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Atelier n

o6 G

´eom´etrie du cercle

c

2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

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o#6 G´EOM´ETRIE DU CERCLEG

´EOM´ETRIE DU CERCLE

Dans le concours Euclide, des probl

`emes int´eressants et parfois difficiles sont souvent tir´es de la g´eom´etrie, parti- culi

`erement de la g´eom´etrie du cercle. On pr´esente ici les principaux r´esultats de la g´eom´etrie du cercle. On suppose

que les

´el`eves ont d´ej`a une connaissance des propri´et´es des triangles, y compris des th´eor`emes de congruence et de si-

militude, de m

ˆeme que des propri´et´es des parall´elogrammes, des losanges et des trap`ezes qui d´ecoulent des propri´et´es

des triangles. Th

´eor`eme de l"angle inscrit dans un cercle

Ce th ´eor`eme est la base de tous les r´esultats qui suivent.

Dans un cercle, un angle au centre qui intercepte un arcABest deux fois plus grand que n"importe quel angle inscrit

qui intercepte le m

ˆeme arc.

(Dans la figure suivante,\AOB= 2\ACB).C A B O LD

´emonstration

On prolonge le segmentCOjusqu"`a un pointL. PuisqueOAetOCsont des rayons, le triangleOACest isoc`ele.

Donc\OAC=\OCA. Puisque l"angleAOLest un angle ext´erieur au triangleOAC,\OAC+\OCA=\AOL. Donc\AOL= 2(\ACO). De mˆeme, puisqueOB=OC, le triangleOBCest isoc`ele et\BOL= 2(\BCO). Donc\AOB=\AOL+\BOL, d"o`u\AOB= 2(\ACO+\BCO), ou\AOB= 2\ACB.

Prolongements

Utiliser des arguments semblables pour d

´emontrer les r´esultats suivants.

1. D

´emontrer que si la cordeABest un diam`etre,\ACB= 90. (Un angle inscrit qui intercepte un diam`etre est

un angle droit.) 2. D

´emontrer que le th´eor`eme de l"angle inscrit est vrai lorsque la mesure de l"angleAOBest sup´erieure`a180.

3. D

´emontrer que le th´eor`eme de l"angle inscrit est vrai lorsque le pointCfait en sorte que les segmentsACetOB

se coupent, c"est- `a-dire lorsque l"on fait bouger le pointCsur le cercle pour le rapprocher du pointB. (Dans cette d ´emonstration, on fait appel`a la soustraction au lieu de l"addition.)

4. SoitC1etC2deux points sur le mˆeme arcAB(c.-`a-d. sur le grand arcABou sur le petit arcAB). D´emontrer

que\AC1B=\AC2B. (On dit que deux angles inscrits qui interceptent le mˆeme arc sont congrus.)

5. SoitC1un point sur le petit arcABetC2un point sur le grand arcAB.

D

´emontrer que\AC1B+\AC2B= 180.

(Dans un quadrilat `ere inscrit dans un cercle, les angles oppos´es sont suppl´ementaires.) LECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE2

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o#6 G´EOM´ETRIE DU CERCLETh

´eor`eme des cordes s´ecantes

SoitABetCDdeux cordes d"un cercle qui se coupent en un pointP. Alors(PA)(PB) = (PC)(PD).A D C BPD

´emonstration

On trace les segmentsADetBC. Puisque les anglesBADetBCDinterceptent le mˆeme arcBD, ils sont congrus.

De m ˆeme,\ADC=\ABC. Les trianglesADPetCBPsont semblables, puisque deux de leurs angles sont congrus deux `a deux. DoncPAPC =PDPB . On utilise le produit en croix pour obtenir(PA)(PB) = (PC)(PD). Probl `eme

SoitABetCDdeux cordes perpendiculaires d"un cercle etPleur point d"intersection. D´eterminer la longueur du

rayon du cercle, sachant quePA= 4,PB= 10etCD= 13.A C N DP MO

BSolution

Soitxla longueur dePC. D"apr`es leth´eor`eme des cordes s´ecantes,x(13x) = 4(10), d"o`ux= 5oux= 8.

SoitMetNles milieux respectifs des cordesABetCD. DoncMB=10 + 42 etNC=8 + 52 , c"est-`a-dire que

MB= 7etNC=132

. DoncNP=8132 ouNP=5132 . Dans les deux cas, on aNP=32 . Puisque le segment qui joint le centre d"un cercle et le milieu d"une corde est perpendiculaire `a la corde et que les deux cordes sont perpendiculaires, alorsOMPNest un rectangle. DoncOM=NP=32 . D"apr`es le th´eor`eme de Pythagore dans le triangleOMB,r=OB=s7 2+32 2 , our=p205 2 LECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE3

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o#6 G´EOM´ETRIE DU CERCLEProlongement Dans la figure suivante,PABetPCDsont deux s´ecantes d"un cercle issues du pointP. D

´emontrer que(PA)(PB) = (PC)(PD).T

AC P

DBSolution

On consid

`ere les trianglesPADetPCB. L"angleAPCest commun aux deux triangles. Puisque les anglesADCet

ABCinterceptent l"arcAC, ils sont congrus. Les trianglesPADetPCBont donc deux paires d"angles congrus deux

a deux. Ils sont donc semblables. DoncPAPD =PCPB , d"o`u(PA)(PB) = (PC)(PD).

Supposons que la s

´ecantePABest balay´ee lentement vers la droite, de mani`ere que les pointsAetBse rapprochent l"un de l"autre, jusqu" `a ce qu"ils arrivent`a un point communT. Pendant ce rapprochement,PAse rapproche dePT

etPBse rapproche aussi dePT. On semble donc,`a la limite, obtenir(PA)(PB) = (PT)2. Donc, on aurait aussi

(PC)(PD) = (PT)2. Utiliser la similitude et la propri´et´e IV ci-dessous pour le d´emontrer!

Autres propri

´et´es importantes des tangentes

SoitPun point`a l"ext´erieur d"un cercle. On trace deux tangentes au cercle,PTetPS. Donc :

I. Une tangente

`a un cercle est perpendiculaire au rayon trac´e au point de contact. (OTest perpendiculaire`aPT.)

II.PS=PT: Les deux tangentes issues d"un point`a l"ext´erieur d"un cercle ont la mˆeme longueur.

III.OPest la bissectrice de l"angle entre les deux tangentes. (OPest la bissectrice de l"angleTPS.) TS

POIV. SoitTAune corde d"un cercle etPTla tangente au cercle au pointT. SoitCun point sur le cercle de mani`ere

qu"il ne soit pas `a l"int´erieur de l"anglePAT. Alors\TCA=\PTA. TPC A OD

´emonstration

On trace les rayonsOTetOA. Puisque la tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, \PTA= 90\ATO, d"o`u\PTA=12 (180\ATO\OAT), car\OTA=\OAT.

Donc\PTA=12

(\AOT), d"o`u\PTA=\ACT. LECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE4

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o#6 G´EOM´ETRIE DU CERCLETROUSSE DE PROBL`EMES

1. Soit un cercle de centreOet deux cordes,ACetBD, qui se coupent enP.

D

´emontrer que that\APB=12

(\AOB+\COD).

2. SoitA,B,CetDquatre points sur un cercle et soitP,Q,RetSles milieux respectifs des arcsAB,BC,CD

etDA. D´emontrer quePRest perpendiculaire`aQS. 3. D

´eterminer la valeur dex.??

?4. Soit un triangleABCinscrit dans un cercle. SoitX,YetZdes points sur les arcs respectifsBC,CAetAB.

D

´emontrer que les cordesAX,BYetCZsont les hauteurs du triangleXY Zsi et seulement si elles sont les

bissectrices des angles du triangleABC.

5. Dans la figure suivante, un cercle de centreAet de rayon 9 est tangent`a un cercle de centreDet de rayon 4.

Les tangentesEFetBCsont communes aux deux cercles etE,BetCsont les points de contact des tangentes aux cercles. D

´eterminer la longueurEF.

DA B CE

F6. Dans la figure suivante, deux cercles sont tangents enAet une tangente est commune aux deux cercles aux

points de contactBetC. (a) D

´emontrer que\BAC= 90. (Indice : Lorsqu"on a deux cercles tangents l"un`a l"autre, il est utile de

tracer la tangente commune au point de contact.)

(b) On prolongeBAde mani`ere`a couper le deuxi`eme cercle au pointD. D´emontrer queCDest un diam`etre.

D A B CLECENTRE D"´EDUCATION EN MATH´EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE5

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o#6 G´EOM´ETRIE DU CERCLE7. Dans la figure suivante, un cercle est inscrit dans un quadrilat `ereABCD. D

´emontrer queAB+CD=AD+BC.C

D

BA8. Dans la figure suivante, les deux cercles sont tangents enA. Le segmentBDCest tangent au petit cercle.

D ´emontrer queADest la bissectrice de l"angleBAC.

DBCA9. Au pointA1, sur un cercle, une particule se d´eplace jusqu"au pointA2, sur le cercle, le long de la cordeA1A2.

Au pointA1, cette corde forme un angle de35avec la tangente.`A partir deA2, la particule se d´eplace jusqu"au

pointA3, sur le cercle, le long de la cordeA2A3. Au pointA2, cette corde forme un angle de37avec la tangente. La particule continue de la m ˆeme mani`ere.`A partir deAk, elle se d´eplace jusqu"au pointAk+1, sur le

cercle, le long de la cordeAkAk+1. Au pointAk, cette corde forme un angle de(33 + 2k)avec la tangente.

Apr

`es avoir fait le tour du cercle un nombre de fois, la particule revient pour la premi`ere fois au pointA1en se

d ´eplac¸ant le long de la cordeAnA1. D´eterminer la valeur den. A1 A2 A3

A441035

0 39
037

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