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Soit la fonction partie entière définie sur ℝ. On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à . Ainsi
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On note encore cette fonction F. Définition 2 Soit F = P. Q∈ K(X) sous forme X5 + 1. X(X − 1)2 a pour partie entière X2 + 2X + 3. (c) F2 = 1. (X2 − 1)(X2 ...
Quelques applications de la partie entière dun nombre réel
On a donc : q = E( a b ) et r = a – bq. Ce sont les deux résultats qui nous intéressent ; beaucoup de machines très diffusées ne sont pas munies des fonctions
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Par contre la fonction partie entière E n'est pas continue aux points x0 cours sur les fonctions de deux variables. Néanmoins
PRISE EN MAIN DE MAXIMA
4 déc. 2011 2.5 La fonction partie entière . ... http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.pdf. 2 Calculs élémentaires. 2.1 Les quatre opérations.
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instrument de travail tant dans le cadre des exercices résolus en cours que Dessiner le graphe de la fonction ?A lorsque A est la partie de R : A = [1; ...
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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Voici le graphe de la fonction partie entière x ? E(x) :.
Cours de mathématiques - Exo7
Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres 10 et 1 101/12. Voici le graphe de la fonction partie entière x ? E(x) :.
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25 jui. 2010 1.6.2 Les fonctions partie entière et décimale . ... ranger les quelque 300 et quelques heures de cours de maths subies depuis notre ...
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La fonction partie entière aussi appelée fonction en escalier
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SECONDE EDITION
JUIN 2010
MSI 101
EXERCICES POUR LE COURS INTEGRE
Nous vous souhaitons la bienvenue à l'Université Bordeaux 1 et la réussite dans vos études. Pour favoriser votre insertion à l'Université nous vous proposons ce fascicule d'exercices qui couvre le programme actuel de MSI 101. Il se veut un instrument de travail, tant dans le cadre des exercices résolus en cours qu e dans celui de votre travail personnel. Il y a beaucoup plus d'exercices que ce que l'on peu t raisonnablem ent traiter penda nt les travaux dirigés, ceci est volontaire et nous vous encourageons à travailler des exercices de ce polycopié qui n'ont pas été vus en cours. Les modalités de contrôle des connaissances en MSI 101 s'articulent suivant : Hdeux devoirs surveillés de 1h30 (coefcient 0.20 chacun) Hun devoir surveillé terminal de 3h (coefcient 0.40 )Hdeux devoirs à remettre (coefcient 0.10)
Hdes tests aléa toires durant les séances de cours intégré s (coefcient 0.10) Pour vous guider dans votre travail, un contrat pédagogique a été mis en ligne sur ULYSSE. Chaque semaine vous y trouverez un nouveau guide contenant des exercices avec des corrections détaillées ou d es solutions dans le cas d'exercices calculatoires. Vous pouvez travailler sur ces guides soit à l'espace Alpha soit de l'extérieur de l'Université si vous avez une connexion à internet. Ce contrat nous permet aussi de vous transmettre des informations sur le MSI101. Cinq séances de tutorat intégré sont prévues dans votre emploi du temps
pour travailler sur ce contrat. Ces séances sont encadrées par un tuteur. Le rôle du tuteur est de répondre aux questions que vous vous posez en travaillant sur ces guides. Le tuteur peut aussi vou s aider s ur d'autres exe rcices de mathématiques. L'Université Bordeaux 1 met à votre disposition des services de tutorat gratuit le kiosqu e et le tutorat d'accompa gnement personnal isé. Ces tutorats so nt e f ectués par des étudi ants de maste r ou doctoran ts en mathématiques. Le kiosque fonctionne tous les jours du lundi au vendredi entre 12h30 et 13h30 dans le hall du bâtiment A. 22. Le tuteur qui assure la permanence peut, soit vous aider sur une question de mathématiques, si cette question est simple, soit vous propo ser un rendez- vous avec un tuteur pour trav ailler su r votre problème : c'est le tutorat d'accompagnement personnalisé. Nous vous invitons fortement à profiter de cette aide gratuite qui vous est proposée.L'équipe pédagogique de
MSI101
Le 10 juillet 2010
COMMENT SʼINCRIRE AU CONTRAT PEDAGOGIQUE MSI 101.Avant de s
inscrire il est nécessaire d avoir " valider ses comptes», ceci peut se faire
soit à l espace alpha soit dans les salles informatiques.Pour s
inscrire au contrat MSI 101, al ler sur le site de l université (http://www.u- bordeaux1.fr/) : •Cliquer sur le lien Accès ENT qui se trouve en bas à droite. •Cliquer ensuite sur le lien sʼidentifier qui se trouve en haut à droite. •Entrer votre identifiant et votre mot de passe puis cliquer sur connexion. •Cliquer sur lʼonglet Espace de formations •Cliquer sur le logo ULYSSE •Cliquer ensuite sur le bouton de la boussole Contrats Pédagogiques •Développer lʼarbre pédagogique en cliquant successivement sur les " + » devant les valises : - Formation initiale à l'Université Bordeaux 1 - Cycle Licence -Tronc commun MISMI -MSI 101/ Mathématiques •Cliquer ensuite sur " la flèche » qui se trouve en bout de la ligne •Cliquer ensuite sur le bouton "sʼinscrire ». À partir de là vous êtes inscrit au contrat MSI 10 1. Lorsque vou s allez sur la page d accueil d ULYSSE votre contrat est sélectionné dans le bandeau se trouvant à droite, en cliquant sur le lien, vous accéderez directement au contrat MSI 101. Le contrat est constitué de guides. Ces guides contiennent des exercices corrigés qui suivent la progression de votre cours.En cas de difficulté pour vous s
inscrire, vous pouvez demander de l aide à l accueil de l espace Alpha.Table des matières
1 Bases de logique et théorie des ensembles 6
A - Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 B - 1 Images, antécédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 B - 2 Image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B - 3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B - 4 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 C - Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Nombres entiers - Dénombrement -
Initiation à l'arithmétique -
Nombres rationnels 11
A - Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B - Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C - Division euclidienne et PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C - 1 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C - 2 Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 D - Rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E - Exercices variés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Nombres réels et propriétés deR14
A - Equations et inéquations dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 B - Borne supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C - Densité des rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Nombres complexes 16
A - Ecriture algébrique et trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 B - Résolution d"équations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 B - 1 Racines\iemesde l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 B - 2 Equation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B - 3 Equation de degré supérieur ou égal à3. . . . . . . . . . . . . . . . . .17 C - Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Suites réelles 19
A - Dénition de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 B - Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 C - Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 D - Etude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Fonctions numériques 22
A - Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22B - Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 B - 1 Dénition de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 B - 2 Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - 1 Dénition de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - 2 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - 1 Dénition de la dérivée en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - 2 Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
D - 3 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D - 4 Propriétés des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
E - Etude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 Fonctions numériques usuelles 28
A - Fonctions logarithme, exponentielle et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B - Fonctions circulaires et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
C - Fonctions hyperboliques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
D - Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 Intégration, calcul de primitives 31
A - Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31B - Intégration à vue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C - Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D - Intégration par changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
D - 1 Changement en sin, cos, cosh, sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
D - 2 Changement ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
E - Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E - 1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E - 2 Expressions rationnelles ensinetcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 E - 3 Expressions polynômiales ensinetcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 E - 4 Expressions rationnelles enexp,sinh,cosh. . . . . . . . . . . . . . . . .35 E - 5 Fractions rationnelles obtenues après un changement de variable quelconque 35
F - Autres calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Equations diérentielles 36
A - Equations diérentielles linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36B - Equations diérentielles linéaires d"ordre 2 à coecients constants . . . . . . . . 37
10 Fonctions de 2 ou 3 variables réelles 39
A - Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39B - Calcul de gradient, divergence et rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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