CHAÎNES DE MARKOV
Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus Soit P la matrice d'une chaîne de Markov à espace d'états finis irréductible et apériodique.
Chaînes de Markov
Exemple. La marche aléatoire sur Z/NZ est récurrente irréductible. Plus généra- lement toute chaîne de Markov finie dont le graphe orienté est connexe est
Chapitre 2 - Chaines de Markov : compléments
Ainsi l'exemple de la chaıne {h
Chapitre I - Introduction aux chaines de Markov
Montrer que Y = (Ynn ∈ N∗) est une chaıne de Markov `a valeurs dans E2. Donner sa matrice de transition
Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opérationnelle
Exemple : π0 = (. 1 0. ) π1 = (. 0
Chaînes de Markov (et applications)
Feb 22 2021 Mesure d'occupation a) Donner un exemple de graphe non-apériodique. b) On suppose le graphe apériodique. Soit x un point du graphe. Montrer ...
Chaînes de Markov : théorie et applications
loi initiale de la chaîne de Markov (par exemple δx1 ) on a. C. ∑ i=1. Vxi Une chaîne de Markov irréductible est dite apériodique si sa période est h = 1 ...
chaines-Markov.pdf
Ici tous les états communiquent. La chaˆıne est irréductible. Exemple. P =
Classification des états dune chaîne de Markov
Par exemple s'il existe un état absorbant (fermé)
3 Mesures invariantes
positive (on le savait : chaîne finie irréductible) et par exemple
Chapitre 2 - Chaines de Markov : compléments
Ainsi l'exemple de la cha?ne {h
IFT-3655 Modèles Stochastiques orange Chaînes de Markov en
Ici tous les états communiquent. La chaˆ?ne est irréductible. Exemple. P =
Chaînes de Markov et Processus markoviens de sauts. Applications
Exemple 2 (Modèle de diffusion d'Ehrenfest) On réparti N particules dans deux com- Définition 7 Une chaîne de Markov est dite irréductible si E est ...
CHAÎNES DE MARKOV
Exemple 0. La marche aléatoire sur Z est irréductible (tous les états communiquent). Exemple 1. Considérons la chaîne de Markov dont l'ensemble des états
Chaînes de Markov.
Soit (Xn)n?N une chaîne de Markov de matrice de transition P irréductible récurrente. Alors il existe une mesure ? strictement positive invariante
Classification des états de la Chaîne de Markov Classification des
Classification des états de la Chaîne de. Markov. Exemple: Le processus est irréductible est ergodique et donc il admet une distribution stationnaire.
Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opérationnelle
valuation de l'arête i ? j : pij . Une cha?ne de Markov peut être vue comme une marche aleatoire sur G
Chaînes de Markov
irréductible récurrente la mesure empirique et la loi marginale du pro- Exemple. On représente usuellement une chaîne de Markov d'espace d'états X par.
Chapitre I - Introduction aux chaines de Markov
de Wright-Fisher voir l'exemple I.1.35 n'est pas irréductible. Exercice I.3. Soit X = (Xn
3 Mesures invariantes
En particulier une chaîne de Markov finie irréductible admet toujours une mesure exemple
[PDF] Chaines de Markov : compléments
Une cha?ne de Markov est dite irréductible lorsque tous ses états communiquent c'est-`a-dire lorsque pour toute paire d'états (xixj) la probabilité d'aller
[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Les chaînes de Markov constituent un des exemples les plus simples de suites de La marche aléatoire sur Z est irréductible (tous les états communiquent)
[PDF] CHAÎNES DE MARKOV - ceremade
5 3 4 Graphe associé à une chaîne de Markov homogène Le but de la théorie des probabilités est de fournir un modèle mathématique pour décrire les
[PDF] Chaînes de Markov
Exemple La marche aléatoire sur Z/NZ est récurrente irréductible Plus généra- lement toute chaîne de Markov finie dont le graphe orienté est connexe est
[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS
Définition 8 1 6 S'il n'y a qu'une seule classe de communication la cha?ne sa matrice de transition et son graphe de transition sont dits irréductibles Page
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22 fév 2021 · Exemples et définitions Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel-
[PDF] Les cha?nes de Markov - Loria
Une cha?ne de Markov est irréductible si chaque état est accessible `a partir de chaque autre état Autrement dit G est fortement connexe Sinon elle est dite
[PDF] Introduction aux chaines de Markov - CERMICS
1 4 et la cha?ne de Markov de l'urne d'Ehrenfest de l'exemple I 1 38 sont irréductibles Une cha?ne possédant des états absorbants n'est pas irréductible (sauf
[PDF] chaines-Markovpdf - Université de Montréal
La chaˆ?ne est irreductible si tous les états communiquent (une seule classe d'équivalence) On peut représenter une chaˆ?ne de Markov `a espace d'états
[PDF] Chaînes de Markov - Institut Camille Jordan
Un exemple canonique de marche aléatoire sur un groupe est la marche aléatoire On peut donc parler d'une chaîne de Markov irréductible sur un ensemble S
Comment montrer qu'une chaîne de Markov est irréductible ?
Une chaîne de Markov est dite irréductible si K(x, y) > 0 pour tout couple x, y. Dans ce cas, soit la chaîne consiste en une seule classe d'états récurrents, soit la chaîne consiste seulement en états tous transitoires.Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?
Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.Comment montrer qu'une suite est une chaîne de Markov ?
= P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).- est indépendant de l'état de départ. Pour les chaînes ergodiques, on demande simplement que tout état soit atteignable depuis tout autre, mais le nombre de pas n'est pas nécessairement fixé.
Chaˆınes de Markov
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Chaˆınes de Markov
Chaˆınes r´eductibles /irr´eductibles
Chaˆınes p´eriodiques /ap´eriodiques
Comportement
asymptotiqueComportement
asymptotique des chaˆınes ergodiquesNotion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionCours de Tronc Commun Scientifique
Recherche Op´erationnelle
Les chaˆınes de Markov
Fr´ed´eric Sur
´Ecole des Mines de Nancy
www.loria.fr/≂sur/enseignement/RO/1/26Chaˆınes de Markov
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asymptotiqueComportement
asymptotique des chaˆınes ergodiquesNotion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantes ConclusionLes chaˆınes de Markov1Introduction2Vocabulaire
Chaˆınes de Markov
Chaˆınes r´eductibles / irr´eductiblesChaˆınes p´eriodiques / ap´eriodiques
3Comportement asymptotique
4Comportement asymptotique des chaˆınes ergodiques
Notion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "des coupes"
5Comportement asymptotique des chaˆınes absorbantes
6Conclusion
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Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionExemple m´et´eorologique
Aujourd"hui il y a du soleil / il pleut.
Quel temps fera-t-il demain?
Mod´elisation: probabilit´es detransition
Pr ?Xn+1= S|Xn= S?= 0,9 Pr?Xn+1= S|Xn= P?= 0,5Pr?Xn+1= P|Xn= S?= 0,1 Pr?Xn+1= P|Xn= P?= 0,5
Matrice de transition :P=?0,9 0,1
0,5 0,5?
Repr´esentation:
S0,9??0,1??P
0,5??0.5??3/26Chaˆınes de Markov
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asymptotiqueComportement
asymptotique des chaˆınes ergodiquesNotion d"ergodicit´e
Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionPr´ediction du temps
Initialement il fait beau.X0= S.
R´ealisations possibles de (Xn) :
1)X0= S,X1= S,X2= P,X3= S,X4= S...
2)X0= S,X1= P,X2= S,X3= S,X4= P...Important: le temps qu"il fera `a l"instantn+ 1 ne d´epend
que du temps `a l"instantn.Distribution deXn:πn=?Pr(Xn= S),Pr(Xn= P)?Formule des probabilit´es totales :
Pr(Xn+1= S) = Pr(Xn+1= S etXn= S)+Pr(Xn+1= S etXn= P) = Pr(Xn= S)·Pr(Xn+1= S|Xn= S) +Pr(Xn= P)·Pr(Xn+1= S|Xn= P)
Conclusion:πn+1=πn·P.Exemple:π0=?1 0?,π1=?0,9 0,1?2=π1·P=π0·P2=?0,86 0,14?
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Th´eor`eme "descoupes"
Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusion´
Etat stationnaire du temps?
n=πn-1·P=π0·Pn Question 1: est-ce queπnconverge lorsquen→+∞?(vers unedistribution stationnaireπ?)Question 2:π?est-elle unique?Question 3: quelle est la typologie des chaˆınes pour
lesquelles on peut pr´evoir le comportement deπn?Ici :π?existe, est unique, et vaut?0,833 0,167?
Veut dire : danstjours (assez grand), il y a 83% de chance qu"il fasse soleil (quelque soit le temps actuel). On pourra aussi dire (grˆace auth´eor`eme ergodique, cf poly) : en moyenne, il fait beau 83% des jours.5/26Chaˆınes de Markov
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asymptotique des chaˆınes absorbantes ConclusionLes chaˆınes de Markov1Introduction2Vocabulaire
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Chaˆınes r´eductibles / irr´eductiblesChaˆınes p´eriodiques / ap´eriodiques
3Comportement asymptotique
4Comportement asymptotique des chaˆınes ergodiques
Notion d"ergodicit´e
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5Comportement asymptotique des chaˆınes absorbantes
6Conclusion
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asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionChaˆınes de Markov
SoitEun ensemble fini (ou d´enombrable) d"´etats.D´efinition Une suite de variables al´eatoires (Xn) `a valeurs dansEt.q. :Pr(Xn+1=j|X0=i0,...,Xn=i) = Pr(Xn+1=j|Xn=i)
est unechaˆıne de Markov.D´efinitionPr(Xn+1=j|Xn=i) =pn(i,j) est laprobabilit´e de
transitionde l"´etati`a l"´etatj.Remarque: on ne consid´erera que des chaˆıneshomog`enes
i.e. telles quepn(i,j) =pi,j. SiEfini,P= (pi,j) est lamatrice de transitionde (Xn).7/26Chaˆınes de MarkovF. Sur - ENSMN
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Comportement
asymptotique des chaˆınes absorbantesConclusionRepr´esentation graphique
SoitGle graphe orient´e valu´e tel que :sommets = ´etats (E)arˆete deiversjsipi,j>0.valuation de l"arˆetei→j:pi,j.
Une chaˆıne de Markov peut ˆetre vue comme une marche al´eatoire surG, connaissantπ0.Exemple:
2 0,5 ??0,25 0,25 ??0,1 ??10,5??0,5??3
0,6??0,4
??50,5??0,5??8/26
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