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Polynômes de Tchebychev

1. Définition.

2. Premières propriétés.

3. Exercices divers.

4. Orthogonalité, développement en série de Tchebychev.

5. Caractérisation minimax.

6. Configurations entières.

7. Familles commutantes de polynômes.

8. Une équation de Fermat dans C[X].

9. Une caractérisation extrémale des zéros.

10. Polynômes de Dickson, puissances dans Gl

2(Z).

Pierre-Jean Hormière

___________ " Isoler les mathématiques des demandes pratiques des autres sciences revient à provoquer la stérilité d"une vache en l"éloignant des taureaux. »

Pafnouti Lvovitch Tchebychev

(Okatovo 1821 - Saint Petersbourg 1894)

Introduction

Les trigonomètres distingués ont observé depuis longtemps les formules : cos 0q = 1 sin 0q = 0 cos 1q = cos q sin 1q = sin q cos 2q = 2.cos

2q - 1 sin 2q = 2.sin q.cos q

cos 3q = 4.cos

3 q - 3.cos q sin 3q = sin q ( 4.cos2 q - 1 )

cos 4q = 8.cos

4 q - 8.cos2 q +1 sin 4q = sin q ( 8.cos3 q - 4.cos q )

cos 5q = 16.cos

5 q - 20.cos3 q + 5.cos q sin 5q = sin q ( 16.cos4 q - 12.cos2 q + 1 )

Ces formules suggèrent que cos(nq) = T

n(cosq) et sin(nq) = sinq.Un-1(cosq), où Tn et Un sont des fonctions polynomiales. Les T n et Un, étudiés par François Viète vers 1593 pour les premières valeurs de n, puis par Jakob Bernoulli vers 1702 pour n quelconque, s"appellent respectivement polynômes de Tchebychev de 1 ère et de 2ème espèce, car ce grand mathématicien russe fut sans doute le premier à leur trouver des applications loin du cadre étroit de la trigonométrie.

Dans cet exposé, tous les polynômes considérés sont à coefficients réels ou complexes. On peut

donc sans danger confondre polynômes et fonctions polynomiales.

21. Définition des polynômes de Tchebychev

1.1. Présentation élémentaire

Théorème 1 : Pour tout n Î N, il existe un unique polynôme T n Î C[X] tel que : "q Î R cos nq = T n(cos q) (1)

La suite de polynômes (T

n) vérifie les relations de récurrence : T

0(X) = 1 , T1(X) = X , Tn+2(X) = 2X.Tn+1(X) - Tn(X) (2)

Preuve

: 1) Commençons par noter que cos q = cos q" ⇒ cos(nq) = cos(nq"). En effet cos q = cos q" Û q"= ± q + 2kp ⇒ nq"= ± nq + 2knp . Il en résulte que cos nq est bien une fonction de cos q .

2) La formule cos((n+2)q) = 2.cosq.cos((n+1)q) - cos(nq) suggère d"introduire la suite de

polynômes définie par les formules (2). Une récurrence double facile montre que l"on a (1).

3) Si P est un polynôme tel que "q Î R cos(nq) = P(cos q), on a P(x) = T

n(x) pour tout réel x Î [-1, 1] ; comme P - T n a une infinité de racines, P = Tn.

Proposition 2 : a) Pour tout n Î N, T

n est à coefficients entiers : Tn Î Z[X] ; b) T n est de même parité que n : Tn(-X) = (-1)n.Tn(X) ; c) T n(X) est de degré n, a pour terme dominant 2n-1 Xn pour n ³ 1 ; d) T n(X) a pour terme de plus bas degré (-1)m pour n = 2m, (-1)m n X pour pour n = 2m + 1.

Exercice 1

: Retrouver l"existence de Tn en considérant ( cos q + i.sin q )n.

Exercice 2

: Montrer que ("n ³ 1) T2n = 2 Tn2 - 1 = et T2n+1 = 2 Tn Tn+1 - X.

En déduire un mode de calcul récursif des T

n(X) [ voir aussi § 5 ].

1.2. Présentation plus abstraite

Nous allons présenter les polynômes de Tchebychev de manière plus algébrique (n"oublions pas

qu"un algébriste ne sait pas ce qu"est un cosinus) :

Proposition 3 : Soit C(Z) le corps des fractions rationnelles à une indéterminée Z sur le corps C.

Posons X =

)1.(21ZZ+ et Yn = )1.(21nnZZ+ pour tout n Î N. On a Yn = Tn(X).

Preuve

immédiate par récurrence sur n.

Cette propriété permettrait de définir les polynômes de Tchebychev de manière purement algébrique.

Définition : La fraction rationnelle F(Z) est dite réciproque si F(Z) = F( Z1). Proposition 4 : Toute fraction rationnelle réciproque F(Z) s"écrit de façon unique :

F(Z) = G(X) , où G Î C(X) et X =

)1.(21ZZ+.

Les fractions rationnelles réciproques forment un sous-corps de C(Z), isomorphe à C(Z), et noté

C(X). De plus, C(Z) est un plan vectoriel sur C(X), dont une C(X)-base est (1, ))1.(21ZZ-.

Preuve

: Ecrivons F(Z) = )()( ZDZN, où N, D Î C[Z]. La théorie des proportions donne :

ZDZN = )/1()/1(

ZDZN = )/1()()/1()(

ZDZDZNZN

+ = )/1()/1(jjjii iZZbZZa = )(.2)(.2

XTbXTajji

i∑∑ = G(X) , où G Î C(X). Réciproque facile. L"unicité de G découle de la transcendance de l"élément X de C(Z). 3

Les fractions rationnelles réciproques forment un sous-corps de C(Z) (facile), isomorphe à C(Z)

via le morphisme de substitution G(Z) ® G(X).

Une fraction F est dite antiréciproque si F(1/Z) = -F(Z). Toute fraction rationnelle F s"écrit de

façon unique comme somme d"une fraction réciproque et d"une fraction antiréciproque :

F(Z) =

))1()(.(21ZFZF+ + ))1()(.(21ZFZF- , l"unicité étant facile. Et F est antiréciproque ssi elle peut s"écrire F(Z) = )1.(21ZZ-.G(Z), où G est réciproque.

Par suite, C(Z) = C(X) Å

)1.(21ZZ-.C(X). cqfd. Application à la résolution d"équations polynomiales réciproques Voir chapitre sur les équations algébriques.

2. Etude des polynômes de Tchebychev

2.1. L"équation T

n(z) = b dans C.

L"équation algébrique T

n(z) = b est résoluble par radicaux dans C. Pour la résoudre, procéder en 3 temps : 1) Résoudre l"équation )1.(21ZZ+ = b ; 2) Résoudre zn = Z ; 3) Poser x = )1.(21zz+. 1

er cas : b ¹ ±1. L"équation )1.(21ZZ+ = b s"écrit Z2 - 2b.Z + 1 = 0. Elle a deux racines distinctes Z0

et 1/Z

0. Si z0 est une racine n-ème de Z0, les autres sont z0.expnikp2 (0 £ k £ n-1), celles de 1/Z0

sont 0

1z.expnikp2-. Le lecteur s"assurera que ces deux ensembles sont disjoints. Il y a donc 2n

valeurs possibles de z. Mais il est clair que z

0.expnikp2et

0

1zexpnikp2- fournissent le même x. Il

y a donc n valeurs distinctes de x. 2

ème cas : b = 1. Alors Z = 1 ; zn = 1 donne z = expnikp2 (0 £ k £ n-1) ; x = )1.(21zz+ = cosnkp2.

· Si n = 2m, cela fournit m+1 valeurs de x : 1 > cos np2 > cosnp4 > ... > cosn mp)1(2- > -1 ; · Si n = 2m+1, cela fournit m+1 valeurs de x : 1 > cos np2 > cosnp4 > ... > cosnmp2. 3 ème cas : b = -1. Alors Z = -1 ; zn = -1 donne z = expn ikp)12(- (1 £ k £ n) ; x = cosn kp)12(-. · Si n = 2m, cela fournit m valeurs de x : cos np > cosnp3 > ... > cosn np)1(- ; · Si n = 2m+1, cela fournit m+1 valeurs de x : cos np > cosnp3> ... > cosn np)2(- > -1.

Proposition 1 : Soit b Î C. L"équation T

n(z) = b a n solutions distinctes si b ¹ ±1 ;

L"équation T

n(z) = +1 a m+1 solutions si n = 2m ou 2m+1 ;

L"équation T

n(z) = -1 a m solutions si n = 2m, m+1 solutions si n = 2m+1.

Exercice 3

: Trouver les racines de Tn à l"aide de la méthode précédente. 4

2.2. Etude des polynômes Tn(x) dans R.

Proposition 2 : "n Î N "q Î R cos(nq) = T n(cos q) "n Î N "q Î R ch(nq) = T n(ch q) "n Î N "q Î R (-1) n.ch(nq) = Tn(- ch q)

Preuve

: La seconde formule découle par récurrence de ch((n+2)q) = 2.ch(q).ch((n+1)q) - ch(nq). La troisième s"en déduit, via § 1, prop. 2.

N. B. : Les formules précédentes restent vraies pour q Î C; cela permettrait de retrouver la prop. 1.

Corollaire : "n Î N "x Î [-1 +1] T n(x) = cos(n.Arccos x) "n Î N "x Î [+1 +¥[ T n(x) = ch(n.Argch x)

Proposition 3 : a) Valeurs en ±1

: Tn(1) = 1, Tn(-1) = (-1)n. b) Intervalles de stabilité : "x Î [-1, 1] Tn(x) Î [-1, 1] , "x Î [1, +¥[ Tn(x) Î [1, +¥[. c) Factorisation : Tn(X) = 2n-1Õ n k nkX1))212cos((p. d) Localisation des racines . Les racines de Tn(x) sont toutes réelles, simples, appartenant à ]-1, 1[.

Les racines de T

n-1 s"intercalent entre celles de Tn.

Preuve

: c) Il suffit de chercher les racines de Tn réelles et appartenant à [-1, 1], autrement dit de la

forme x = cos q (0 £ q £ p) . T n(x) = 0 Û cos(nq) = 0 Û q = pnk212- (1 £ k £ 2n) .

Mais la parité du cosinus indique que x ne prend que n valeurs, pour 1 £ k £ n. Inutile de chercher

d"autres racines ailleurs ! d) L"intercalation des racines de T n-1 et Tn se vérifie à la main.

Exercice 4

: Etudier les fonctions f(x) = Arccos( 2x2 - 1 ) , g(x) = Arccos( 4x3 - 3x ) , et plus généralement h(x) = Arccos T n(x).

Exercice 5

: Répartition des zéros. Soit -1 £ a £ b £ +1. Trouver la probabilité pour que T n ait une racine dans [a, b], c"est-à-dire lim n®+¥ n

1card { x Î [a, b] ; Tn(x) = 0 }. (cf. aussi § 4.3., ex. 1)

2.3. Polynômes de Tchebychev de seconde espèce

Proposition 4 : 1) On a les formules :

"n Î N* "q Î R sin(nq) = sin q U n-1(cos q) et sh(nq) = sh q Un-1(ch q) , où U n-1(X) = n1 T"n(X) pour n ³ 1.

2) La suite de polynômes (U

n) vérifie les relations de récurrence : U

0(X) = 1 , U1(X) = 2X , Un+2(X) = 2X.Un+1(X) - Un(X) .

3) Factorisation

: Un-1(X) = 2n-1Õ 1

1)cos(

n k nkXp , Un(X) = 2nÕ n k nkX1)1cos(p.

Exercice 6

: Calculer le discriminant du polynôme Tn , c"est-à-dire : disc(T n) = (-1)n(n-1).2(n-1)(2n-1). Õ jiji)²(aa , où les ak sont les racines de Tn.

Exercice 7

: Montrer que les fonctions q ® 1/2, q ® cos(nq), q ® sin(nq) (n ³ 1) sont libres. 5 Exercice 8 : Montrer que pour n ³ 2, Tn(X) = 21 [ Un(X) - Un-2(X) ] .

Les polynômes T

n et Un sont préprogrammés dans Maple : package orthopoly. T

1(X) = X U0(X) = 1

T2(X) = 2.X2 - 1 U1(X) = 2.X

T3(X) = 4.X3 - 3.X U2(X) = 4.X2 - 1

T4(X) = 8.X4 - 8.X2 + 1 U3(X) = 8.X3 - 4.X

T5(X) = 16.X5 - 20.X3 + 5.X U4(X) = 16.X4 - 12.X2 + 1 T6(X) = 32.X6 - 48.X4 + 18.X2 - 1 U5(X) = 32.X5 - 32.X3 + 6.X

2.4. Variations des

Tn, ou la fraise du duc.

Graphes des polynômes Tn(x) , 0 ££££ n ££££ 7

Le duc d"Alençon, par François Clouet

Exercice 9 : Tableaux de variations de Tn sur R. Graphes ? Ces tableaux de variations confirment et précisent les informations antérieures.

Si b est réel, l"équation T

n(x) = b a :

· n solutions réelles si -1 < b < 1 ;

· ses solutions réelles, mais multiples si b = ±1 ; · une solution réelle si 1 < b, n impair ou si b < -1, n pair ;

· deux solutions réelles si 1 < b, n pair ;

· 0 solution réelle si b < -1, n pair.

Notons que sur [-1, 1], les graphes des polynômes de Tchebychev sont des courbes de Lissajous

particulières, car ils ont pour équation paramétrique : x = cos q , y = cos nq . Ils proviennent donc de

la composition de deux phénomènes vibratoires.

Plus généralement, les courbes de Lissajous x = cos(pq), y = cos(qq) ont une image incluse dans la

courbe algébrique d"équation résultant(T p(t) - x , Tq(t) - y , t) = 0.

2.5. Quotients et pgcd

Proposition 5 : i) pgcd(U

m(X), Un(X)) = Ud-1(X), où d = pgcd(m + 1, n + 1). ii) Si d = pgcd(m, n), m = d.m

1, n = d.n1, alors :

· Si m

1 et n1 sont impairs, pgcd(Tm(X), Tn(X)) = Td(X),

6 · Si m1 ou n1 est pair, pgcd(Tm(X), Tn(X)) = 1.

Preuve

: Les polynômes étant scindés à racines simples, il suffit de trouver leurs racines communes.

C"est facile pour les polynômes de 2

ème espèce, un peu moins pour ceux de 1ère espèce. i) On a U m(X) = 2mÕ m p mpX1)1cos(p et Un(X) = 2nÕ n q nqX1)1cos(p. Compte tenu de l"injectivité du cosinus sur [0, p], les racines communes correspondent à : 1+mp p = 1+nq p, i.e. à p (n + 1) = q (m + 1) , ou encore à p d.n1 = q d.m1 , ou pn1 = qm1 en posant m +1 = dm

1 et n + 1 = dn1, Par Gauss, cela implique n1 divise q.

Posons q = kn

1. Alors cos1+nq

p = cos1 1+nkn p = cosdkp

Au final, pgcd(U

m(X), Un(X)) = CÕ 1

1)cos(

d k dkXp) = Ud-1(X) à scalaire près. ii) On a

Tm(X) = 2m-1Õ

--m p mpX1))212cos((p et Tn(X) = 2n-1Õ --n q nqX1))212cos((p. Par injectivité du cosinus sur [0, p], les racines communes correspondent à mp 2)12( p- = nq 2)12( p-, i.e. à (2p - 1).n = (2q - 1).m , ou encore à (2p - 1).n

1 = (2q - 1).m1 ,

en posant m = dm

1 et n = dn1 où d = pgcd(m, n).

Par Gauss, cela implique n

1 divise 2q - 1 et m1 divise 2p - 1.

· Si m

1 ou n1 est pair, il n"y a pas de racine commune, et pgcd(Tm(X), Tn(X)) = 1.

· Si m

1 et n1 sont impairs, pgcd(Tm(X), Tn(X)) = Td(X),

2.6. Convergences des polynômes de Tchebychev

Etudions la suite (T

n) des polynômes de Tchebychev sur [-1, 1]. On montrera que :

Exercice 10

: a) La suite ( Tn(x) ) converge vers 1 pour x = 1, diverge si x ¹ 1. Elle converge en moyenne de Cesàro vers 1 si x = 1, vers 0 sinon. b) Les suites ( T n ), ( |Tn| ) et ( Tn2 ) convergent vaguement. c) La suite ( T n ) ne converge ni en moyenne quadratique, ni en moyenne.

2.7. Expressions par radicaux

Exercice 11

: Montrer les formules : Tn(x) = 21[(x + inx)²1- + (x - inx)²1-] pour |x| £ 1 T n(x) = 21[ (x +nx)1²- + (x - nx)1²-] pour |x| ³ 1

Etablir des formules analogues pour U

n(x). Ces formules restent valables dans l"extension quadratique C[X][

²1X-] de C[X].

2.8. Equations différentielles

Proposition 6 : Les polynômes T

n(X) et Un(X) vérifient les équations différentielles : ( 1 - X

2 ))""(XTn - X.)"(XTn + n2 Tn(X) = 0

( 1 - X

2 ))""(XUn - 3X)"(XUn + n ( n + 2 ) Un(X) = 0.

Preuve

: Dérivons deux fois la relation cos(nq) = Tn(cos q). Il vient : - n

2 cos(nq) = ( 1 - cos2 q ).Tn""(cosq) - cos q.Tn"(cos q).

7 Du coup ( 1 - X2 ))""(XTn - X.)"(XTn + n2 Tn(X) a une infinité de racines... La seconde équation s"obtient en dérivant deux fois la relation sin((n + 1)q) = sin q.U n(cos q), et en simplifiant par sin q en se plaçant sur ]0, p[. Même conclusion...

Corollaire : expressions explicites de T

n et Un . T n = 12-n[ Xn - ²2nXn-2 + 42!.2)3( -nn Xn-4 - 62!.3)5)(4( --nnn Xn-6 + 82!.4)7)(6)(5( ---nnnnXn-8 + ... ]

Autrement dit Tn(X) = 2n∑

]2/[ 0 2 )2.()!2(!)!1()1( n k knk

Xknkkn = 2n∑

]2/[quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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