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  • Comment montrer qu'un processus est markovien ?

    Un processus stochastique (Xn)n?0 à valeurs dans E et défini sur un espace de probabilité (?,F,P) est une chaîne de Markov (µ,P) si : (i) P(X0 = x) = µx, ?x ? E. (ii) P(Xn+1 = yX0 = x0,Xn = x) = Pxy, ?x0, . . . x,y ? E. La probabilité µ est appelé loi initiale de la chaîne et la matrice P matrice de transition.

  • Quel est le principe Sous-jacent de la technique des chaines de Markov ?

    Si une chaîne de Markov est irréductible et si son espace d'états est fini, tous ses états sont récurrents positifs. La loi forte des grands nombres est alors en vigueur. Plus généralement, tous les éléments d'une classe finale finie sont récurrents positifs, que l'espace d'états soit fini ou bien infini dénombrable.

  • Comment montrer qu'une chaîne de Markov est irreductible ?

    Une chaîne de Markov est dite irréductible si K(x, y) > 0 pour tout couple x, y. Dans ce cas, soit la chaîne consiste en une seule classe d'états récurrents, soit la chaîne consiste seulement en états tous transitoires.
  • est indépendant de l'état de départ. Pour les chaînes ergodiques, on demande simplement que tout état soit atteignable depuis tout autre, mais le nombre de pas n'est pas nécessairement fixé.
Statistiques des processus 3A

Statistiques des processus 3A

2 novembre 2015

2

Table des matières

1 Les chaînes de Markov 5

1.1 Rappels sur les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Irréductibilité, transience et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Récurrence positive et probabilité invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Exemple : les chaînes de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Chaînes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2 Exemple : le modèle de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Théorèmes limites et application à la statistique des chaînes de Markov . . . . . . 22

1.4.1 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 Convergence vers la loi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.3 Un théorème limite centrale pour les chaînes de Markov . . . . . . . . . . 24

1.4.4 Estimation de la matrice de transition par la méthode du maximum de vrai-

semblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5 Construction d"un test d"adéquation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Applicationàlarecherchedesmotsdefréquenceexceptionnelledanslesséquences

ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1 Objectifs et formalisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.2 Loi exacte du nombre d"occurences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.3 Utilisation de l"approximation gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.4 Loi des petits nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Processus de Poisson 39

2.1 Le processus de Poisson simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Estimation de l"intensité par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . 43

2.2 Le processus de Poisson non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1 Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Processus de Poisson composé et modèle de Cramér-Lundberg . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 Modèle de Cramér-Lundberg et probabilité de ruine . . . . . . . . . . . . . 52

3

3 Processus Markoviens de sauts 53

3.1 Propriété de Markov d"une fonction aléatoire de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Le générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Existence et construction d"un processus de Markov de générateur donné . . . . . 60

3.3.1 Trois exemples de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 Conditions de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 Estimation du générateur par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Classification des états et Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.1 Processus à deux états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.2 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.3 Dynamique d"une épidémie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.4 Processus de Galton-Watson à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4

Chapitre 1

Les chaînes de Markov

Soit ;A;P)un espace probabilisé. Dans la suite nous utiliserons les deux abréviations sui-

vantes : i.i.d pour indépendantes et identiquement distribuées et p.s pour presque sûrement.

1.1 Rappels sur les chaînes de Markov

1.1.1 Définition et premiers exemples

Dans tout ce chapitreEdésignera un ensemble fini ou infini dénombrable (par exempleE= fa;b;c;dg,E=NouE=Z).

Définition 1On dit qu"une suite de variables aléatoiresX=(Xn)n2N, toutes à valeurs dans E, est

une chaîne de Markov si pour tout n2Net tout(x0;x1;:::;xn+1)2En+2tel que P (X0=x0;:::;Xn=xn)>0, P Autrement dit, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires pour laquelle la loi

conditionnelle de lan+1-ième coordonnée sachant toutes les coordonnées précédentes ne dépend

que de lanième, et ce pour toutn. L"indicenreprésente souvent le temps mais pas toujours. Remarque.On dit que trois variables aléatoires discrètesA;B;Csont telles queAest indépen- dante deBconditionnellement àCsi P (A=a;B=bjC=c)=P(A=ajC=c)P(B=bjC=c);

pour toutc2Etel queP(C=c)>0. On pourra vérifier que cette dernière propriété est équivalente

à avoirP(A=ajB=b;C=c)=P(A=ajC=c)pour tout (b;c)2E2tel queP(B=b;C=c)>0. Ainsi, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ntelle que pour toutn2N, X n+1est indépendante deXn1;:::;X0conditionnellement àXn. Dans un contexte temporel, on

peut donc interpréter cette définition en disant que "conditionnellement au présent, le futur est

5 indépendant du passé". Dans la plupart des exemples considérés dans ce cours, la loi conditionnelle deXn+1sachantXn sera indépendante den, ce qui donne lieu à la définition suivante. Définition 21. On dit qu"une "matrice"(P(x;y))(x;y)2E2est stochastique si P(x;y)0pour tout(x;y)2E2et siP y2EP(x;y)=1pour tout x2E.

2. On dit qu"une chaîne de MarkovXest homogène s"il existe une matrice stochastique P telle

que pour tout(n;x;y)2NEE tel queP(Xn=x)>0, alors P (Xn+1=yjXn=x)=P(x;y):

Convention.LorsqueP(Xn=x)=0, on conviendra que

P La matricePest souvent appelée matrice de transition ou plus simplement transition.

La figure 1.1.1 compare une trajectoire obtenue à partir de 100 variables aléatoires i.i.d toutes de

loi de Bernoulli de paramètre 12 (graphe de gauche) et une trajectoire de longueur 100 d"une chaîne de Markov surE=f0;1gtelle queP= 0:75 0:25

0:25 0:75!

(graphe de droite). Le cas des Bernoulli indépendantes correspond en fait àP= 0:5 0:5

0:5 0:5!

Figure1.1 - Comparaison de trajectoires de deux chaînes surE=f0;1g

Exemples

1. L"exemple classique est celui de la marche aléatoire sur le réseauZd. A partir d"une suite

n)n1de variables aléatoires i.i.d à valeurs dansZdet indépendante d"une autre variable

aléatoireX0(elle aussi à valeurs dansZd), on définit une suite de variables aléatoires à l"aide

6 des relationsXn+1=Xn+n+1,n2N. On obtient alors une chaîne de Markov homogène dont la transitionPest donnée par

P(x;y)=P(1=yx);(x;y)2Zd:

Dans le cas oùd=1 etP(1=1)=P(1=1)=12

, on parle de marche aléatoire simple symétrique. Dans ce cas, on obtientP(x;y)=(0 sijxyj,1 12 sijxyj=1

2. On considère la situation suivante. Entre deux instants donnés notésnetn+1,q2N

pièces sont fabriquées en usine. On noteDn+1le nombre de pièces (aléatoire) que les clients

achètent entre les instantsnetn+1. SiXndésigne le nombre de pièces en stock au tempsn, alors on a la relation X n+1=max(Xn+qDn+1;0);n2N: En supposant les variables aléatoiresD1;D2;:::i.i.d, on obtient un chaîne de Markov ho- mogène à valeurs dansE=Net dont la matrice de transitionPest donnée parP(x;0)= P (D1x+q)etP(x;y)=P(D1=x+qy) si 03. Le processus de Galton-Watson est un processus de branchement simple qui permet de mo-

déliser l"évolution du nombre de descendants d"un individu donné. Initialement, il a été

proposé par F. Galton et H.W. Watson vers 1873 pour étudier le problème suivant.

Soit p

0;p1;p2:::les probabilités respectives pour qu"un homme ait0;1;2;:::enfants et sup-

posons qu"il en soit de même pour ses fils, les fils de ses fils, etc. Quelle est la probabilité

que la descendance mâle s"éteigne au bout de r générations? L"objectif initial était l"étude de l"extinction des noms de familles nobles en Angleterre. Dans ce problème, le nombre de descendants peut être représenté de la façon suivante. On poseX0=1 et pour tout entiern, on définit récursivementXn+1=PXn

i=1Yn;i1Xn>0oùYn;i: (n;i)2NNest une famille de variables aléatoires i.i.d et toutes de loi discrète

(pk)k2N. La suite (Xn)n2Nest alors une chaîne de Markov dont la matrice de transitionPest donnée par

P(x;y)=P0BBBBB@x

X i=1Y

1;i=y1CCCCCA=X

j

1++jx=yp

j1pjx;(x;y)2NN; etP(0;y)=1y=0.

4. En génétique, le modèle de Wright-Fisher est utilisé pour étudier l"évolution de la propor-

tion de deux allèlesAetBdans une population haploïde (i.e chaque individu possède un seul exemplaire de chaque double-brin d"ADN) et dont la taille reste à peu près constante

d"une génération sur l"autre. Plus précisément, siNdésigne la taille de cette population

etXnle nombre d"individus possédant l"allèleAà la générationn2N, on estime que la loi conditionnelleXn+1jXn;Xn1;:::;X0est une loi binomiale de paramètresNetXnN . Sché- matiquement, cela revient à considérer que tout individuide la générationn+1 provient, indépendamment des autres, du parentjde la générationnavec probabilité1N et hérite de l"allèle correspondant. La suite (Xn)n2Nest alors une chaîne de Markov par construction. 7 Plus généralement, nous avons le résultat suivant. Proposition 1Soient(Un)n2Nune suite de variables aléatoires i.i.d à valeurs dans un espace mesurable G, indépendante d"une variable aléatoire X

0à valeurs dans E et F:EG!E une

fonction mesurable. Alors si X n+1=F(Xn;Un+1);n2N; la suite (Xn)n2Nest une chaîne de Markov homogène. Preuve.Pourn2Netx0;x1;:::;xn2E, posonsAn=fX0=x0;:::;Xn=xng. Alors P (Xn+1=xn+1jAn)=P(F(xn;Un+1)=xn+1jAn) =P(F(xn;Un+1)=xn+1) =P(F(xn;U1)=xn+1): En posantP(xn;xn+1)=P(F(xn;U1)=xn+1), on voit que la suite(Xn)n2Nest une chaîne de Markov de matrice de transitionP. Notations.Dans la suite,Pndésignera la puissancende la matrice de transitionP. De plus, si est une mesure surE, la mesurePndésignera la mesure surEdéfinie par

Pn(x)=X

z2E(z)Pn(z;x);x2E: Proposition 2Soit(Xn)n2Nune chaîne de Markov de loi initiale(i.eest la loi de X0) et de matrice de transition P. On a alors les formules suivantes.

1. Pour tout(x0;x1;:::;xn)2En+1, on a

P

2. Pour tout(n;p)2N2,PX

n+p=yjXp=x=Pn(x;y).

3.P(Xn=y)=Pn(y).

D"après le point 1 de la Proposition 2, on voit que la loi initialeet la matrice de transition

Pdétermine complètement les lois fini-dimensionnelles de la chaîne de Markov. On admettra que

étantdonné unemesuresurEetune matricemarkovienneP,il esttoujours possibledeconsidèrer un espace probabilisé ;A;P)sur lequel est définie une suite de variables aléatoires(Xn)n2Nqui soit une chaîne de Markov de loi initialeet de matrice de transitionP. 8

Preuve de la Proposition 2

1. Il sut d"appliquer la formule des conditionnements successifs et d"utiliser la définition des

chaînes de Markov. Nous avons, en notantAi=fX0=x0;:::;Xi=xig, P (X0=x0;:::;Xn=xn) =P(X0=x0)P(X1=x1jX0=x0)P(Xn=xnjXn1=xn1) =(x0)P(x0;x1)P(xn1;xn):

2. Toujours en utilisant la formule des conditionnements successifs, nous avons

PX n+p=xn+pjXp=xp X x p+1;:::;xn+p12EPX p+1=xp+1;:::;Xn+p=xn+pjXp=xp X x p+1;:::;xn+p12EPX n+p=xn+pjXp=xp;:::;Xn+p1=xn+p1PX p+1=xp+1jXp=xp X x p+1;:::;xn+p12EPx p;xp+1Px n+p1;xn+p =Pnx p;xn+p:

3. C"est une conséquence du point précédent en remarquant que

P (Xn=y)=X x2EP (Xn=y;X0=x)=X x2EP (Xn=yjX0=x)P(X0=x):

Exercice1

SoitXune chaîne de Markov homogène. Montrer les propriétés suivantes. 1.PX n+p=xn+p;:::;Xn+1=xn+1jXn=xn;:::;X0=x0ne dépend pas dex0;:::;xn1.

2. Déterminer la loi du vecteurYn=Xi1;Xi2;:::;Xinsi 0i1

Exercice2

SoitXune suite de variables aléatoires à valeurs dansEet telle que pournp, P (Xn+1=xn+1jXn=xn;:::;X0=x0)=PX n+1=xn+1jXn=xn;:::;Xnp=xnp:

Montrer que la suite

(Yn)n2Ndéfinie parYn=X n;Xn+1;:::;Xn+pest une chaîne de Markov. utile de considérer des fonctions qui dépendent de tout le futur. Proposition 3Si(Xn)n2Nest une chaîne de Markov homogène et g:EN!Rune fonction mesu- rable bornée (pour simplifier) alors E 9

1.2 Irréductibilité, transience et récurrence

Définition 3Une chaîne de MarkovXest dite irréductible si pour tout(x;y)2E2, il existe un entier n=n(x;y)1tel que Pn(x;y)=P(Xn=yjX0=x)>0.

La définition précédente signifie que la chaîneXpeut passer de tout étatxà tout étatyavec une

probabilité positive. Remarquons que P n(x;y)=X x

1;:::;xn12EP(x;x1)P(x1;x2)P(xn1;y):

La définition précédente signifie alors que pour tout (x;y)2E2, il existen2Nainsi que x

1;:::;xn12Etel queP(xi;xi+1)>0, pouri=0;:::;n1 (en convenant quex0=xet

x n=y).

Exemples

1. La marche aléatoireXn+1=Xn+nsurZdtelle queP(1=ei);P(1=ei)>0 oùe1;:::;ed

sont les vecteurs de la base canonique deRdest irréductible.

2. La chaîne à trois états de matrice de transitionP=0

BBBBBBBB@0:5 0 0:5

1 0 0

0 0:1 0:91

CCCCCCCCAest irréductible.

3. La chaîne de Galton-Watson n"est pas irréductible. En eet l"état 0 ne peut mener qu"à lui-

même. Lorsque pour une chaîne de Markov de transitionP, on aP(x;x)=1, on dit que l"état xest absorbant. La notion suivante joue un rôle fondamental pour analyser le comportement en temps long d"une chaîne de Markov. Elle fait intervenir le temps de retour en un étatx2Edéfini par T x=inffn1 :Xn=xg: RemarquerqueTxestunevariablealéatoireàvaleursdansN[f+1g(onconvientqueinf;= +1).

En eet, on a

f

Tx=kg=fX1,x;:::;Xk1,x;Xk=xg:

Dans la suite, nous aurons également besoin de la loi d"une chaîne de Markov de transition

PlorsqueX0est constante et égale àx. Cette loi, notéePx, correspond à la loi conditionnelle

P (jX0=x)lorsque sousP,Xest une chaîne de Markov de transitionPet de loi initiale quel- conque. Définition 4Un état x2E est dit récurrent lorsquePx(Tx<+1)=1. Sinon, on dit que x est transitoire.

On interprète la définition précédente de la façon suivante. Six2Eest récurrent, on est sûr la

chaîne qui part dexrepassera par cet état. Sixest transitoire, il existe un évènement de probabilité

positive sur lequel toute trajectoire de la chaîne de repasse jamais enx. 10 Remarquons que la notion de récurrence ne dépend que de la transitionPde la chaîne (et pas de la loi initiale).

Dans la suite pour un étatx2E, nous noterons

U x=X n11 Xn=x;

le nombre de retours de la chaîne au pointx. La notationExdésignera l"espérance sous la probabi-

litéPx. Proposition 4SoitXune chaîne de Markov irréductible de loi initialquelconque. On a les deux cas de figures suivants.

1. Tous les états sont récurrents. Dans ce cas, p.s, pour tout x2E, la chaîne de Markov passe

x une infinité de fois. On dit que la chaîne est récurrente.

2. Tous les états sont transitoires. Dans ce cas, p.s, pour tout x2E, la chaîne ne passe qu"un

nombre fini de fois par x. On dit que la chaîne est transiente.

Remarques

1. On a alors la conséquence suivante.LorsqueEest fini, une chaîne irréductible est au-

tomatiquement récurrente. En eet, si la chaîne était transitoire, elle ne passerait qu"un nombre fini de fois par chaque état, ce qui est incompatible avec la finitude deE.

2. SiE=NouE=Z, une chaîne transiente vérifie limn!+1jXnj= +1p.s.

Preuve de la Proposition 4.Pourx2E, posons

U(x)=X

n11 fXn=xg:

U(x) représente le nombre de visites au pointx2E(on exclut l"état initial). Remarquons que pour

touty2E, E y(U(x))=X n1P (Xn=xjX0=y)=X n1P n(y;x): La preuve est en partie basée sur le lemme suivant.

Lemme 1On considère une chaîne de Markov irréductibleX. Soient x2E un état de la chaîne.

L"état x2E est récurrent (resp. transitoire) si et seulement siPx(U(x)= +1)=1(resp.=0).

Dans ce cas, on aEx(U(x))= +1(resp.<+1).

Preuve du Lemme 1.Remarquons qu"en posantFn=fXn=x;Xk,x;kn+1gpour tout en- tiern1 etG=fXk,x;k1g, on a f

U(x)<+1g=[n1Fn[G:

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