sont sĠcantes en S.D'aprğs le thĠorğme de Thalğs, on a :
' ' ' 'SB SA B ASB SA BA
6 ' ' 98AB soit
8 6 48 16''9 9 3AB
cm2) Calculer l'aire A1 de ABCD. A1 = AB BC = 8 6 = 48 A1 = 48 cm2
3) Calculer l'aire A2 de A'B'C'D'.
Calcul de A'D' : Les droites (D'A') et (DA) sont parallğles et les droites (AA') et (DD') sont sécantes en S.
D'aprğs le thĠorğme de Thalğs, on a :
' ' ' 'SD SA D ASD SA DA
6 ' ' 96AD soit
6 6 36' ' 499AD
cm Calcul de l'aire A2 de A'B'C'D' : A2 = A'B' B'C' с16 64433
A2 = 643 cm2
4) Calculer le volume V1 de SABCD.
Le ǀolume d'une pyramide est dĠfinie par
1 aire de la base hauteur3
V1 =111 A SA 48 9 14433
. Le volume V1 de SABCD est 144 cm35) Calculer le volume V2 de SA'B'C'D'.
V2 =21 1 64 64 3 2 128 A SA' 63 3 3 3 3 3
u u u u u . Le volume V2 de SA'[C'D' est 1283 cm3
Exercice 7 :
de rayon 3 m. On remplit ce bassin sur une hauteur de 4 m.1) Calculer le volume exact V1 du bassin.
1 aire de la base hauteur3
On a : V1 =
22113 6 18ʌ33OA SOu u u u u u
m32) Yuelle est la nature du ǀolume occupĠ par l'eau ?
Cours de mathématique de 3ème
On sait que : La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque qui est une
^K[.3) Calculer le ǀolume d'eau V2 contenu dans le bassin.
Calcul du rayon O'A' : Sachant que la section du cône est parallèle à la base alors les droites (O'A') et (OA) sont
D'aprğs le thĠorğme de Thalğs, on a :
' ' ' 'SO SA O ASO SA OA
4 ' ' 63OA soit
3 4 12' ' 266OA
m1 aire de la base hauteur3
On a : V2 =
221 1 16' ' ' 2 4ʌ3 3 3O A SOu u u u u u
m3V3 = V1 - V2 =
16 54 -16 3818ʌ3 3 3
SS 383
Exercice 8 :
On considère une sphère de centre O et de rayon 5 cm. Cette sphère est coupée par un plan passant à 3 cm de son centre. La section de cette sphère par ce plan est un cercle (C) de centre H. Calculer le rayon de cette section. La section obtenue est un cercle de centre H et de rayon HA. OHA est rectangle en H, donc d'aprğs le thĠorğme de Pythagore on a :OA 2 = OH 2 + HA 2 AE 5 ² = 3 ² + HA²
HA² = 25 - 9 AE HA =
16 = 4. Le rayon de la section mesure 4 cm.Exercice 9 :
Ce dessin représente la Géode qui est une salle de cinéma installée à la Cité des Sciences au parc de la Villette à Paris. La Géode a la forme issue cette calotte a un rayon de 18 mètres. La distance entre le sol et le point le plus haut est de 29 m.1) Calculer OH. On a : OH = 29 - OP = 29 - 18 = 11. OH mesure 11 m
2) Calculer PH.
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