[PDF] [PDF] MPSI 2 DS 06 1 Polynômes de Tchebychev

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feuille.vide

Q11/3Q3

Q2 espaceblanc. merunepartiedelacopie.

R´edactionmath´ematique:

d´emonstration. probl`eme. 1 ?P?=supx?[-1,1]??

P(x)??Q7V´erifierque:

a.?P?estbiend´efini. c.?P?E,?λ?R,?λ.P?=|λ|?P? d.?P?E,?P?=0??P=0E. b.End´eduireque?T? r+r-12 =rn+r-n2 c.End´eduireque?n?N, n2Tn-XT? n+(1-X2)T?? n=0(4) b.Montrerque?n?N,?k?[[0,n]], c.End´eduireque?n?N,?k?[[0,n]],

T(k)n(1)=nn+k(n+k)!(n-k)!2kk!(2k)!(6)

.Onobtientainsiune polynˆomedeLagrange Li= ?j?[[0,n]] b.CalculerT?

P=n?i=0P(ai)Li(7)

b.Montrerque

Tn=n?i=0(-1)n-iLi(8)

c.Soitx?[1,+∞[.Montrerque

Tn(x)=n?i=0?

?Li(x)??(9) d.SoitunpolynˆomeP?En.Montrerque

MPSI24DS06Q14a.Montrerque

?L(k) i(x)??(11) b.SoitunpolynˆomeP?En.Montrerque ond´efinitlepolynˆome

Pλ=P?λ+ε2

X+λ-ε2

(13) ??P(k)

λ(1)

??=?|λ|+12 ?k? ?P(k)(λ)??(14)Q16End´eduireque n 2k?

Maispuisquecosp+cosq=2cos?p+q2?

cos?p-q2? ,ilvientqueH(x)=0,cequimontrequele tchebychev:=proc(n,x) localP,PP;

P:=1;PP:=x;

forifrom2tondo temp:=PP;

PP:=2*x*PP-P;

P:=temp;

#INV:P=T_{i-1}(x),PP=T_i(x) od; PP;

UTn+2=2XUTn+1-UTn=2XUTn+1-(1-VTn+1)

cequidonne (2XU+V)Tn+1-UTn+2=1

´ecrire??P(x)??=1?

?λ???λP? ?λ.P? d"o`uler´esultat. -Puisque??Tn(1) ??sin(nu)????cosu??+??sin(u)????cos(nu)? =(n+1) ??sinu?? b.End´erivantlarelation1,ontire: ?θ?R,T? n(cosθ)sinθ=nsin(nθ) ??T? ?sinθ?? T? T?

P(n):Tn?

r+r-12 =rn+r-n2 2 ?r+r-12 Tn+1? r+r-12 -Tn? r+r-12 =(r+r-1) rn+1+r-(n+1)2 -rn+r-n12 d"apr`esP(n),P(n+1) rn+2+r-(n+2)2 ?[1,+∞[-→R r?→r+r-12 onmontreque ,on etd"apr`esa),

Tn(x)=Tn?

r+r-12 =rn+r-n2 ≥1+12 =1

Tn(x)=rn+r-n2

?θ?R,-T?? n(cosθ)sin2θ+T? n(cosθ)cosθ=n2cos(nθ) T?? n(x)(1-x2)-xT? n(x)+n2Tn(x)=0

PosonsH=n2Tn-XT?

n+(1-X2)T? l"´enonc´e. n2T(k)n-k?j=0? k j?

X(j)T(k-j+1)n+k?j=0?

k j? [1-X2](j)T(k-j+2)n=0 =1. ontrouveque (n2-k2)T(k)n(1)-(2k+1)T(k+1)n(1)=0

Alors:

T(k+1)n(1)=(n-k)(n+k)2k+1T(k)n(1)

=n(n+k)![n-(k+1)]!2kk!(2k+1)!

MPSI28DS06d"o`uP(k+1).

?x?R,(-1)kT(k)n(-x)=(-1)nTn(x) .Puisque que?j?[[0,n]],|Tn(aj)|=1. b.T? n(an)=T? n(1)=n2etT? n(a0)=T? larelation1,ona ?θ?R,T? n(cosθ)sinθ=nsin(nθ) T? j=0P(aj)δij=P(ai)-P(ai)=0Le 8, ?Li(x)??.Finalement,enutilisant l"identit´e9,

Tn(x)=n?i=0(-1)n-i(-1)n-i?

?Li(x)??=n?i=0? ?Li(x)?? c.Soitx≥1.Majorons: ?P(ai) ?Li(x)?? etlaquestion10c,ontrouveque

T(k)n=n?i=0(-1)n-iL(k)

i(x)=(-1)n-i? ?L(k) i(x)??etil suffitderemplacerL(k) b.PuisqueP=?n ?n i=0P(ai)L(k) ietsi x≥1,enmajorant, ?P(k)(x)??=???n?i=0P(ai)L(k) i(x)??? ?P(ai) ????L(k) i(x)?? ?L(k) i(x)?? P(k)

λ(X)=?λ+ε2

?kP ?λ+ε2

X+λ-ε2

Enfaisantx=1,ontrouve

P(k)

λ(1)=?λ+ε2

?kP(λ) ?k=(-1)k? |λ|+12 ?k.Enprenantlavaleur ?P(k)(λ)??=?2|λ|+1?k? ?P(k)

λ(1)

pardesin´egalit´esqueλ+ε2 x+λ-ε2 ?[-1,1].Onend´eduitquequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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