[PDF] La percolation : un modèle mathématique simple et complexe à la fois





Previous PDF Next PDF



5 fois 3 est-il égal à 3 ? 5 ?

Une hypothèse est qu'une introduction ambiguë du signe « ? » n'aide pas les élèves Fois indique



La percolation : un modèle mathématique simple et complexe à la fois

simple et complexe à la fois. Marie Théret Boîte à outils mathématiques : les probabilités. ... le métal n'est pas aimanté si ces petits aimants sont.



La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen

Une fois cette analyse menée des coups de pouce appropriés peuvent être fournis. Il est important que ceux-ci ne dénaturent pas l'objectif principal de la 



199 défis (mathématiques) à manipuler !

(Il n'y a pas de rangement ou d'ordre particulier dans la présentation des défis; cela fois dans chaque ligne chaque colonne et chaque région.



Langage mathématique

Ce recueil de langage mathématique réfère au vocabulaire utilisé en Le zéro (0) : valeur nulle : le seul nombre qui est à la fois + ou -.



Liste des symboles mathématiques usuels (LATEX)

L'interpréteur LATEX intégré à GeoGebra ne reconnaît pas nécessairement tous ces symboles. Accents en mode mathématique. ˆa hat{a}. ?a check{a}.



Plus de la moitié des enfants et des adolescents napprennent pas

n'atteignent pas les SMC en lecture et en mathématiques. Cela équivaut à trois fois la population du Brésil qui ne saurait pas lire ni maîtriser les 



les mathematiques africaines : lexemple des baoule de côte divoire

raisons de penser que nos lointains ancêtres n'étaient pas mieux doués à ce Ainsi kp?kunsu



801 énigmes. . . de Âne à Zèbre

Déménagement chez les abeilles » Rallye mathématique de l'académie de fois



Mathématiques 1re année

Philosophie concernant les élèves et l'apprentissage des mathématiques Par conséquent il ne faut pas supposer



Un Pas À La Fois - 3e Année - Sept 2013 PDF - Scribd

Enseigner les maths au primaire notes didactiques 2001 Éditions ERPI 189 pages - Berthiaume Raymond Activités de résolution de problèmes 3e année 



Un Pas La Fois Anne Marie Daigle Christel Rousseau Catherine

Un Pas La Fois 2e annee math problems by junnan1chen in Orphan Interests > Mathematics Téléchargez comme PDF TXT ou lisez en ligne sur Scribd



Un pas à la fois - DOKUMENTIPS

Download PDF Report Problèmes roblèmes roblèmes roblèmes mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques Classés à partir des Un pas la fois



[PDF] 5 fois 3 est-il égal à 3 ? 5 ? - APMEP

Fois indique résonne en moi non pas comme un terme mathématique mais comme un mot usuel de la langue courante bien souvent utilisé par les élèves : « la 



[PDF] Logique

Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions Les propositions (I) et (II) ne sont pas les mêmes et encore une fois 



Résolution de problèmes au 1er cycle - Communaute Web

La clé d'une tâche Menu Math est de satisfaire au moins une fois chaque contrainte mais ce qui en fait une tâche riche c'est que les élèves doivent minimiser 



[PDF] [PDF] Cours de mathématiques - Exo7

ALGORITHMES ET MATHÉMATIQUES 1 PREMIERS PAS AVEC Python 2 1 2 Somme des cubes Travaux pratiques 2 1 Pour un entier n fixé programmer le calcul de la 



[PDF] 199 défis (mathématiques) à manipuler !

(Il n'y a pas de rangement ou d'ordre particulier dans la présentation des défis; cela fois dans chaque ligne chaque colonne et chaque région



[PDF] Langage mathématique

Ce recueil de langage mathématique réfère au vocabulaire utilisé en Le zéro (0) : valeur nulle : le seul nombre qui est à la fois + ou -

  • Comment résoudre n'importe quel problème de math ?

    La logique mathématique est à la limite de la philosophie, à cela près qu'un raisonnement mathématique permet d'affirmer quelque chose de faux ou de vrai. En mathématiques, il n'y a pas de place pour l'approximation : une proposition est soit vraie, soit fausse. Prenons par exemple la proposition : x>1.

  • Quelles sont les étapes pour résoudre un problème mathématique ?

    Le « ou » est toujours inclusif : A ou B signifie que l'une au moins des deux assertions est vraie (peut-être les deux). Par opposition, le « ou exclusif » est vrai quand l'une des deux assertions est vraie mais pas les deux.

La percolation :

un modèle mathématique simple et complexe à la fois

Marie Théret

LPMA, Université Paris Diderot (Paris VII)

Marie ThéretPercolation

Un métal ferromagnétique : qu"est-ce-que c"est? La réponse en images grâce au site "Physique à main levée" : http ://phymain.unisciel.fr/temperature-de-curie-du-fer/

Marie ThéretPercolation

Un métal ferromagnétique : qu"est-ce-que c"est?

Un métal ferromagnétique est

aimanté à une températureTTc. A la température critiqueTca lieu unetransition de phase .Marie ThéretPercolation Un métal ferromagnétique : qu"est-ce-que c"est?

Un métal ferromagnétique est

aimanté à une températureTTc.A la température critiqueTca lieu unetransition de phase .Marie ThéretPercolation

La modélisation

Objectif: construire un modèle mathématiqueassez simple pour être étudié assez riche pour présenter une telle transition de phase. Point de vue de la physique statistique: expliquer le comportement du système entier (l"aimantation du métal) en regardant le comportement des éléments microscopiques qui le composent,les atomes. Boîte à outils mathématiques: les probabilités.Marie ThéretPercolation

La modélisation

Objectif: construire un modèle mathématiqueassez simple pour être étudié assez riche pour présenter une telle transition de phase. Point de vue de la physique statistique: expliquer le comportement du système entier (l"aimantation du métal) en regardant le comportement des éléments microscopiques qui le

composent,les atomes.Boîte à outils mathématiques: les probabilités.Marie ThéretPercolation

La modélisation

Objectif: construire un modèle mathématiqueassez simple pour être étudié assez riche pour présenter une telle transition de phase. Point de vue de la physique statistique: expliquer le comportement du système entier (l"aimantation du métal) en regardant le comportement des éléments microscopiques qui le

composent,les atomes.Boîte à outils mathématiques: les probabilités.Marie ThéretPercolation

L"origine de l"aimantationorbites des électrons noyauSchéma d"un atome.

On assimile chaque atome à un petit

aimant : le métal est aimanté si ces petits aimants sont orientés dans la même direction,le métal n"est pas aimanté si ces petits aimants sont désordonnés.

Marie ThéretPercolation

L"origine de l"aimantationorbites des électrons noyauSchéma d"un atome.

On assimile chaque atome à un petit

aimant le métal est aimanté si ces petits aimants sont orientés dans la même direction,le métal n"est pas aimanté si ces petits aimants sont désordonnés.

Marie ThéretPercolation

L"origine de l"aimantationorbites des électrons noyauSchéma d"un atome.

On assimile chaque atome à un petit

aimant le métal est aimanté si ces petits aimants sont orientés dans la même direction,le métal n"est pas aimanté si ces petits aimants sont désordonnés.

Marie ThéretPercolation

Les forces en jeu

l"interaction entre les aimants

pousse les aimants à s"orienter dans la même direction,l"agitation thermique(déso rdre,entropie) :

il y a beaucoup plus de façons pour les aimants d"être désordonnés qu"ordonnés, donc s"ils tournent au hasard, ils seront la plupart du temps désordonnés; plus la température est élevée, plus les atomes s"agitent, plus cette force est importante.

Marie ThéretPercolation

Les forces en jeu

l"interaction entre les aimants

pousse les aimants à s"orienter dans la même direction,l"agitation thermique(déso rdre,entropie) :

il y a beaucoup plus de façons pour les aimants d"être désordonnés qu"ordonnés, donc s"ils tournent au hasard, ils seront la plupart du temps désordonnés; plus la température est élevée, plus les atomes s"agitent, plus cette force est importante.

Marie ThéretPercolation

Les forces en jeu

l"interaction entre les aimants

pousse les aimants à s"orienter dans la même direction,l"agitation thermique(déso rdre,entropie) :

il y a beaucoup plus de façons pour les aimants d"être désordonnés qu"ordonnés, donc s"ils tournent au hasard, ils

seront la plupart du temps désordonnés; plus la température est élevée, plus les atomes s"agitent,

plus cette force est importante.

Marie ThéretPercolation

Les simplifications

Les atomes sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les atomes n"inter-agissent qu"avec leurs plus proches voisins, les aimants sont orientés vers le haut ou vers le bas. Alignement des atomes en dimension2(à gauche) et3(à droite).Marie ThéretPercolation

Les simplifications

Les atomes sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les atomes n"inter-agissent qu"avec leurs plus proches voisins, les aimants sont orientés vers le haut ou vers le bas. Alignement des atomes en dimension2(à gauche) et3(à droite).Marie ThéretPercolation

Les simplifications

Les atomes sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les atomes n"inter-agissent qu"avec leurs plus proches voisins, les aimants sont orientés vers le haut ou vers le bas. Alignement des atomes en dimension2(à gauche) et3(à droite).Marie ThéretPercolation

Le modèle d"Ising

une configurationest une description des états (haut ou bas) de tous les aimants,l"énergieE()de cette configuration est

E() =nombre de couples d"aimants voisins

qui ne sont pas dans le même état pour.Marie ThéretPercolation

Le modèle d"Ising

une configurationest une description des états (haut ou bas) de tous les aimants,l"énergieE()de cette configuration est

E() =nombre de couples d"aimants voisins

qui ne sont pas dans le même état pour.E=15E=0E=49Trois exemples de configurations en dimension2

(rouge = haut, bleu = bas).

Marie ThéretPercolation

Le modèle d"Ising

une configurationest une description des états (haut ou bas) de tous les aimants,l"énergieE()de cette configuration est

E() =nombre de couples d"aimants voisins

qui ne sont pas dans le même état pour.à températureTfixée (T0),la probabilitéPT()d"une

configurationest proportionnelle à exp E()T i.e., P

T() =exp

E()T Z

TavecZT=X

0exp E(0)T

Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

Première vérificationATfixé, siE()PT(0).Courbe de la fonction qui à E associeexp(E=T)pour T=100.Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

Quelques simulations de Raphaël Cerf (DMA, ENS)Simulation de l"état des atomes en dimension2à température

basse (à gauche) et haute (à droite) (blanc = haut, noir = bas).

Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

T!0 etT!+1T!+1:

Pour toute configuration,E()T

!0 donc exp E()T !1. La probabilité limitePT=1est la probabilité uniforme sur toutes les configurations, c"est le déso rdretotal .T!0 :SiE() =0,E()T =0 pour toutTdonc exp E()T =1;SiE()>0,E()T !+1donc exp E()T !0. La probabilité limitePT=0est la probabilité uniforme sur toutes les configurations d"énergie nulle, c"est l" ordre total

Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

T!0 etT!+1T!+1:

Pour toute configuration,E()T

!0 donc exp E()T !1. La probabilité limitePT=1est la probabilité uniforme sur toutes les configurations, c"est le déso rdretotal .T!0 :SiE() =0,E()T =0 pour toutTdonc exp E()T =1;SiE()>0,E()T !+1donc exp E()T !0. La probabilité limitePT=0est la probabilité uniforme sur toutes les configurations d"énergie nulle, c"est l" ordre total

Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

Evolution dePT()avecTOn compare les probabilités d"observer une configuration d"énergieEet0d"énergie nulle à températureT: P T()P

T(0)=exp(E=T)exp(0=T)=exp(E=T):

PourT0=T=2, on obtient :

P T0()P

T0(0)=exp(E=T0) =exp(2E=T) =PT()P

T(0) 2

PourE=1000,T=434K (160C),T0=217K ( 56C) :

P T()P

T(0)0;1etPT0()P

T0(0)0;01:Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

Evolution dePT()avecTOn compare les probabilités d"observer une configuration d"énergieEet0d"énergie nulle à températureT: P T()P T(0)=exp(E=T)exp(0=T)=exp(E=T):PourT0=T=2, on obtient : P T0()P

T0(0)=exp(E=T0) =exp(2E=T) =PT()P

T(0) 2 :PourE=1000,T=434K (160C),T0=217K ( 56C) : P T()P

T(0)0;1etPT0()P

T0(0)0;01:Marie ThéretPercolation

Est-ce que cette probabilité nous convient?

Evolution dePT()avecTOn compare les probabilités d"observer une configuration d"énergieEet0d"énergie nulle à températureT: P T()P T(0)=exp(E=T)exp(0=T)=exp(E=T):PourT0=T=2, on obtient : P T0()P

T0(0)=exp(E=T0) =exp(2E=T) =PT()P

T(0) 2 :PourE=1000,T=434K (160C),T0=217K ( 56C) : P T()P

T(0)0;1etPT0()P

T0(0)0;01:Marie ThéretPercolation

Pause historique

Ernst Ising (1900 - 1998),

physicien allemand.

Thèse de doctorat (1922 -1924) :

directeur :Wilhelm Lenz, sujet :étude de ce modèle en dimension 1, conclusion :ce modèle ne présente pas de transition de phase en dimension1.Marie ThéretPercolation

Transition de phase

Il y a

aimantation si les aimants s"influencent les uns les autres àtrès trèsgrande distance.P T;haut=probabilitéPTconditionnée par l"évènement "les aimants du bord de la boîte sont dans l"état haut."Afixé,PT;haut[(c) =haut]>12 :m(T) =lim!0PT;haut[(c) =haut]>12 ?;=12

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

Il y a

aimantation si les aimants s"influencent les uns les autres àtrès trèsgrande distance.P T;haut=probabilitéPTconditionnée par l"évènement "les aimants du bord de la boîte sont dans l"état haut."Afixé,PT;haut[(c) =haut]>12 :m(T) =lim!0PT;haut[(c) =haut]>12 ?;=12 aimants dont l"état est libre aimants figés en position "haut"

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

Il y a

aimantation si les aimants s"influencent les uns les autres àtrès trèsgrande distance.P T;haut=probabilitéPTconditionnée par l"évènement "les aimants du bord de la boîte sont dans l"état haut."Afixé,PT;haut[(c) =haut]>12 :m(T) =lim!0PT;haut[(c) =haut]>12 ?;=12 ??aimants figés en position "haut" aimant centralcdont on observe l"état(c) aimants dont l"état est libre

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

Il y a

aimantation si les aimants s"influencent les uns les autres àtrès trèsgrande distance.P T;haut=probabilitéPTconditionnée par l"évènement "les aimants du bord de la boîte sont dans l"état haut."Afixé,PT;haut[(c) =haut]>12 :m(T) =lim!0PT;haut[(c) =haut]>12 ?;=12 ??aimants figés en position "haut" aimant centralcdont on observe l"état(c) aimants dont l"état est libre

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

Il y a

aimantation si les aimants s"influencent les uns les autres àtrès trèsgrande distance.P T;haut=probabilitéPTconditionnée par l"évènement "les aimants du bord de la boîte sont dans l"état haut."Afixé,PT;haut[(c) =haut]>12 :m(T) =lim!0PT;haut[(c) =haut]>12 ?;=12

?Théorème (Rudolf Peierls, 1936) en dimensiond2Il existe une température critiqueTctelle que 01=2 :il y a aimantation,siT>Tc, alorsm(T) =1=2 :il n"y a pas d"aimantation.Marie ThéretPercolation

Ce qu"on sait... et ce qu"on ne sait pas!

La température critiqueTc:en dimension 2,Tc=2log(1+p2)(Lars Onsager, 1944).en dimension 3, on ne sait pas calculerTc.Le comportement du système pourT=Tc:

pas d"aimantation, mais encore beaucoup de mystères... Simulation de l"état des atomes en dimension2à température TTc(à droite), (blanc = haut, noir = bas). Travaux récents de Stanislav Smirnov (médaille Fields 2010).Marie ThéretPercolation

Ce qu"on sait... et ce qu"on ne sait pas!

La température critiqueTc:en dimension 2,Tc=2log(1+p2)(Lars Onsager, 1944).en dimension 3, on ne sait pas calculerTc.Le comportement du système pourT=Tc:

pas d"aimantation, mais encore beaucoup de mystères...Simulation de l"état des atomes en dimension2à température

TTc(à droite), (blanc = haut, noir = bas). Travaux récents de Stanislav Smirnov (médaille Fields 2010).Marie ThéretPercolation Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.Marie ThéretPercolation Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.Marie ThéretPercolation Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.Marie ThéretPercolation Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.tuyau ouvert tuyau bouchéMarie ThéretPercolation Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même

probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.une configuration~est une description de l"état (ouvert ou

bouché) de tous les tuyaux;

Marie ThéretPercolation

Un modèle plus simple : le modèle de percolation

l"objet :un morceau de roche, peut-être poreuse;les éléments microscopiques :des petits tuyaux à l"intérieur

de la roche;les simplifications : les tuyaux sont alignés suivant un quadrillage, dans une boîte, les tuyaux laissent passer ou non l"eau avec la même

probabilitép2[0;1], indépendamment les uns des autres.une configuration~est une description de l"état (ouvert ou

bouché) de tous les tuyaux;la probabilité ~Pp(~)d"une configuration~pour un paramètre pde porosité donné est Pp(~) =p#tuyaux ouverts dans~(1p)#tuyaux bouchés dans~:Marie ThéretPercolation

Transition de phase

La roche est

p oreuse si l"eau p eutla traverser

àtrès trèsgrande échelle.Afixé,~Pp(sommet !base)>0. (p) =lim!0~Pp(sommet !base)>0? =0?sommet

base

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

La roche est

p oreuse si l"eau p eutla traverser

àtrès trèsgrande échelle.Afixé,~Pp(sommet !base)>0. (p) =lim!0~Pp(sommet !base)>0? =0?

sommet tuyau ouvert tuyau bouché base

Marie ThéretPercolation

Transition de phase

La roche est

p oreuse si l"eau p eutla traverser

àtrès trèsgrande échelle.Afixé,~Pp(sommet !base)>0. (p) =lim!0~Pp(sommet !base)>0? =0?Théorème (Simon Broadbent et John Hammersley, 1957 à 1959) en

dimensiond2Il existe un paramètre critiquepctelle que 0pc, alors (p)>0 :la roche est poreuse.Marie ThéretPercolation

Ce qu"on sait... et ce qu"on ne sait pas!

Le paramètre critiquepc:en dimension 2,pc=12

(Harry Kesten, 1980).en dimension 3, on ne sait pas calculerpc.Le comportement du système àp=pc:en dimension 2, 12

=0 (Ted Harris, 1960).en dimension 3,on conjecture que (pc) =0. Travaux récents de Wendelin Werner (médaille Fields 2006) et Stanislav Smirnov (médaille Fields 2010).

Marie ThéretPercolation

Ce qu"on sait... et ce qu"on ne sait pas!

Le paramètre critiquepc:en dimension 2,pc=12

(Harry Kesten, 1980).en dimension 3, on ne sait pas calculerpc.Le comportement du système àp=pc:en dimension 2, 12

=0 (Ted Harris, 1960).en dimension 3,on conjecture que (pc) =0. Travaux récents de Wendelin Werner (médaille Fields 2006) et Stanislav Smirnov (médaille Fields 2010).

Marie ThéretPercolation

Une variante : la FK-percolation

A une configuration~on associek(~)le nombre de ses

composantes connexes.On fixe un deuxième paramètreq2[1;+1[.On associe à une configuration~une probabilité^Pp;q(~)

proportionnelle à p #tuyaux ouverts dans~(1p)#tuyaux bouchés dans~qk(~):k(~) =38Configuration~ tuyau ouvert tuyau bouché

Marie ThéretPercolation

Une variante : la FK-percolation

A une configuration~on associek(~)le nombre de ses

composantes connexes.On fixe un deuxième paramètreq2[1;+1[.On associe à une configuration~une probabilité^Pp;q(~)

proportionnelle à p #tuyaux ouverts dans~(1p)#tuyaux bouchés dans~qk(~):k(~) =38Configuration~ tuyau ouvert tuyau bouché

Marie ThéretPercolation

Une variante : la FK-percolation

A une configuration~on associek(~)le nombre de ses

composantes connexes.On fixe un deuxième paramètreq2[1;+1[.On associe à une configuration~une probabilité^Pp;q(~)

proportionnelle à p

#tuyaux ouverts dans~(1p)#tuyaux bouchés dans~qk(~): C"est le modèle de FK-percolation, introduit par Cees Fortuin et

Peet Kasteleyn dans les années 1960. Il présente lui aussi une transition de phase à un paramètre critique p c(q)qui dépend de q.Marie ThéretPercolation Les liens entre ces différentes probabilités

Pourq=1, c"est le modèle depercolation standard:^Pp;1=~Pp.Pourq=2, on récupère lemodèle d"Ising:

on peut passer de^Pp;2àPTavecp=1e1=T.Marie ThéretPercolation Les liens entre ces différentes probabilités

Pourq=1, c"est le modèle depercolation standard:^Pp;1=~Pp.Pourq=2, on récupère lemodèle d"Ising:

on peut passer de^Pp;2àPTavecp=1e1=T.composantes connexe de~composante

Les tuyaux sont

zones jaunes, bouchés dans les

1pailleurs.et avec probabilité1=2pour chaqueavec probabitité

"haut" ou "bas"On choisit l"état couples d"aimants voisins dans des

états différentsconnexes de~

suit la loi ^Pp;2Configuration~ choisie selon ^Pp;2 choisie selonPTConfigurationtuyau bouchéquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
[PDF] un pas ? la fois 2e cycle

[PDF] un pas ? la fois 1er cycle

[PDF] un pas ? la fois 3e année

[PDF] un pas ? la fois mathématique 3e cycle

[PDF] un pas ? la fois cssmi

[PDF] résolution de problème 1e année

[PDF] statue gutenberg strasbourg

[PDF] prix d'une bible de gutenberg

[PDF] place gutenberg strasbourg histoire

[PDF] bible de gutenberg pdf

[PDF] statue gutenberg mayence

[PDF] place gutenberg strasbourg parking

[PDF] toine maupassant analyse

[PDF] brissiaud résolution de problèmes

[PDF] mikogo