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dLycée 18 Janvier Djebnianad

Série N

◦18

Thème : Isométries

Niveau : Bac Math.

Année Scolaire : 2019-2020

Prof :-BenMbarek Mahmoud-

Exercice N

◦1⋆⋆

Répondre parvraioufauxen justifiant :

1 Si∆est laxe d"une symétriefalors pour tout pointM∈∆on a :f(M) =M 2 Si une isométriefn"admet aucun point invariant alorsfest une symétrie glissante. 3 Sifest une isométrie qui n"admet aucun point fixe alorsf◦fest une translation. 4 S 5 Toute rotationR(I;α)se décompose d"une manière unique sous la formeR=S(Iy)◦S(Ix)avec 2 [(-→IX,-→Iy)≡α[2π] 6 Si une isométrieffixe deux points distinctsAetBalorsf=S(AB). 7 ABCDétant un parallélogramme de centreO.S(AD)◦SO=S(BC)si et seulement siABCD est losange. 8 Dans le plan orienté, on considère les pointsA(1;1),B(2;0),C(3;-1),E(1;5)etF(0;6). Sif est une isométrie telle quef(A) =Eetf(B) =Falorsf(C)est le barycentre des points pondérés (E;1)et(F;-2). 9 Iest le milieu du segment[AB].S(IB)◦t-→AI◦S(AB)=t-→IB 10

SoitABCDun carré. L"isométrieS(AD)◦S(AB)◦S(BC)est la symétrie glissante d"axe(AB)et

de vecteur2-→BA 11

Soient∆et∆′deux droites perpendiculaires. Sifetgsont deux symétries glissantes d"axes

respectifs∆et∆′alorsf◦gest une symétrie centrale.

Exercice N

◦2⋆⋆⋆

On considère un triangleABCisocèle enA.

On désigne parDl"image deBpar la symétrie Orthogonale d"axe(AC)et parIle milieu du segment[BC]. Soitfune isométrie laissantAinvariant et transformantBetCrespectivement enCetD. On pose g=S(AC)◦f. 1

Déterminerg(A),g(B),g(C)etg(I).

Prof : BenMbarek Mahmoud- 1/

3

Thème : Isométries

2Montrer quegest une symétrie orthogonale

Exercice N

◦3⋆⋆⋆ SoitABCun triangle équilatéral direct. On désigne parIle milieu de[AC]et par∆la droite passant parBet parallèle à(AC).SoitJun point de[BA]distinct deB. La droite passant parJet parallèle à(AC)coupe[BC]en un pointK. 1 Caractériser :S(AC)◦S∆etS(KJ)◦S(AC) 2 Identifier :f=S(AC)◦S∆◦S(KJ)◦S(AC) 3 Déterminer la position du pointJsur[BA]pour quefsoit la translation de vecteur-→CJ

Exercice N

◦4⋆⋆⋆

SoitOABun triangle équilatéral direct. On désigne par∆la droite perpendiculaire à(OA)enO,

parDla médiatrice de[AB]et parS1;S2;S3etS4les symétries orthogonales d"axes respectifs (OA),(OB),∆etD. On note :f=S3◦S2◦S1 1 Montrer que :f=S3◦RoùRest une rotation que l"on caractérisera. 2

Montrer que :R=S3◦S4

3

Identifierf

Exercice N

◦5⋆⋆⋆

ABCDun carré direct.∆est la médiatrice du segment[BC]. Soitfune isométrie distincte de la

symétrieS∆et telle quef(B) =Cetf(D) =A 1 a Montrer que le pointO=B⋆Dest invariant parfet que c"est l"unique point du plan invariant parf. b En déduire la nature et les éléments caractéristiques def. 2 a

Trouverg(A)etg(C). En déduireg.

b

Montrer queφ=S(BD).

c

En déduire la nature deg◦φ.

Exercice N

◦6⋆⋆⋆ ABCDest un losange tel que[(-→AB,-→AD)≡π 3 [2π]. On désigne parI;J;K;LetOles milieux respectifs des segments[AB],[BC],[CD],[DA]et[BD]. On note∆la médiatrice du segment[AB] et∆′celle de[CD]. 1 Soitfl"isométrie définie par :f(A) =B;f(B) =Detf(D) =C. a

Montrer quefn"admet pas des points fixes.

b

Déduire la nature def.

2

SoitRla rotation de centreBet d"angle-π

3

Prof : BenMbarek Mahmoud- 2/

3

Thème : Isométries

aMontrer quef=R◦S∆ b

A-t-onf=S∆◦R. (Justifier)

3 a Définir l"isométriehtelle queR=S(BC)◦h. b En déduire quefpeut s"écrire sous la formef=S(BC)◦ToùTest une translation à préciser. 4

SoitT′=t1

2 -→ADet on poseg=(T′)-1◦f a

Déterminer :g(D),g(I)etg(O)

b En déduire la nature et les éléments caractéristiques deg. c

Montrer quef=T′◦g.

" Donnez-moi un point fixe et un le- vier et je soulèverai la terre ....» [Archimède]

Prof : BenMbarek Mahmoud- 3/

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Thème : Isométries

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