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Centre gravité du TRIANGLE

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PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

Le calcul du moment d'inertie passe toujours par celui du centre de gravité. Dans cet exemple le centre de gravité avait.

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Distances du centre de gravité aux points remarquables du triangle

qui joint le centre de gravité G au centre I du cercle. Ann.de Uathcmat 3e serie

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Exercice 1 Une sphère de rayon r est « retirée » d'une sphère de rayon R>r La distance entre les centres des sphères est a Trouver le centre de gravité

Comment calculer le centre de gravité d'un triangle ?
Le centre de gravité (G) du triangle quelconque se trouve à l'intersection des trois médianes (AM_A , BM_B , CM_C). Le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet. au (1/3, 2/3) de la médiane.
Comment calcule le centre de gravité ?
Si un objet est constitué d'un ensemble de masses ponctuelles, alors si nous additionnons le produit de chacune de ces masses avec la distance de cet élément de masse de l'axe de rotation, puis divisons cette somme par la somme de toutes les masses de notre système, alors cette fraction est égale au centre de gravité.
Comment trouver le centre de gravité d'un triangle rectangle ?
Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul. Notons que le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle est, lui, le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
Le point d'intersection des trois médiatrices d'un triangle se trouve à égale distance des trois sommets du triangle. Ce point est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.

Méca 1 Série 5 - 1 -

Exercices de mécanique 2

Centre de gravité

Exercice 1

Une sphère de rayon r est " retirée »

La distance entre les centres des sphères est a. Trouver le centre de gravité du volume restant.

Solution

Plaçons les axes au centre de la sphère de rayon

R, donc C

1 est confondu avec O. (Sur le schéma,

Par symétrie, il est évident que les centres C 1, C2 et C sont alignés sur une droite que nous choisissons comme axe x. Par conséquent, il suffit de calculer la coordonnée x OC du centre de gravité. Les coordonnées yet zsont nulles. On a 12

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 12

2 1 2La masse de la sphère évidée est :

On a aussi, par défintion du centre de gravité : . . .

Or : 0 (puisque et sont confondus) et

0 . .m m m

m OC m OC mOC m OC m OC m m OC

OC O C OC a

mm a m m OC OC 2 12 2 12 3 3 33
33.

Et puisque ce sont des sphères homogènes

4 ..3 44
33
la centre de gravité se situe sur la ligne des centres, à la gauche du plan yz.a mm

VaOCVV

ra raOCRrRr C R rC2C1xy a

Méca 1 Série 5 - 2 -

Exercice 2

Trouver le centre de gravité

Solution

Première méthode

Choisissons les axes de façon à ce

que le sommet du cône soit à

Soit R le rayon de la base, h la

hauteur du cône et le demi angle au sommet du cône.

Par symétrie, il est immédiat que le

centre de gravité du cône se trouve

On a :

.Dans le cas d'un système continu : comme : . ( :masse volumique) ..L'équation se simplifie :

Ces intégrales étant prisent de 0 à h.

Considérons un élement de volume OP dm

OGdm dm dV z dV z dVOGdV dV 2 2 2 corespondant à un élément de hauteur . On peut assimiler cet élément à un cylindre de hauteur de rayon r.

La relation liant et est : tan

tan .dV dz dV dz r z r z dV r dz z dz dz R r h Oz

Méca 1 Série 5 - 3 -

4 3 2 3 0 0 0

32 2 2

0 0 0Par conséquent :

tan 34
4tan

3h h h

h h hh zdV z dz z dzhOGhdV z dz z dz

Deuxième méthode

dz x hA x A Rr 22
x 22
2 2

200 00

0 0020

2 2 3 4

2 2 3 00 23
22
20A

On a : carA

et 2 2 2 3 4 2 2 23x
h h hh x h hhhx h h hhx r r h x

R h R h

dV A dx hx x A dxxdV x A dx x h x dxxdVhxdVhxdV A dx h x dxA dxh h x x h x h x x h x dx x h x h hx x dxhx 04 3 NOTE : pris à partir de la base = pris à partir du sommet.44h h hh

Méca 1 Série 5 - 4 -

Exercice 3

Trouver le centre de gravité de la surface limitée par la parabole

24y axet les

droites

0x et yb

Solution

2 2 44b
ybxay axyb

Composante y

yy = b y

2 = 4axx

dy XY ( b

2/4a ; b )

2Formule générale : Dans le cas d'une surface plane homogène, la formule se simplifie selon :

étant la surface comprise entre la parabole, l'axe des y et la droite

On a : orG

Gxdm ym ydAyA Ay b dA x dy y 22
2 3 000 22
00 04 44
3 4 4 4b bb G bbbyy ax x dA dyaa yy dyydA y dyydAbayyAdA y dydya

Méca 1 Série 5 - 5 -

Composante x

yy = b y

2 = 4ax

dx XY ( b

2/4a ; b )

x b- 4ax

Formule générale :

Dans le cas d'une surface plane homogène, la formule se simplifie selon : étant la surface comprise entre la parabole, l'axe des y et la droite

On a : G

Gydm xm xdAxA Ay b dA b y dx b 22
22
4 42
0 0 44
004 4 3 404b
b a a Gquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Comment calculer le centre de gravité d'un triangle ?

Comment calcule le centre de gravité ?

Comment trouver le centre de gravité d'un triangle rectangle ?

Méca 1 Série 5 - 1 -

Exercices de mécanique 2

Centre de gravité

Exercice 1

Une sphère de rayon r est " retirée »

Solution

R, donc C

1 est confondu avec O. (Sur le schéma,

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

2 1 2La masse de la sphère évidée est :

Or : 0 (puisque et sont confondus) et

0 . .m m m

OC O C OC a

Et puisque ce sont des sphères homogènes

VaOCVV

Méca 1 Série 5 - 2 -

Exercice 2

Trouver le centre de gravité

Solution

Première méthode

Choisissons les axes de façon à ce

Soit R le rayon de la base, h la

Par symétrie, il est immédiat que le

On a :

Ces intégrales étant prisent de 0 à h.

Considérons un élement de volume OP dm

La relation liant et est : tan

Méca 1 Série 5 - 3 -

32 2 2

0 0 0Par conséquent :

3h h h

Deuxième méthode

200 00

0 0020

2 2 3 4

On a : carA

R h R h

Méca 1 Série 5 - 4 -

Exercice 3

24y axet les

0x et yb

Solution

Composante y

2 = 4axx

2/4a ; b )

2Formule générale : Dans le cas d'une surface plane homogène, la formule se simplifie selon :

On a : orG

Méca 1 Série 5 - 5 -

Composante x

2 = 4ax

2/4a ; b )

Formule générale :

On a : G