Parité dune fonction Centre et axe de symétrie dune courbe
La courbe ci-contre est sa représentation graphique et admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Fonction impaire. On dit que la fonction f est impaire
La courbe admet un axe de symétrie La courbe admet un centre de
On trace la courbe de la fonction sur la calculatrice et on réfléchit à ce qu'il va falloir montrer. Comment montrer qu'une courbe admet un axe de symétrie
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment montrer qu'une fonction f admet une limite L (L œ R ou = ±Œ) en un point x0 et la calculer? 15 d'équation x = 2 pour axe de symétrie.
Fonctions : symétries et translations
27 févr. 2017 d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. x. ?x f (?x) = f (x). M.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
j ) la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole
Axe de symétrie dune parabole (1)
Ici ? =2 la parabole admet donc pour axe de symétrie la droite d'équation =2 Exemple : donner l'extremum de la fonction f définie par.
Chapitre 5 - Fonctions à valeurs réelles ou complexes : première
des axes de coordonnées comme centre de symétrie. • La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des or- données comme axe de symétrie.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
III. Extremum. La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées. Définition :.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x =? . Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2.
[PDF] Parité dune fonction Centre et axe de symétrie dune courbe
Dans ce cas la courbe représentative de la fonction f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie Exemple: f(x) = x² – 3 Son ensemble de définition est
COURBES ET SYMETRIES - webclassefr
1) Comment montrer qu'une courbe Cf admet un axe de symétrie ? f est une fonction définie sur son domaine Df Cf est la courbe représentative de la fonction
Comment montrer quune courbe admet un axe de symétrie ou un
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle Df centré en zéro et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal
[PDF] Fonctions : symétries et translations - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · Montrer que Cf est symétrique par rapport à l'axe x = 1 On change de repère passant de (O ? l) à (A ? l) On a les relations suivantes :
[PDF] Etude de fonctions
Pour démontrer que l'axe ? d'équation : x = a est un axe de symétrie de C on peut utiliser l'une des deux méthodes suivantes : Méthode 1 Démontrer que :
Centre & axe de symétrie dune courbe y = f(x) - ChronoMath
en rouge la représentation graphique de la fonction g : x ?x3 : fonction impaire car g(-x) = (-x)3 = -x3 = -g(x) La courbe admet donc encore O comme centre
axe de symétrie et centre de symétrie dune courbe représentative
Comment montrer que cette courbe admet la droite d'équation x = a comme axe de symétrie ? Soit en effectuant un changement de repère par translation de vecteur
Maths première : Axe de symétrie et fonction numérique - YouTube
21 sept 2020 · Soutien scolaire mathématiquesMaths première : Axe de symétrie et fonction numériquePartagez Durée : 2:52Postée : 21 sept 2020
[PDF] Axe de symétrie dune parabole (1)
Ici ? =2 la parabole admet donc pour axe de symétrie la droite d'équation =2 x Exercices Donner l'axe de symétrie de la parabole d'équation : 1
Comment montrer qu'une fonction admet un axe de symétrie ?
On dit que la fonction f est paire si l'ensemble Df est centré en 0 (c'est-à-dire que si x Df , alors – x Df ) et si pour tout x de Df , f(– x) = f(x). Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.Comment montrer que c'est un axe de symétrie ?
Une figure poss? un axe de symétrie lorsque la figure est partagée par une droite en deux parties superposables. La médiatrice (d) d'un segment [AB] est l'axe de symétrie de ce segment. La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.Comment prouver qu'une fonction est symétrique ?
On peut prendre m = f(a) et M = f(b), f est donc bornée. d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Théorème 1 : Soit A(a ; 0) dans le repère (O, ?, l) .27 fév. 2017- L'axe de symétrie est perpendiculaire au segment (ils forment un angle de 90°). À l'aide d'une équerre, trace une droite perpendiculaire au segment, qui passe par le milieu du segment. La droite (d) est perpendiculaire au segment [XY] et passe par son milieu (M). La droite (d) est l'axe de symétrie du segment [XY].
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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:06 Fonctions : symétries et
translationsTable des matières
1 Définition2
1.1 Fonction numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Parité d"une fonction4
2.1 Fonction Paire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Fonction impaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Autres symétries5
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Symétrie par rapport à un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Des représentations déduites par symétrie. . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Translation9
4.1 Translations horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Translations verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
1 Définition
1.1 Fonction numérique
Définition 1 :Unefonctionnumériquefd"unevariableréellexestunerelation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x). On écrit alors : f:RouDf-→R x?-→f(x) ?Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x) qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.Exemple ::
f(x) =3x-7fest une fonction affine (droite)
f(x) =5x2-2x+1fest une fonction du second degré (parabole) f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique (hyperbole) f(x) =e-x2fonction de Gauss (courbe en cloche)1.2 Ensemble de définition
Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des va- leurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemple :
Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =⎷4-xa pour ensemble de définition : D f=]-∞; 4](4-x?0) Soit la fonctiongdéfinie parg(x) =3x2-5x-6a pour ensemble de défini- tion :Dg=R-{-1 ; 6}(x2-5x-6?=0,x=-1 racine évidente) Soit la fonctionhdéfinie parh(x) =ln(x+1)a pour ensemble de définition D h=]-1 ;+∞[(x+1>0)1.3 Comparaison de fonctions
Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : Elles ont même ensemble de définition :Df=DgPour toutx?Df,f(x) =g(x)
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
Exemple :Les fonctionfetgdéfinies ci-dessous, sont-elles égales? f(x) =? x-1 x+3etg(x) =⎷ x-1⎷x+3Déterminons leur ensemble de définition :
Pourf, on doit avoir :x-1x+3?0, d"oùDf=]-∞;-3[?[1 ;+∞[ Pourg, on doit avoir :x-1?0 etx+3>0, d"oùDg= [1 ;+∞[ On a donc :Df?=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales. ?On remarquera cependant que sur[1 ;+∞[, on af(x) =g(x) Définition 4 :Soit I un intervalle et soitfetgdeux fonctions définies sur I.On dit que sur I :
f?g? ?x?I,f(x)?g(x).
f?0? ?x?I,f(x)?0.
festmajorée? ?M?R,?x?I,f(x)?M.
festminorée? ?m?R,?x?I,m?f(x).
festbornée? ?m,M?R,?x?I,m?f(x)?M.
Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux fonc- tions ne sont pas toujours comparables. Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2. On a par exemple : 12>?12?
2 ?f?12? >g?12? et 2<22?f(2)On met la fonction sous la forme canonique :
f(x) =-x2+x=-(x2-x) =-? x-1 2? 2 +14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et de sommet S?1 2;14?La fonctionfest donc majorée par1
4. Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx-3 est bornée.On a pour toutx?R:
-1?sinx?1? -4?4sinx?4? -7?4sinx-3?1? -7?g(x)?1 gest donc bornée par[-7 ; 1].PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. PARITÉ D"UNE FONCTION
M fmajorée m fminorée M m fbornée Propriété 1 :Sifune fonction est monotone sur un intervalle I= [a;b]alors fest bornée. Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx?[a;b], i.e.a?x?b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"oùf(a)?f(x)?f(b). On peut prendrem=f(a)etM=f(b),fest donc bornée.2 Parité d"une fonction
2.1 Fonction Paire
Définition 5 :On dit qu"une fonctionfest paire surDfssi l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =f(x)
Exemple :Les fonctions suivantes sont paires sur leur ensemble de définition: f1(x) =x2,f2(x) =5x4+3x2-1,f3(x) =cosx,f4(x) =sinx
x,f5(x) =e-x2 Remarque :Le terme " pair » doit son nom au fait que les fonctions polynômes qui ne contiennent que des termes de puissances paires vérifient :f(-x) =f(x)Propriété 2 :La représentation
d"une fonction paire estsymétrique par rapport à l"axe des ordonnées. ??x -x f(-x) =f(x)MM"OPAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
2.2 Fonction impaire
Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =-f(x)
Exemples :
Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f1(x) =x3,f2(x) =sinx,f3(x) =tanx,f(x)4=1
x,f5(x) =4x3-3x Remarque :Le terme " impair » doit son nom au fait que les fonctions po- lynômes qui ne contiennent que des termes de puissances impaires vérifient : f(-x) =-f(x)Propriété 3 :La représentation
d"une fonction impaire estsymétrique par rapport à l"origine. x -x f(x)f(-x) MM" O3 Autres symétries
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical
Théorème 1 :Soit A(a; 0)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(A,?ı,??), alors, on a les relations :?X=x-a Y=y SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport à l"axex=asi et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(A,?ı,??)est paire.Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) =f(a-x)
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2-2x-1. Montrer queCfest symétrique par rapport à l"axex=1.On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(A,?ı,??). On a les relations suivantes : ?X=x-1Y=f(x)?
x=X+1 g(X) = (X+1)2-2(X+1)-1 ?x=X+1 g(X) =X2+2X+1-2X-2-1? x=X+1 g(X) =X2-2 1 -1 -21 2 3-1? x X=x-1 x=1 A M Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbeCfest symétrique par rapport à la droitey=1. Remarque :Autre méthode :f(1+x) =f(1-x)en effet : f(1+x) = (1+x)2-2(1+x)-1=1+2x+x2-2-2x-1=x2-2 f(1-x) = (1-x)2-2(1-x)-1=1-2x+x2-2+2x-1=x2-23.2 Symétrie par rapport à un point
Théorème 2 :Soit I(a;b)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(I,?ı,??), alors, on a les relations?X=x-a Y=y-b SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport au point I(a;b)si et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(I,?ı,??)est impaire. Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) +f(a-x) =2b Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR-{-1}tel quef(x) =2x-1x+1. Montrer queCfest symétrique par rapport au point I(-1 ; 2).On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(I,?ı,??). On a les relations suivantes :PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
?X=x+1Y=f(x)-2????x=X-1
g(X) =2(X-1)-1X-1+1-2????x=X-1
g(X) =2X-3X-2 ?x=X-1 g(X) =2X-3-2XX????x=X-1
g(X) =-3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe deCfest symétrique par rapport au point I.Remarque :Autre méthode :
f(-1+x) +f(-1-x)2(-1+x)
-1+x+1+2(-1-x)-1-x+1 -2+2x x--2-2xx =4=2×2246 -22 4-2-4 xX=x+1yY=y-2MIM"
O3.3 Des représentations déduites par symétrie
Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3-3x2+1 représentée ci-dessous.1) Déduire les courbes des fonctionsg,
hetkdéfinies surRpar : a)g(x) =-f(x) b)h(x) =|f(x)| c)k(x) =f(-x)2) On définie surRla fonctionFpar :
F(x) =f(|x|).
a) Démontrer que la fonctionFest paire b) En déduire la représentation deF 12 -1 -2 -3 -41 2 3-1-2 Cf O 1) a)PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
La courbeCgest l"image deCfpar
lasymétrie par rapport à l"axe des abscisses. 123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2 CfCg O b) On déduit la courbeChen faisant une symétrie par rapport
àl"axedesabscissesuniquement
lorsquef(x)<0. 123-1 -2 -31 2 3-1-2 O Cf Ch c) La courbeCkest l"image deCfpar lasymétrie par rapport à l"axe des ordonnées. 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 O CfCk
2) a) On a pour toutxréel :F(-x) =f(| -x|) =f(|x|) =F(x)
La fonctionFest donc paire.
b) On déduit la courbeCFde la courbe C fen faisant une symétrie par rap- port à l"axe des ordonnées unique- ment six<0 123-1 -2 -31 2 3-1-2-3 O Cf CF
PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR
4. TRANSLATION
4 Translation
Théorème 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. SoitCfsa courbe représentative. Soit les les fonctiongeth, les fonctions définie respectivement surJetItel queJ est l"intervalle I décalé vers la droite deapar : g(x) =f(x-a)eth(x) =f(x) +b a ?ıetb??de la courbeCf4.1 Translations horizontales
12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5-1-22?ı CfCg O f(x) =x3-3x2+1 g(x) =f(x-2)=(x-2)3-3(x-2)2+1 12 -1 -2 -31 2 3 4 5-1-2-3-3?ıCf Cg O f(x) =lnx Df=]0 ;+∞[ g(x) =f(x+3)=ln(x+3)Dg=]-3 ;+∞[4.2 Translations verticales
1234-1 -2 -31 2 3-1-2 2?? Cf Cg O f(x) =x3-3x2+1 g(x) =f(x) +2=x3-3x2+3 12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5-1-2-3 -3?? Cf Cg O f(x) =lnx Df=]0 ;+∞[ g(x) =f(x)-3=lnx+3Dg=]0 ;+∞[
PAUL MILAN9VERS LE SUPÉRIEUR
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