[PDF] Thalès et les constructions Application 1 : Savoir construire sur

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Application 1 :

Savoir construire, sur une droite ou sur un segment, un point vérifiant... Exemple : Construire, sur le segment [AB], le point M vérifiant

Soit [AB] un segment.

Traçons une demi-droite d"origine A.

Sur cette demi-droite, en prenant une unité quelconque, plaçons un point B" vérifiant AB" = 5. ( Il suffit pour cela d"utiliser un compas avec un

écartement quelconque et de reporter 5 fois

cette unité )

Plaçons maintenant le point M" du segment

[AM"] vérifiant AM" = 2.

Traçons la droite (BB").

Puis traçons par M" la parallèle à la droite (BB"). Cette droite coupe le segment [AB] en un point M qui vérifie : 5 2 AB AM= 5 2 AB AM=

THEME :

APPLICATION DE THALES A DES

PROBLEMES DE CONSTRUCTION

Remarque : Si le rapport donné était supérieur à 1, il n"existerait pas, sur le segment [AB] de point M

vérifiant une telle égalité ! ! !

Remarque : Démonstration de cette construction

Dans les triangles AMM" et ABB", ( M est un point de [AB] et M" est un point de [AB"] ), comme les droites (MM") et ( BB") sont parallèles ( par construction ), nous avons d"après Thalès :

Or les points B" et M" ont été choisis, sur la demi-droite " auxiliaire », afin de vérifier :

Par conséquent, les deux égalités (1) et (2) permettent d"écrire : Nous avons ainsi construit un point M sur le segment [AB] vérifiant la condition demandée.

Application 1" : Problème un peu différent

Exemple : Construire, sur la droite (AB), un point M vérifiant

Le problème est différent puisque que l"on demande de construire un point M sur la droite (AB).

Le problème a deux solutions. Nous ne nous limiterons plus comme précédemment à une demi-droite

auxiliaire passant par A, mais à une droite auxiliaire passant par A.

Considérons donc une droite auxiliaire passant par A et traçons ( à l"aide du compas, par exemple ), sur

cette droite, des segments de même longueur ( longueur que l"on considérera comme unité ) . Plaçons sur cette droite, un point B" tel que AB" soit égal à 5 ( 5 est le dénominateur de 2/5 ).

Deux cas sont possibles.

Plaçons maintenant, sur cette droite auxiliaire un point M" vérifiant AM" = 2 ( unités ) ( 2 est le numérateur de

2/5 ).

Il y a également pour chaque cas, deux possibilités ( le point peut être situé sur la demi-droite

d"origine A contenant B" ou sur la demi-droite d"origine A ne contenant pas B" ).

Soient M"

1 et M"2 ces deux points.

(1) AB"

AM" AB

AM= (2) 5

2 AB"

AM"= 5 2 AB AM= 5 2 AB AM=

Traçons alors une droite parallèle à la droite (BB") passant par M"1. Elle coupe la droite (AB) en M1.

De la même façon, la droite parallèle à (BB") passant par M"

2 coupe la droite (AB) en M2.

Les deux points M

1 et M2 sont solutions du problème. ( La démonstration est identique à celle présentée

dans l"application 1 ) Remarque : Construire, sur le segment [AB] ( ou sur la droite (AB) ) le ( un ) point M vérifiant Il suffit de procéder comme précédemment, mais en utilisant une demi-droite ( ou une droite ) d"origine B.

Application 2 :

Exemple : Construire, sur le segment [AB] le point M vérifiant Ce problème est identique à celui traité dans l"application 1. L"écriture est équivalente à l"écriture

Application 3 :

Savoir construire les 2/3 , les 5/6 ... d"un segment Exemple : Soit [AB] un segment de 7 cm. Constuire les deux cinquièmes de ce segment. AB 5 2 AM= 5 2 AB BM= AB 5 2 AM= AB 5

2 AM=5

2 AB AM= Il suffit de construire sur le segment [AB] un point M vérifiant AB 5

2 AM= c"est à dire 5

2 AB AM= Application 4 : Savoir construire une quatrième proportionnelle

Définition :

Quatre nombres a , b , c et d pris dans cet ordre sont en proportion - on dit aussi que ( a , b , c , d ) est une proportion - si le rapport de a à b égale celui de c à d , soit : " a , b , c et d » sont en proportion signifie

Dans cette écriture sous forme de rapports, a et d sont appelés les termes " extrêmes » et b et c sont

appelés les termes " moyens » de la proportion. Plus simplement, a et d sont appelés les " extrêmes » et b et d, les " moyens ». Par exemple 5 , 15 , 4 et 12 sont en proportion parce que 12 4 15 5=

Remarque : On disait autrefois " 5 est à 15 comme 4 est à 12 ». En effet 5 et 15 sont dans un rapport

de 1 à 3, de même que 4 et 12. Autrement dit, 5 est le tiers de 15 comme 4 est le tiers de 12. Aujourd"hui, on dit que 5 et 4 ( les numérateurs ) sont proportionnels aux nombres 15 et 12 ( les dénominateurs )

Définition :

Si un terme d"une proportion est inconnu ( ce peut être le quatrième, ou n"importe lequel ), on l"appelle la " quatrième proportionnelle » et on le détermine en résolvant l"équation : ( a , b et c sont connus )

Remarque : Nous ne cherchons pas ici à résoudre algébriquement ce type de problème. Ce procédé est

utilisé lorsque nous cherchons la longueur d"un segment en utilisant le théorème de Thalès.

Exemple : Soient trois nombres 2, 3 et 5. Construire un segment de longueur x vérifiant : x 5 3 2= L"unité étant choisie, traçons deux demi-droites de même origine [Ox) et [Oy). Sur la demi-droite [Ox), plaçons deux points A et B vérifiant OA = 2 et OB = 3 Sur la demi-droite [Oy), traçons le point

C vérifiant OC = 5.

La parallèle à (AC) passant par B coupe [Oy) en un point D.

Le segment [OD] répond à la question.

Le point D est tel que OD = x .

d c b a= x c b a=quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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