CHAÎNES DE MARKOV
Evidemment si X0 suit la loi stationnaire ?
Chaînes de Markov (et applications)
22 févr. 2021 Soit Q la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène. Etant donné un état ... a) Donner un exemple de graphe non-apériodique.
Chaînes de Markov.
Si Pn(xy) = P(Xn+1 = y
Xn = x) ne dépend pas de n
la matrice P obtenue est stochastique. A. Popier (ENSAI).
Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opérationnelle
On pourra aussi dire (grâce au théor`eme ergodique cf poly) : en moyenne
Chaînes de Markov
n Pn i=1 ?Xi . Exemple. Pour la marche aléatoire sur Z/NZ on a vu déjà que la loi marginale ?n convergeait vers ?1.
Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov
En effet si on fait la somme des équations de ?T P = ?T on obtient ?T P1 = ?T 1
Classification des états de la Chaîne de Markov Classification des
communiquent entre eux càd il y a une seule classe d'équivalence. 17. Classification des états de la Chaîne de. Markov. ? Exemple:.
Chaînes de Markov et Processus markoviens de sauts. Applications
Cela signifie qu'en observant la chaîne jusqu'à l'instant n on peut décider si {T = n} a lieu ou non. Exemple 4 On définit la variable Sx par: Sx = inf{n ? N
Chaînes de Markov
chaînes de Markov irréductibles et apériodiques. Exercice 70 Reprendre tous les exemples de noyaux de transition vus précédemment et étudier leur période.
Chaines de Markov et protocole de gestion des communications
Si on se ramène à un exemple concret cela donne : Soit un panier de 3 boules rouges et 4 boules vertes. Nommons A l'événement « je pioche une boule rouge » et B
[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus simples de Une chaîne apériodique est une chaîne de dont tous les états sont apériodiques
[PDF] Chaînes de Markov (et applications)
22 fév 2021 · Exemples et définitions Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel-
[PDF] Chaînes de Markov
Exemple On représente usuellement une chaîne de Markov d'espace d'états X par Si la chaîne de Markov est apériodique alors pour toute mesure initiale
[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS
C'est pour cela que les cha?nes de Markov trouvent des applications dans beaucoup de domaines comme par exemple la biologie la physique la sociologie
[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - ceremade
5 3 4 Graphe associé à une chaîne de Markov homogène Le but de la théorie des probabilités est de fournir un modèle mathématique pour décrire les
[PDF] Chaînes de Markov - Institut Camille Jordan
chaînes de Markov irréductibles et apériodiques Exercice 70 Reprendre tous les exemples de noyaux de transition vus précédemment et étudier leur période
[PDF] Chaînes de Markov
Processus de branchement : de nombreux exemples de chaînes de Markov in- réductible apériodique pour laquelle il existe une probabilité invariante ?
[PDF] Introduction aux chaines de Markov - CERMICS
En considérant un espace d'état `a deux éléments donner un contre-exemple pour la réciproque ? On consid`ere (Xnn ? N) une cha?ne de Markov de matrice de
[PDF] chaines-Markovpdf - Université de Montréal
Si Xn n'atteint jamais A on a N = ? On peut vouloir calculer par exemple ? = P[N ? m X0 = i] Dans
[PDF] Chaˆ?nes de Markov
2 jan 2019 · 1 1 Exemples de chaˆ?nes de Markov Les cha?nes de Markov sont intuitivement tr`es simples `a définir Un syst`eme peut admettre
Chaˆınes de Markov
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Chaˆınes r´eductibles /irr´eductibles
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Comportement
asymptotiqueComportement
asymptotique des chaˆınes ergodiquesNotion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionCours de Tronc Commun Scientifique
Recherche Op´erationnelle
Les chaˆınes de Markov
Fr´ed´eric Sur
´Ecole des Mines de Nancy
www.loria.fr/≂sur/enseignement/RO/1/26Chaˆınes de Markov
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Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantes ConclusionLes chaˆınes de Markov1Introduction2Vocabulaire
Chaˆınes de Markov
Chaˆınes r´eductibles / irr´eductiblesChaˆınes p´eriodiques / ap´eriodiques
3Comportement asymptotique
4Comportement asymptotique des chaˆınes ergodiques
Notion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "des coupes"
5Comportement asymptotique des chaˆınes absorbantes
6Conclusion
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Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionExemple m´et´eorologique
Aujourd"hui il y a du soleil / il pleut.
Quel temps fera-t-il demain?
Mod´elisation: probabilit´es detransition
Pr ?Xn+1= S|Xn= S?= 0,9 Pr?Xn+1= S|Xn= P?= 0,5Pr?Xn+1= P|Xn= S?= 0,1 Pr?Xn+1= P|Xn= P?= 0,5
Matrice de transition :P=?0,9 0,1
0,5 0,5?
Repr´esentation:
S0,9??0,1??P
0,5??0.5??3/26Chaˆınes de Markov
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Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionPr´ediction du temps
Initialement il fait beau.X0= S.
R´ealisations possibles de (Xn) :
1)X0= S,X1= S,X2= P,X3= S,X4= S...
2)X0= S,X1= P,X2= S,X3= S,X4= P...Important: le temps qu"il fera `a l"instantn+ 1 ne d´epend
que du temps `a l"instantn.Distribution deXn:πn=?Pr(Xn= S),Pr(Xn= P)?Formule des probabilit´es totales :
Pr(Xn+1= S) = Pr(Xn+1= S etXn= S)+Pr(Xn+1= S etXn= P) = Pr(Xn= S)·Pr(Xn+1= S|Xn= S) +Pr(Xn= P)·Pr(Xn+1= S|Xn= P)
Conclusion:πn+1=πn·P.Exemple:π0=?1 0?,π1=?0,9 0,1?2=π1·P=π0·P2=?0,86 0,14?
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Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusion´
Etat stationnaire du temps?
n=πn-1·P=π0·Pn Question 1: est-ce queπnconverge lorsquen→+∞?(vers unedistribution stationnaireπ?)Question 2:π?est-elle unique?Question 3: quelle est la typologie des chaˆınes pour
lesquelles on peut pr´evoir le comportement deπn?Ici :π?existe, est unique, et vaut?0,833 0,167?
Veut dire : danstjours (assez grand), il y a 83% de chance qu"il fasse soleil (quelque soit le temps actuel). On pourra aussi dire (grˆace auth´eor`eme ergodique, cf poly) : en moyenne, il fait beau 83% des jours.5/26Chaˆınes de Markov
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asymptotique des chaˆınes absorbantes ConclusionLes chaˆınes de Markov1Introduction2Vocabulaire
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3Comportement asymptotique
4Comportement asymptotique des chaˆınes ergodiques
Notion d"ergodicit´e
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asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionChaˆınes de Markov
SoitEun ensemble fini (ou d´enombrable) d"´etats.D´efinition Une suite de variables al´eatoires (Xn) `a valeurs dansEt.q. :Pr(Xn+1=j|X0=i0,...,Xn=i) = Pr(Xn+1=j|Xn=i)
est unechaˆıne de Markov.D´efinitionPr(Xn+1=j|Xn=i) =pn(i,j) est laprobabilit´e de
transitionde l"´etati`a l"´etatj.Remarque: on ne consid´erera que des chaˆıneshomog`enes
i.e. telles quepn(i,j) =pi,j. SiEfini,P= (pi,j) est lamatrice de transitionde (Xn).7/26Chaˆınes de MarkovF. Sur - ENSMN
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