[PDF] [PDF] Les chaînes de Markov Exercices solutionnés

View - Download [PDF] Les chaînes de Markov Exercices solutionnés

Previous PDF

Next PDF

Les chaînes de Markov

Exercices solutionnés

Geneviève Gauthier

dernière mise à jour : 16 octobre 2000 Problème 1(30 points).À partir des trois graphes de transition suiv- ants, reconstituez les chaînes de Markov qui leur sont associées (espace d"états et matrice de transition). Pour chacune de ces chaînes de Markov, faites-en l"analyse en répondant aux questions suivantes: i) La chaîne de Markov comporte combien de classes et quelles sont- elles?; ii) Quelles sont les caractéristiques de chacune de ces classes (stable ou instable, absorbante, récurrente ou transitoire, la période)?; iii) Existe-t-il une loi stationnaire? Si oui, qu"elle est-elle? Sinon, pourquoi? iv) Déterminez, s"il y a lieu, les probabilités d"absorbtion dans les classes stables. v) Déterminez, s"il y a lieu, les temps moyens d"absorbtion dans les classes stables.x 1x

2x3x41

x 1x 2x 3x

40,50,5

x 3x 1x 2x

40,750,25

0,750,252

1 Premier graphe de transition

1.1 Classi...cation des états

E

X=fx1;x2;x3;x4getPX=0

B

B@0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 01

C CA: Il n"y a qu"une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit d(1) =PGCDfn2 f1;2;:::g: (PnX)11>0g=PGCDf4;8;12;16;:::g= 4:

1.2 Loi stationnaire

Résolvant le système

P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+

3+4= 1, nous obtenons

0 B

BBB@1 0 0 1

11 0 0

0 11 0

0 0 11

1 1 1 11

C CCCA0 B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C

CCCA)0

B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B BB@14 14 14 14 1 C CCA: Comme la chaîne n"est pas apériodique, nous savons que la loi deXnne converge pas vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni où X nreprésente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape.

1.3 Probabilités d"absorption

Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul des probabilités d"absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité d"être absorbé dans cette unique classe, partant de n"importe quel état, est de 1. 3

2 Deuxieme graphe de transition

2.1 Classi...cation des états

E

X=fx1;x2;x3;x4getPX=0

B B@12 12 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 01

C CA: Il n"y a qu"une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit d(1) =PGCDfn2 f1;2;:::g: (PnX)11>0g=PGCDf1;2;3;4;:::g= 1:

2.2 Loi stationnaire

Résolvant le système

P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+

3+4= 1, nous obtenons

0 B BBB@ 12 0 0 1 12 1 0 0

0 11 0

0 0 11

1 1 1 11

C CCCA0 B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C

CCCA)0

B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B BB@25 15 15 15 1 C CCA: Comme la chaîne st irréductible et apériodique, nous savons que la loi deXn converge vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni oùXn représente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape.

2.3 Probabilités d"absoption

Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul des probabilités d"absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité d"être absorbé dans cette unique classe, partant de n"importe quel état, est de 1. 4

3 Troisieme graphe de transition

3.1 Classi...cation des états

E

X=fx1;x2;x3;x4getPX=0

B BBB@0 14 034

0 1 0 0

0 14 034

0 0 0 11

C CCCA:

Il y a quatre classes

fx1ginstable transitoired(1) = 0 fx2gstable absorbante donc récurrented(2) = 1 fx3ginstable transitoired(3) = 0 fx4gstable absorbante donc récurrented(4) = 1

3.2 Loi stationnaire

Résolvant le système

P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+

3+4= 1, nous obtenons

0 B

BBB@1 0 0 0

14 014 0

0 01 0

34
034
0

1 1 1 11

C CCCA0 B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C

CCCA)0

B B@ 1 2 3 41
C CA=0 B B@0 1a 0 a1 C CA où la contrainte8i2 f1;2;3;4g; i0entraîne que0a1. Il existe donc une in...nité de distributions stationnaires. Comme la chaîne n"est pas irréductible, nous savons que la loi deXnne converge pas vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni oùXnreprésente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape. 5

3.3 Probabilités d"absorptions

Les probabilités d"absorbtion semblent beaucoup plus intéressantes dans ce cas-ci. Posons i=P[la chaîne est éventuellement absorbée enx2jX0=xi]: Évidemment,2= 1et4= 0. Il est aussi clair que1=14 et3=14 auquel nous ajoutons les deux contraintes2= 1et4= 0, nous obtenons0 B

BBBBBBB@114

034

0 0 0 0

0 14 134

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 11

C

CCCCCCCA0

B B@ 1 2 3 31
C CA=0 B

BBBBB@0

0 0 0 1 01 C

CCCCCA)0

B B@ 1 2 3 31
C CA=0 B BB@14 1 14 01 C CCA:

Posons

i=P[la chaîne est éventuellement absorbée enx4jX0=xi]: Évidemment,2= 0et4= 1. Il est aussi clair que1=34 et3=34 auquel nous ajoutons les deux contraintes2= 0et4= 1, nous obtenons0 B

BBBBBBB@114

034

0 0 0 0

0 14 134

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 11

C

CCCCCCCA0

B B@ 1 2 3 31
C CA=0 B

BBBBB@0

0 0 0 0 11 C

CCCCCA)0

B B@ 1 2 3 31
C CA=0 B BB@34 0 34
11 C CCA:

3.4 Temps moyens d"absorption

Déterminons maintenant les temps moyen d"absorption. Puisquex2etx4 sont des classes stables,2=4= 0:

1= 1 +14

2+34 4= 1

3= 1 +14

2+34 4= 1 6quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] chaine énergétique barrage hydraulique

[PDF] chaine énergétique d'une éolienne

[PDF] exercice corrigé centrale hydraulique

[PDF] chaine énergétique centrale thermique

[PDF] chaine énergétique pile

[PDF] chaine énergétique exercices

[PDF] chaine énergétique éolienne

[PDF] chaine énergétique panneau solaire

[PDF] chaine energetique definition

[PDF] chaine énergétique exemple

[PDF] cours de logistique de distribution pdf

[PDF] introduction logistique

[PDF] cours management de la chaine logistique pdf

[PDF] logistique et supply chain management

[PDF] supply chain management livre pdf