[PDF] PARTIE A :ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

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Cours de Physique (00-101) Page 1 sur 14 JN Beury ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - DIFFÉRENTIELLE PARTIE A :ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES I. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU 1 er ORDRE

I.1 Forme canonique

Une équation différentielle linéaire du 1 er ordre à coefficients constants peut se mettre sous la forme canonique suivante : d det ss t . Il n'y pas de forme canonique bien précise pour 2 nd membre. On pourrait écrire également : d dssctt

I.2 Résolution de l'équation différentielle ou intégration de l'équation différentielle

Pour résoudre ou intégrer

1 cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :

Recherche de la solution générale de l'équation homogène (ou équation différentielle sans second

membre). En physique, on dit que l'on recherche le régime libre que l'on peut appeler provisoirement SG

s.

Recherche de la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. En physique, on

dit que l'on recherche le régime forcé ou permanent que l'on peut appeler provisoirement SP s. En math, on peut démontrer le théorème suivant : SG SP sss Il reste à déterminer la constante d'intégration 2 en utilisant les conditions initiales. I.3 Solution générale de l'équation homogène ou régime libre On peut démontrer que la solution générale associée à d0dss t est : exp SG tsA A est une constante intégration qui sera calculée uniquement dans la 4

ème

étape.

I.4 Solution particulière de l'équation différentielle avec second membre ou régime permanent ou régime forcé

On cherche des solutions dont la forme est inspirée par celle du 2 nd membre : - une constante si le second membre est constant - une fonction t si le second membre est de la forme mt n - une fonction cos mS St si le second membre est sinusoïdal de pulsation : cos me et E t On utilisera la méthode des complexes (voir paragraphe I.6b)) - une fonction 1 kt e si le second membre est de la forme 1 kt e (cours cinétique chimique).

CONCLUSION : Il y a de nombreuses confusions.

Chercher le régime permanent ne signifie pas nécessairement s SP = e(t)... Pour trouver le régime permanent ou régime forcé, il faut trouver une fonction

qui soit solution de l'équation différentielle et avoir 0 = 0. Si e dépend du temps, évidemment, on n'a pas s

SP e...

I.5 Théorème de superposition

Si le second membre est la somme de plusieurs termes : 123
...et e t e t e t, pour trouver la solution particulière s SP , il suffit de chercher une solution particulière en appliquant à l'entrée uniquement e 1 puis e 2 , puis e 3 1

Attention : le terme intégrer peut prêter à confusion. Il ne s'agit pas de prendre une primitive de l'équation différentielle mais tout simplement de la

résoudre. 2

On a une seule constante d'intégration car on a une équation différentielle du premier ordre.

Cours de Physique (00-101) Page 2 sur 14 JN Beury t (s)

5101520

y (s) 0.5 1 1.5 2 2.5 - Si on applique e 1 , on cherche s SP1 solution particulière de l'équation différentielle : 1 d de ss t

Si on applique e

2 , on cherche s SP2 solution particulière de l'équation différentielle : 2 d de ss t

Si on applique e

3 , on cherche s SP3 solution particulière de l'équation différentielle : 3 d de ss t Alors 123

SP SP SP SP

st s ts ts t.

On utilisera ce résultat avec la décomposition en série de Fourier d'un signal périodique.

I.6 Cas particulier d'un second membre constant : e(t) = E On étudie la réponse à un échelon de tension E : pour 0t, 0et et pour 0t, et E. L'équation différentielle s'écrit alors : d dssE t

Pour résoudre ou intégrer cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :

solution générale de l'équation homogène ou régime libre : t SG sAe

solution particulière de l'équation différentielle avec second membre ou régime forcé ou régime

permanent . On cherche une solution particulière de la même forme, ici le second membre est constant. La technique générale consiste à réinjecter s 2 dans l'équation différentielle avec d et 0d SP SP ssctet , soit 0 SP sE . On obtient donc SP sE exp t sAE

Détermination de la constante d'intégration en utilisant les conditions initiales. Supposons qu'à t = 0, s = 0.

On obtient alors

AE et exp 1 expttsE EE

CONCLUSION : La solution s est donc la somme de deux termes : régime forcé et régime permanent.

- entre 0 et quelques , on dit que l'on est en RÉGIME TRANSITOIRE.

- après quelques , le régime libre tend vers 0. Il ne reste que le RÉGIME PERMANENT OU FORCÉ.

a) Temps de réponse à 5% C'est le temps nécessaire pour que la sortie soit définitivement à

5%de la valeur finale.

On résout :

5%ss s . On trouve 3t

CONCLUSION : au bout de 3, la sortie est égale à la valeur finale à 5% près. Au bout de 5, la sortie est

égale à la valeur finale à 0,7% près.

b) Exercice : Calculer s en régime sinusoïdal forcé.

On a vu que très rapidement, on est en régime permanent. Dans de nombreux cas, on ne s'intéresse pas au régime

transitoire mais uniquement au régime forcé. Dans ce cas, il est inutile de chercher la solution générale de l'équation

homogène.

Filtre du premier ordre

= 5s et E = 3 V Cours de Physique (00-101) Page 3 sur 14 JN Beury ÉNONCÉ DE L'EXERCICE: On impose une excitation de la forme cos me et E t, résoudre l'équation

différentielle en régime permanent. On dit que l'on travaille en régime sinusoïdal forcé. On cherche alors s

2 (que l'on écrit s puisqu'on ne cherche pas dans ce cas s 1 ) sous la forme : cos mS st S t.

La méthode à connaître est d'utiliser la représentation complexe. On associe une grandeur sinusoïdale

cosft t une représentation complexe notée expfjtM ou expfjtM . En

électrocinétique, on utilisera toujours

expfjtM alors que dans d'autres domaines de la physique, on pourra utiliser l'autre notation. Dans les deux cas,

Reft f.

On a donc une excitation :

cos exp me me et E t eE jt ZT . On cherche cos exp mS mS st S t sS jt

L'équation différentielle est :

d dsse t . On réécrit cette équation différentielle en complexes : d dsse t Le gros avantage est qu'une dérivation revient à multiplier par j avec la notation expfjtM ou

à multiplier par j avec la notation

expfjt.

Ici, on a

sejs WW , soit 1 esj . Pour identifier deux complexes, on utilise soit les modules et argument, soit les parties réelles et imaginaires. 1 esj 2 1 arg arg arg 1 m m ES se j ZW , soit 2 1 m m ES t S t e

On a donc :

arg 1j. Il reste à déterminer avec 2 partie imaginairetanpartie réelle

1cos 0

1

ATTENTION : La détermination d'un angle pose toujours des difficultés. La connaissance de la tangente est

insuffisante car l'angle serait déterminer à près. Il faut connaître en plus le signe du cosinus ou du sinus.

Ici cos 0, on peut en déduire que est compris entre et 22 II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU 2 nd ORDRE

II.1 Forme canonique

Une équation différentielle linéaire du 2 nd ordre à coefficients constants peut se mettre sous la forme canonique suivante : 20 0 sssetQ

On définit :

0 = pulsation propre ; = facteur de qualitéQ et

1 = coefficient d'amortissement2

Q Il n'y pas de forme canonique bien précise pour le 2 nd membre. On rencontre également la forme canonique suivante : 2 00

2ssset .

Remarque : si le coefficient devant s est négatif, on l'identifie à 2 0

II.2 Résolution de l'équation différentielle ou intégration de l'équation différentielle

Pour résoudre ou intégrer cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :

Cours de Physique (00-101) Page 4 sur 14 JN Beury

Recherche de la solution générale de l'équation homogène (ou équation différentielle sans second

membre). En physique, on dit que l'on recherche le régime libre que l'on peut appeler provisoirement SG s.

Recherche de la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. En physique, on

dit que l'on recherche le régime forcé ou permanent que l'on peut appeler provisoirement SG s En math, on peut démontrer le théorème suivant : SG SP sss Il reste à déterminer les constantes d'intégration 1 en utilisant les conditions initiales.

II.3 Solution particulière de l'équation différentielle avec second membre ou régime permanent ou régime forcé

On cherche des solutions dont la forme est inspirée par celle du 2 nd membre : une constante si le second membre est constant une fonction t si le second membre est de la forme mt n une fonction cos mS St si le second membre est sinusoïdal de pulsation : cos me et E t On utilisera la méthode des complexes (voir plus loin). une fonction 1 expkt si le second membre est de la forme 1 expkt (cours cinétique chimique). CONCLUSION : Il y a de nombreuses confusions. Chercher le régime permanent ne signifie pas nécessairement s SP = e(t)... Pour trouver le régime permanent ou régime forcé, il faut trouver une fonction qui soit solution de l'équation différentielle et avoir 0 = 0.

II.4 Théorème de superposition

Si le second membre est la somme de plusieurs termes : 123
...et e t e t e t, pour trouver la solution particulière s 2 , il suffit de chercher une solution particulière en appliquant à l'entrée uniquement e 1 puis e 2 , puis e 3

Si on applique e

1 , on cherche s SP1 solution particulière de l'équation différentielle : 20 01 ssseQ

Si on applique e

2 , on cherche s SP2 solution particulière de l'équation différentielle :quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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