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CERCLES SEGMENTAIRES

VARIATIONS

GÉNÉRALISATIONS

Le thème d"un problème de Géométrie

est le motif qui a inspiré le problémiste

Jean-Louis AYME

1 A B I M J 1 2

Résumé. L"auteur présente un thème intitulé Un cercle dans un segment de cercle... sous la

forme d"une progression... Les situations envisagées proviennent de la banque de données de l"auteur. Des variations suivies de généralisations agrémentent cette recherche non exhaustive accompagnée de notes biographiques, archives et San Gaku. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous

être démontrés synthétiquement.

Remerciements : je tiens à remercier le professeur D. G. Rogers pour des informations complémentaires

Abstract. The author presents a theme entitled a circle in a segment of a circle... in the form of a progression... Envisaged situations come from the database of the author. Variations followed generalizations adorn this accompanied by non-exhaustive search for biographical notes, archives and San Gaku 2.

1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 28/02/2015 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2 http://www.wasan.jp/index.html

2The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown

synthetically. Acknowledgements : I would like to thank Professor D. G. Rogers for more information.

Sommaire

A. Introduction 3

1. Présentation

2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

B. Résumé des figures 6

C. Archimède de Syracuse 7

I. Terminologie

1. Segment circulaire

2. Un cercle segmentaire

3. L"arbelos

II. Résultats 9

1. Un alignement

2. Un cercle orthogonal à un cercle segmentaire

3. Tangente remarquable à un cercle segmentaire

4. Equivalence ""corde-arc""

5. Equivalence ""arc-corde""

6. Deux cercles segmentaires tangents

7. Un premier cercle d"Archimède

8. Les cercles jumeaux d"un arbelos

9. Un cercle tangent à l"arbelos

10. Une courte biographie d"Archimède

D. Pappus d"Alexandrie 28

I. Terminologie

1. Un fer à cheval ou une lune

2. Un cercle de Pappus

3. D"un arbelos à un fer à cheval tangent

II. Résultats

1. Un alignement

2. Un cercle orthogonal à un cercle de Pappus

3. Tangente remarquable à un cercle de Pappus

4. Deux cercles de Pappus tangents

5. Un cercle de James Henry Weaver

6. Un premier cercle de Pappus

7. Une courte biographie de Pappus

E. Gaston Gohierre de Longchamps 39

I. Terminologie

1. Un triangle circulaire

2. Un cercle de Longchamps

II. Résultats

1. Un cercle de Longchamps

2. La corde de Longchamps

3. La corde d"Eugène Lauvernay

4. Une courte biographie de Longchamps

F. Victor Thébault 44

I. Terminologie

1. Un triangle curviligne

2. Un cercle de Thébault

II. Résultats

1. La corde de Y. Sawayama

2. La corde généralisée de Lauvernay

3. Un cercle remarquable

4. Une courte biographie de Thébault

G. Deux exercices 51

1. A variation of Chinese TST 2009

2. Alkan Emre, Problème 10368, A. M. Monthly (1994)

3A. INTRODUCTION

1. Présentation

En feuilletant le Mathematical repository

4 de 1835, la Question 531 signée N. Y. (John Lowry) a retenu

mon attention en la liant au motif suivant que j"avait en tête. le motif Cette question concernant l"Arbelos d"Archimède de Syracuse

5 était suivie de la solution de John Baines de

Thornhill (West Yorkshire, Angleterre) un ami de Thomas Stephens Davies...

3 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ, p. 155-157

4 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie I, p. 155-157

5 Archimède, Lemmes 4, 5, 6 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

4 4 6 En poursuivant ma lecture, je tombait sur une nouvelle solution

7 de la Question 531 proposée par T. S. Davies

(1794?-1851) de Bath (Somerset, Angleterre). Elle était accompagnée d"un développement ""collatéral"" mettant

en exergue le motif ci-avant. 8 Ce développement se terminait par une étude de l"Arbelos 9.

6 Davies T.S., Article XXIII p. 209-214 ; https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath

7 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie II, p. 206-208

https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath p. 209-214

8 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208

9 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208

5 2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

Thomas Leybourn est né le 9 avril 1770.

En 1799, il fonde le Mathematical Repository 11 qui paraîtra jusqu"en 1804 et reparaîtra en 1806 sous un autre

nom The New Series of The Mathematical repository avant de disparaître en 1835. Professeur de mathématiques de 1802 à 1839 au Royal Military College de Great Marlow

(Buckinghamshire, Angleterre) délocalisé en 1812 à Sandhurst (Berkshire), il publie en 1817 un recueil de

solutions proposée par le Ladies" Diary depuis sa parution en 1816.

Il décède le 1er mars 1840 à Sandhurst.

10 Leybourn T., peinture datant de 1835 d"un artiste inconnu exposée au National Army Museum

11 Leybourn T., Mathematical repository vol. 1, 2, 43 (1799-1804), (old serie au XVIIIe siècle)

6B. RÉSUMÉ DES FIGURES

La réalisation d"un thème

passe par la fusion harmonieuse des éléments qui le compose. Les forces émises entre les différents éléments doivent s"équilibrer pour façonner un thème. 12

12 Monica A. R.

A B I M J 1 2 3 P Tp E B C D 1" A A* R Q I 2 1 I* A+ B C 0 A I A+ A* R Q 2 7

7C. ARCHIMÈDE DE SYRACUSE

I. TERMINOLOGIE

1. Segment circulaire

VISION

Figure :

A B D 1

Finition : [AB] un segment,

1 un arc de cercle passant par A et B,

et D le domaine limité par [AB] et 1. Définition : D est ""un segment circulaire"".

Notation : D se notera ([AB], 1).

Énoncé traditionnel :

Le segment circulaire constitue la partie entre la corde et un arc.

2. Un cercle segmentaire

VISION

Figure :

2 D 1

Finition : D un segment circulaire

et 2 un cercle de D tangent à sa corde et à son arc. 8

8 Définition : 2 est ""un cercle segmentaire de D "".

Énoncé traditionnel :

un cercle segmentaire d"un segment circulaire est à la fois tangent à l"arc et à la corde qui le sou tend.

Note historique : un cercle segmentaire a été considéré dans un cas particulier par Archimède

13.

3. L"arbelos

VISION

Figure :

A B C 0 1 2

Finition : [AB] un segment,

0 un demi-cercle de diamètre [AB],

C un point de [AB]

et 1, 2 les demi-cercles de diamètre resp. [AC], [CB] situés dans le même demi-plan que 0. Définition : le domaine limité par 0, 1 et 2 est ""un arbelos"". 14

Note historique : Archimède a écrit le livre des Lemmes qui a été perdu; seule sa traduction en Arabe,

puis en latin, nous est parvenue sous le titre de Liber assumptorum ; c"est à la

proposition 4 de ce livre, que se trouve le célèbre théorème de l"Arbelos i.e. de la serpe

ou du tranchet du cordonnier qui géométrise l"espace curviligne compris entre trois demi-circonférences tangentes deux à deux. Le danois Georg Mohr lui a aussi donné le nom de tricercle.

13 Archimède, Lemmes, proposition 5 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

14 Heath T. L., Works of Archimedes, Cambridge (1897) Lemmes 4-6

9 9 Si les premières propriétés de l"Arbelos se trouvent dans les travaux d"Archimède, d"autres apparaissent dans les Collections de Pappus

15. Beaucoup plus tard, l"étude de

l"Arbelos sera reprise dans la revue Ladies and Gentlemen"s diary de 1833, 1842 et

1845, et généralisée par Jakob Steiner

16. En 1835, Sir Thomas Muir 17 ajoute un

théorème donnant les formules des différents rayons et John Sturgeon MacKay rassemble quelques résultats

18 en liaison avec ce problème. En 1919, Gaston Fontené

19 généralise quelques formules émergeant de l"ensemble des cercles tangents.

Commentaire : la leçon qui consistait à l"étude systématique des propriétés de l"Arbelos, a disparu des

manuels suite à la révolution menée par Andrien-Marie Legendre (18/09/1752, Paris-

10/01/1833, Auteuil) lorsqu"il publia en 1756 ses Éléments de Géométrie.

II. RÉSULTATS

1. Alignement

VISION

Figure :

A B I M J 1 2 D

15 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) Livre I, p. 209 et suivantes; Livre 4, p. 15-18

16 Steiner J., Gesammelte Werke, Berlin (1881) vol. I, p. 47-76

17 Muir T., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 119

18 Mackay J. S., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 2-11

19 Fontené G., Sur les cercles de Pappus, Nouvelles Annales de Mathématiques, 4 (1918) 383-?

1010

Traits : [AB] un segment,

1 un arc de cercle passant par A et B,

D le segment circulaire définie par [AB] et 1,

2 un cercle segmentaire de D,

M, J les points de contact de 2 resp. avec 1, [AB],

1" le cercle généré par 1

et I le milieu de l"arc AB de 1" ne contenant pas M.

Donné : I, J et M sont alignés.

VISUALISATION

A B I M J 1 2 Ti

· Notons Ti la tangente à 1 en I.

· Conclusion : les cercles tangents 1 et 2, le point de base M, la monienne (IMJ), les parallèles Ti

et (AB), conduisent au théorème 8" de Reim ; en conséquence, I, J et M sont alignés.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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CERCLES SEGMENTAIRES

VARIATIONS

GÉNÉRALISATIONS

Le thème d"un problème de Géométrie

Jean-Louis AYME

être démontrés synthétiquement.

1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 28/02/2015 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2 http://www.wasan.jp/index.html

2The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown

Sommaire

A. Introduction 3

1. Présentation

2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

B. Résumé des figures 6

C. Archimède de Syracuse 7

I. Terminologie

1. Segment circulaire

2. Un cercle segmentaire

3. L"arbelos

II. Résultats 9

1. Un alignement

2. Un cercle orthogonal à un cercle segmentaire

3. Tangente remarquable à un cercle segmentaire

4. Equivalence ""corde-arc""

5. Equivalence ""arc-corde""

6. Deux cercles segmentaires tangents

7. Un premier cercle d"Archimède

8. Les cercles jumeaux d"un arbelos

9. Un cercle tangent à l"arbelos

10. Une courte biographie d"Archimède

D. Pappus d"Alexandrie 28

I. Terminologie

1. Un fer à cheval ou une lune

2. Un cercle de Pappus

3. D"un arbelos à un fer à cheval tangent

II. Résultats

1. Un alignement

2. Un cercle orthogonal à un cercle de Pappus

3. Tangente remarquable à un cercle de Pappus

4. Deux cercles de Pappus tangents

5. Un cercle de James Henry Weaver

6. Un premier cercle de Pappus

7. Une courte biographie de Pappus

E. Gaston Gohierre de Longchamps 39

I. Terminologie

1. Un triangle circulaire

2. Un cercle de Longchamps

II. Résultats

1. Un cercle de Longchamps

2. La corde de Longchamps

3. La corde d"Eugène Lauvernay

4. Une courte biographie de Longchamps

F. Victor Thébault 44

I. Terminologie

1. Un triangle curviligne

2. Un cercle de Thébault

II. Résultats

1. La corde de Y. Sawayama

2. La corde généralisée de Lauvernay

3. Un cercle remarquable

4. Une courte biographie de Thébault

G. Deux exercices 51

1. A variation of Chinese TST 2009

2. Alkan Emre, Problème 10368, A. M. Monthly (1994)

3A. INTRODUCTION

1. Présentation

En feuilletant le Mathematical repository

4 de 1835, la Question 531 signée N. Y. (John Lowry) a retenu

5 était suivie de la solution de John Baines de

3 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ, p. 155-157

4 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie I, p. 155-157

5 Archimède, Lemmes 4, 5, 6 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

7 de la Question 531 proposée par T. S. Davies

6 Davies T.S., Article XXIII p. 209-214 ; https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath

7 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie II, p. 206-208

8 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208

9 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208

5 2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

Thomas Leybourn est né le 9 avril 1770.