VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
en déduire que les plans (ABC) et (EFG) se coupent suivant une droite d passant par Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ...
SpeMaths
Montrer que L est le point d'intersection de la droite d et du plan (BGI). Calculer les coordonnées du point H. ... est orthogonale au plan (ABC).
Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013
May 30 2013 d. Déterminons les coordonnées du point H
Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013
May 30 2013 d. Déterminer les coordonnées du point H
TSVT3
e) Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite ? avec le plan (BDE). f) En déduire la distance du point H au plan (BDE) (c'est-à-dire
Baccalauréat S Géométrie
On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
TS Exercices sur la géométrie dans lespace (niveau 2)
2°) Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D et du plan P sont : 3°) a) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite ...
Liban – Mai 2011 – Série S – Exercice Dans lespace muni dun
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( )CG . d. Déterminer les coordonnées du point H intersection du plan. ( )
Amérique du Nord – Juin 2010 – Série S – Exercice Lespace est
ABC . b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du projection orthogonale d'un point sur une droite thème qui est loin d'être le ...
Session 15 mars 2021 Sujet 2
Mar 15 2021 Déterminer une représentation paramétrique de la droite d. b. Montrer que la droite d coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées (18. 49.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan Vidéo https://youtu be/BYBMauyizhE Dans un repère orthonormé le plan P a pour équation 2 ?/+30?2=0 Soit -1 2 ?3 1 et D-?1 2 0 1 1) Démontrer que la droite (D) et le plan P sont sécants 2) Déterminer leur point d'intersection 1) Un vecteur normal de P est P*?
Comment calculer les coordonnées d'un point d'intersection ?
Un point d’intersection appartient aux deux droites, il doit donc vérifier les équations des deux droites. Ainsi, on peut trouver les coordonnées du point d’intersection en résolvant ce système d’équations, en déterminant les valeurs de ???? et ????, où ( ????; ????) est le point d’intersection. ???? + 3 ???? ? 2 = 0, ? ???? + 1 = 0.
Où se situe un point d'intersection ?
Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où les droites se coupent. Une méthode de répondre à cette question consiste à tracer les deux droites. On commence par tracer la représentation graphique de la droite d’équation ???? = 7.
Comment déterminer le point d’intersection entre les trois plans ?
Comme tout système d’équations linéaires, il existe plusieurs méthodes de solution. Une méthode pour déterminer le point d’intersection entre les trois plans consiste à déterminer d’abord la droite d’intersection entre les deux premiers plans, puis à trouver le point d’intersection entre cette droite et le troisième plan.
Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?
Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.
PanaMaths [ 1 - 5 ] Juin 2010
Amérique du Nord - Juin 2010 - Série S - Exercice L'espace est rapporté à un repère orthonormal ;,,Oi jk GG Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :A1;2;4 B 2;6;5 C 4;0;3
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le vecteur1; 1; 1n
est un vecteur normal au plan ABC. c. Déterminer une équation du plan ABC.2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant
par le point O et orthogonale au plan ABC. b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan ABC.3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite
BC.Soit t le réel tel que
BH BCt
a. Démontrer que BO.BC BCt b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H.PanaMaths [ 2 - 5 ] Juin 2010
Analyse
Un exercice d'entraînement idéal pour appliquer certaines notions fondamentales degéométrie dans l'espace : orthogonalité, projetés orthogonaux, produit scalaire, droites et
plans, etc. La troisième question, sans être à proprement parler délicate, aborde le thème de la
projection orthogonale d'un point sur une droite, thème qui est loin d'être le plus apprécié par
les élèves en général ...Résolution
Question 1.a.
Pour montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit, par exemple, de vérifier que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.Or, on a facilement :
AB 3; 4;1
et AC 5;2; 7 En considérant avec les abscisses et les ordonnées de ces vecteurs, on constate que : 5234. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont pas alignés.
Question 1.b.
D'après la question précédente, les points A, B et C n'étant pas alignés, ils définissent bien un
plan.Pour montrer que le vecteur
n est normal à ce plan, il suffit de montrer qu'il est orthogonal aux deux vecteurs AB et AC , soit AB. 0n G et AC. 0n G Le repère considéré étant orthonormal, on a facilement :AB. 3 1 4 1 1 1 3 4 1 0
AC. 5 1 2 1 7 1 5 2 7 0n
nLe vecteur
n est un vecteur normal au plan ABC.Question 1.c.
Le plan
ABC est l'ensemble des points M,,xyz de l'espace qui vérifient : AM. 0nPanaMaths [ 3 - 5 ] Juin 2010
Or, on a : AM 1; 2; 4xyz
. On en déduit immédiatement : AM. 011 21 410
124010n xy z xyz xyz G
Une équation du plan
ABC est 1 0xyz.
Question 2.a.
La droite considérée étant orthogonale au planABC, elle admet pour vecteur directeur le
vecteur n. Un point M,,xyz de l'espace appartient alors à cette droite si, et seulement si, les vecteurs OM et n sont colinéaires. C'est-à-dire s'il existe un réel t tel que : OMtn Or : OM xt tn y t ztFinalement :
La droite passant par O et orthogonale au plan
ABC admet pour représentation
paramétrique : ,xt ytt ztQuestion 2.b.
Puisque la droite considérée à la question précédente passe par O et est orthogonale au plan
ABC, son intersection avec ce plan n'est autre, par définition, que le projeté orthogonal du point O sur ce plan, c'est-à-dire le point O'.Puisque le point
O' est un point de cette droite, il existe un réel t tel que : O' , ,ttt.Par ailleurs,
O' étant un point du plan ABC, ses coordonnées vérifient l'équation 10 xyz. On a donc : 10tt t , soit 310t et, finalement : 1 3 t.PanaMaths [ 4 - 5 ] Juin 2010
On en déduit immédiatement :
111O' ; ;333.
111O' ; ;333
Question 3.a.
On a :
22BH BC BH.BC BC.BC BC BCtttt .
Mais on a également :
BH.BC BO OH .BC BO.BC OH.BC
Le point H étant le projeté orthogonal du point O sur la droiteBC, le vecteur OH est
orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite, en particulier au vecteurBC. On a donc :
OH.BC 0 , puis BH.BC BO.BC et enfin :
2BO.BC BCt
Ainsi, on a bien :
2 BO.BC BCt JJJGQuestion 3.b.
On a facilement :
B 2; 6;5 OB 2; 6;5 BO 2;6; 5
et BC 2;6; 8On en déduit :
BO.BC 2 2 6 6 5 8 4 36 40 72
Et : 2222BC 2 6 8 4 36 64 104
D'où :
2BO.BC 72 8 9 9
104 8 13 13
BCtPanaMaths [ 5 - 5 ] Juin 2010
Il vient alors, en notant
HHH ,,xyz les coordonnées du point H : HHH HHH HHH9184422 213 13 13
9 9 54 24BH BC BH BC 6 6 613 13 13 13
972758 513 13 13xxx
tyyy zzzConclusion :
913t et 44 24 7H;;13 13 13.
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