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  • Comment montrer qu'un processus est markovien ?

    Un processus stochastique (Xn)n?0 à valeurs dans E et défini sur un espace de probabilité (?,F,P) est une chaîne de Markov (µ,P) si : (i) P(X0 = x) = µx, ?x ? E. (ii) P(Xn+1 = yX0 = x0,Xn = x) = Pxy, ?x0, . . . x,y ? E. La probabilité µ est appelé loi initiale de la chaîne et la matrice P matrice de transition.

  • Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?

    Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.

  • Comment montrer qu'une chaîne de Markov est irreductible ?

    Une chaîne de Markov est dite irréductible si K(x, y) > 0 pour tout couple x, y. Dans ce cas, soit la chaîne consiste en une seule classe d'états récurrents, soit la chaîne consiste seulement en états tous transitoires.
  • est indépendant de l'état de départ. Pour les chaînes ergodiques, on demande simplement que tout état soit atteignable depuis tout autre, mais le nombre de pas n'est pas nécessairement fixé.
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Cha^nesetprocessusdeMarkov.Part1

Tabledesmatieres

1IntroductionauxprocessusdeMarkov2

2Lescha^nesdeMarkovaespaced'etatsni4

3LesproblemesdeDirichlet12

4.1.1 1

5Examensd'entra^nement42

1IntroductionauxprocessusdeMarkov

1.1Champsetprocessusaleatoires

continu). fonctionscommeE=C[0;1),C(p) [0;1),etc. mensionnelsoumultivaries.

L'espaceIestsouventletemps,ainsi:

I=RouR+:idemmaisprocessusatempscontinu.

I=Z2:images.

I=Z3:modeledelamatiere.

2 inherentedanslemodelecidessu. donneparlesprocessusMarkoviens. ensembleE;I.

Denition1.3-ProprietedeMarkov

InterpretationdelaproprietedeMarkov

:sionconsiderequeleprocessusestindice lepasseimmediat.

Denition1.4Matricedestransitions

par: p ij(s;t)=P([Xt=ej]j[Xs=ei]): 3

Denition1.5Homogeneitedestransitions

Unprocessusestdithomogene

si,etseulementsi:

8i;j2I,80st,pij(s;t)=pij(0;ts):

Onnotealorspij(s;t)=pij(ts)

aprestempst.

Hypothesedetravail

2Lescha^nesdeMarkovaespaced'etatsni

0;1;2;:::.

si: ,estlaplusimportante ,c'est-a-direune matricetelleque:

1.8i;j2I,pij0et

2.8i2I,P

j2Ip

Remarque

casestunpeudierente.

Onappelleloiinitiale

delacha^ne(Xn)n2Nlevecteur(0): 4 ensachantque: a)ledepartestsurementa0 OU A B C (n+1)=(n)P(1) etalorsparinductionontrouve (n)=(0)Pn(2)

2;X2=1g,2(2)etPfX0=2;X2=1g.

netapes.

2.2Probabilitesdetransitionennetapes

elleestnoteeP(n)= p(n) ij i;j2Ioup(n) ij=P([Xn=ej]j[X0=ei]): matricePn. 5

P(m+n)=P(m)P(n)(3)

lapositionkapresmpas,ona:

8i;j2I,8m;n2N,p(m+n)

ij=X k2Ip (m) ikp(n) kj QED

Corollaire2.1

lamatricePdetransitionaprestemps1.

P[Xt0=ei0;:::;Xtk=eik]=i0(t0)Pt1t0i

0;i1:::Ptktk1i

k;ik1(4) 6 determinerlamatricedetransitions.

SiXn1=XnalorsP([Xn+1=e1]j[Xn=ei])=3

4SiXn16=XnalorsP([Xn+1=e1]j[Xn=ei])=1

2 P=0 B B @3 41400
001 2121
21200
003 4141
C C A onpassed'unniveau(etat)al'autresont:

Aprsuneanneeavecunouplusieurssinistres

pourquoifX(t)g1 t=1n'estpasunecha^nedeMarkov. fY(t)g1 pourl'assuredansl'anneet. t=1.

Solution:

nepeutpassereduireaP[Xt+1=3jXt=4]. 7

2.Denitiondesnouveauxniveaux:

3.Lamatricedetransitionestalors

2.4Classicationdesetats

(onnote e i!ej)ssiilexisten>0telquep(n) ij>0etonditqueeietejcommuniquent (etonnote e i$ej)sieiconduitaejetejconduitaei. exiveettransitive.alors,

Denition2.6Onappelleclassesdelacha^ne

pardes

2.5Exercices:TD1

ESP

ERANCECONDITIONNELLE

auchireobtenuaveclede. 8 nellementauchirekobtenuaveclede). conditionnelle)d'obteniraumoinsunpile. probabilites1/3pourchaquecas. pppp r (a)P=0 @100 010 1

313131

Ab)P=0

@01

212100

1001
A (b)P=0 B B @1000 0

13131301

3131301

313131

C C

Ad)P=0

@010 001 1 21201
A (a)LemaximumderesultatsXn=max1inYi (b)Lenombrecumulatifde6;Xn=Pn i=11fYi=6g (e)Xn=Yn+Yn1f)Xn=Max1inSi,ouSi=Pi k=1Yketg)Xn=S1+S2+ :::+Sn 9 au n+2+bun+1+cun=0;(5) av n+2+bvn+1+cvn=dn;(6)

L'equationhomogene

u ax

2+bx+c=0:(7)

1.Six16=x2

u n=Axn 1+Bxn 2;

2.Six1=x2,

u n=Axn

1+Bnxn

1; avecdesconstantesAetB. surlafrontiere.

L'equationnonhomogene

coincidentavecdestermesenun. non-determines. 10

1.ti=2ti1+i1;t0=0

2.ti=2ti1+52i;t0=0

3.ti=3ti12ti2+2;t0=0;t1=2

4.ti=2ti1ti2+2;t0=0;t1=2

Solution:

t etalorsc1=2c1+1etc1=1 c

2=2c1+2c21etc2=2c1+1=1

ti=i1Finalement, t

0==0=1+AetA=1

t i=i1+2i

2.C'estuneequationnonhomogene,alors:

t etalorsc=5;ti=5i2i+A2ietnalement, t

0==0=AetA=0

t i=5i2i lesracines1;2,alorsnousaurons: t etalorsc=2etc2=2c1+1=1 ti=i1Finalement, t

0==0=1+AetA=1

t i=i1+2i t etalorsc1=2c1+1etc1=1 c

2=2c1+2c21etc2=2c1+1=1

ti=i1Finalement, t

0==0=1+AetA=1

t i=i1+2i 11

3LesproblemesdeDirichlet

3.1Lescha^nesdeMarkovabsorbantes

QP(tr)

3.LadistributiondeN.

deT(etdoncarriveen@). positioninitiale:

T;8i2[0;N1]etyN2@.

tionneesparlepointdedepart. 0j1 12

Markov.

n=Qn+1 b)Ilssontdonnesexplicitementpar: n=(IQ)11

Demonstration:b)Laformuleexplicite

n=(IQ)11=1X i=1(Q)i1 enindicateurs N=1X k=0I k k=0EiIk. j2TIk;j,ouIk;jestl'indicateur n i=1X k=0X j2TE iIk;j=1X k=0X j2T(Q)k i;j

Lesystemeequivalentdonneenpartiea)

n i=X j2TQ i;j(nj+1)+X j=2TQ i;j1 sorbtionest:n=EN=(IQ)11

3.2Lesprobabilitesd'absorbtion

13 p=Q^p+P(tr)f

Enparticulier

p(j)=Q^p(j)+p(j) (tr) oup(j) P (abs)=QP(abs)+P(tr) etdonc

P(abs)=(IQ)1P(tr)

p=(I(Q)1)P(tr)f k=0pk. 14 OU A B C

3.3Lesdistributionsdetempsd'absorbtion

donneesexplicitementpar: detransition

QP(tr)

PfN=kg=(Q)k1P(tr)

PfN>kg=(Q)k1

EN=X kPfN>kg=(IQ)11

Exercice3.1Soitlamatricedetransition

1ppj0 01pjp 00j1!

Trouvezl'esperanceetladistributiondeN.

VoiraussiRuegg,2.6.3.

3.4LesproblemesdeDirichlet

0pourtoujours,ou"re

@=ZN. 15 surlepremierpas.

3.5Exempleunidimensionnel

tement. X P xfX=Kg,b)fx=ExX,c)tx=Ex,d)cx=Ex[P

0X(t)],ete)wx=

E xag(X);a2(0;1). E d)larelation:Ex[P1 possibles.

Ilserautiled'introduirelanotation

(Gf)x=p(fx+1fx)+q(fx1fx) (Gp)x=0;pK=1;p0=0 (Gf)x=0;fK=K;f0=0 (Gt)x+1=0;tK=0;t0=0 (Gc)x+x=0;cK=0;c0=0 (Gw)x+(1a1)wx=0;wK=1;w0=1 16

2.Quandp=q=1=2,

(a)px=Px[X(T)=K]satisfait: p n=pn+1

2+pn12forany1nK1

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