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Les nombres réels

?????"?????? ?? ??????? ??Q????R

MotivationVoici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce

cours d"analyse.

Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était en base60,

c"est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la formea+b60+c60

2+. On peut imaginer que pour les

applications pratiques c"était largement suffisant (par exemple estimer la surface d"un champ, le diviser en deux parties

égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement

avec des nombres rationnelsQ.

Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent quep2n"entre pas ce cadre là. C"est-à-dire quep2ne

peut s"écrire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C"est un double saut conceptuel : d"une part concevoir quep2

est de nature différente mais surtout d"en donner une démonstration.

Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombresp10et1,101=12. Le premier représente par

exemple la diagonale d"un rectangle de base3et de hauteur1; le second correspond par exemple au taux d"intérêt

mensuel d"un taux annuel de10%. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre à montrer quep10n"est pas un

nombre rationnel mais aussi à encadrerp10 et 1,10

1=12entre deux entiers consécutifs.

Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d"outils

beaucoup plus sophistiqués : une construction solide des nombres réels, l"étude des suites et de leur limites, l"étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.

Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la

fonctionf(x) =x210que la suite des rationnels(un)définie paru0=3etun+1=12 u n+10u nŠtend très vite versp10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de p10 et de certifier qu"elles sont exactes : LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ2

1. L"ensemble des nombres rationnelsQ

1.1. Écriture décimale

Par définition, l"ensemble desnombres rationnelsest

Q=§pq

jp2Z,q2Nª

On a notéN=Nnf0g.

Par exemple :

25
;710 ;36 =12 .Les nombres décimaux, c"est-à-dire les nombres de la formea10 n, aveca2Zetn2N, fournissent d"autres exemples :

1,234=1234103=12341000

0,00345=345105=345100000

.Proposition 1.

Un nombre est rationnel si et seulement s"il admet une écriture décimale périodique ou finie.Par exemple :

35
=0,613 =0,3333... 1,179325 !325 !325 !...

Nous n"allons pas donner la démonstration mais le sens direct (=)) repose sur la division euclidienne. Pour la

réciproque ((=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 !2021 !...est un

rationnel.

L"idée est d"abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres

après la virgule, donc on multiplie par 100 :

100x=1234,2021 !2021 !... (1)

Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d"une période, donc ici on multiplie encore par10000

pour décaler de 4 chiffres :

10000100x=12342021,2021 !... (2)

Les parties après la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1)alors

les parties décimales s"annulent :

10000100x100x=123420211234

donc 999900x=12340787 donc x=12340787999900

Et donc bien sûrx2Q.

1.2. p2n"est pas un nombre rationnel

Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellement

dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d"un carré de côté1est le nombre irrationnelp2; la

circonférence d"un cercle de rayon12estqui est également un nombre irrationnel. Enfine=exp(1)est aussi

irrationnel.1p2 1 2

Nous allons prouver que

p2 n"est pas un nombre rationnel. LES NOMBRES RÉELS1. L"ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ3Proposition 2.

p2=2QDémonstration.Par l"absurde supposons quep2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp2Zetq2Ntels quep2=pq, de plus -ce sera important pour la suite- on suppose quepetqsont premiers entre eux (c"est-à-dire

que la fractionpq est sous une écriture irréductible).

En élevant au carré, l"égalitép2=pqdevient2q2=p2. Cette dernière égalité est une égalité d"entiers. L"entier de

gauche est pair, donc on en déduit quep2est pair; en terme de divisibilité 2 divisep2.

Mais si2divisep2alors2divisep(cela se prouve par facilement l"absurde). Donc il existe un entierp02Ztel que

p=2p0.

Repartons de l"égalité2q2=p2et remplaçonsppar2p0. Cela donne2q2=4p02. Doncq2=2p02. Maintenant cela

entraîne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 diviseq.

Nous avons prouvé que2divise à la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont premiers entre

eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse :p2 n"est pas un nombre rationnel.

Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l"absurde.

Autre démonstration.Par l"absurde, supposonsp2=pq , doncqp2=p2N. Considérons l"ensemble

N=n2Njnp22N.

Cet ensemble n"est pas vide car on vient de voir queqp2=p2Ndoncq2 N. AinsiNest une partie non vide deN,

elle admet donc un plus petit élémentn0=minN.

Posons

n

1=n0p2n0=n0(p21),

il découle de cette dernière égalité et de 1Montrer quep10=2Q. On représente souvent les nombres réels sur une " droite numérique » :321012345ep2

Il est bon de connaître les premières décimales de certains réelsp2'1,4142...'3,14159265...e'2,718...

Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique.Définition 1.

R=R[f1,1gMini-exercices.

1.

Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un

rationnel. Montrer que l"inverse d"un rationnel non nul est un rationnel. Qu"en est-il pour les irrationnels?

2. Écrire les nombres suivants sous forme d"une fraction : 0, 1212;0, 1212 !...; 78,33456456 !... 3.

Sachant

p2=2Q, montrer 23p2=2Q, 11p2 =2Q. 4.

NotonsDl"ensemble des nombres de la formea2

naveca2Zetn2N. Montrer que13 =2D. Trouverx2Dtel que 1234Montrer que p2p3 =2Q. 6.

Montrer que log 2=2Q(log2 est le logarithme décimal de 2 : c"est le nombre réel tel que 10log2=2).

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER4

2. Propriétés deR

2.1. Addition et multiplication

Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Poura,b,c2Ron a : a+b=b+a ab=ba

0+a=a1a=asia6=0

a+b=0()a=b ab=1()a=1b (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c) =ab+ac ab=0()(a=0 oub=0) On résume toutes ces propriétés en disant que :Propriété(R1).

(R,+,)est uncorps commutatif.2.2. Ordre surRNous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d"ordre est générale et nous allons définir cette notion sur un

ensemble quelconque. Cependant gardez à l"esprit que pour nousE=RetR=6.Définition 2.

SoitEun ensemble.

1. UnerelationRsurEest un sous-ensemble de l"ensemble produitEE. Pour(x,y)2EE, on dit quexest en relation avecyet on notexRypour dire que(x,y)2 R. 2.

Une relation Rest unerelation d"ordresi

Restréflexive: pour toutx2E,xRx,

Restantisymétrique: pour toutx,y2E,(xRyetyRx) =)x=y, Resttransitive: pour toutx,y,z2E,(xRyetyRz) =)xRz.Définition 3. Une relation d"ordreRsur un ensembleEesttotalesi pour toutx,y2Eon axRyouyRx. On dit aussi que (E,R)est unensemble totalement ordonné.Propriété(R2). La relation6surRest une relation d"ordre, et de plus, elle est totale.Nous avons donc : pour toutx2R,x6x, pour toutx,y2R, six6yety6xalorsx=y, pour toutx,y,z2Rsix6yety6zalorsx6z.

Remarque.

Pour(x,y)2R2on a par définition :

x6y()yx2R+ xLes opérations deRsont compatibles avec la relation d"ordre6au sens suivant, pour des réelsa,b,c,d:

(a6betc6d) =)a+c6b+d (a6betc>0) =)ac6bc (a6betc60) =)ac>bc.

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER5

On définit le maximum de deux réelsaetbpar : max(a,b) =¨asia>b bsib>a.

Exercice 2.

Comment définir max(a,b,c), max(a1,a2,...,an)? Et min(a,b)?

2.3. Propriété d"ArchimèdePropriété(R3, Propriété d"Archimède).

Restarchimédien, c"est-à-dire :

8x2R9n2Nn>x

" Pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x. »Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de définir la partie entière

d"un nombre réel :Proposition 3.

Soit x2R, ilexisteununiqueentier relatif, lapartie entièrenotée E(x), tel que :E(x)6x

E(2,853) =2,E() =3,E(3,5) =4.

E(x) =3()36x<4.

Remarque.

On note aussiE(x) = [x].

Voici le graphe de la fonction partie entièrex7!E(x):xy 1

01y=E(x)2,853E(2,853) =2

Pour la démonstration de la proposition

3 il y a deux choses à établir : d"abord qu"un tel entier E(x)existe et ensuite qu"il est unique.

Démonstration.

Existence.

Supposonsx>0, par la propriété d"Archimède (PropriétéR3) il existen2Ntel quen>x. L"ensemble

K=k2Njk6xest donc fini (car pour toutkdansK, on a06kxcarkmax+1=2K. Donckmax6xUnicité. Siket`sont deux entiers relatifs vérifiantk6xtransitiviték< `+1. En échangeant les rôles de`etk, on a aussi` il n"y a qu"un seul entier compris strictement entre`1 et`+1, c"est`. Ainsik=`.

LES NOMBRES RÉELS2. PROPRIÉTÉS DER6

Le casx<0 est similaire.Exemple 2.

Encadronsp10 et 1,1

1=12par deux entiers consécutifs.

•Nous savons32=9<10donc3=p3

210

donc 4=p4

2>p10. Conclusion : 3 =3.

On procède sur le même principe.112<1,10<212donc en passant à la racine12-ième (c"est-à-dire à la puissance

112
) on obtient : 1<1,11=12<2 et doncE1,11=12=1.

2.4. Valeur absolue

Pour un nombre réelx, on définit lavaleur absoluedexpar :jxj=¨xsix>0 xsix<0Voici le graphe de la fonctionx7! jxj:xy 1

01y=jxjProposition 4.

1.jxj>0;jxj=jxj;jxj>0()x6=0

2.px 2=jxj

3.jx yj=jxjjyj

4.Inégalité triangulairejx+yj6jxj+jyj5.Seconde inégalité triangulairejxjjyj6jxyjDémonstration des inégalités triangulaires.

jxj6x6jxjetjyj6y6jyj. En additionnant(jxj+jyj)6x+y6jxj+jyj, doncjx+yj6jxj+jyj.

Puisquex= (xy)+y,on a d"après la première inégalité :jxj=(xy)+y6jxyj+jyj. Doncjxjjyj6jxyj,

et en intervertissant les rôles dexety, on a aussijyj jxj6jyxj. Commejyxj=jxyjon a doncjxjjyj6jxyj.

Sur la droite numérique,jxyjreprésente la distance entre les réelsxety; en particulierjxjreprésente la distance

entre les réelsxet 0.0xyjxjjxyjjjj

De plus on a :

jxajLES NOMBRES RÉELS3. DENSITÉ DEQDANSR7

Exercice 3.

Soita2Rnf0getx2Rtel quejxaj

1.On munit l"ensembleP(R)des parties deRde la relationRdéfinie parARBsiAB. Montrer qu"il s"agit d"une

relation d"ordre. Est-elle totale? 2.

Soient x,ydeux réels. Montrer quejxj>jx+yjjyj.

3. Soient x1,...,xndes réels. Montrer quejx1++xnj6jx1j++jxnj. Dans quel cas a-t-on égalité? 4. Soient x,y>0 des réels. ComparerE(x+y)avecE(x)+E(y). ComparerE(xy)etE(x)E(y). 5.

Soit x>0 un réel. EncadrerE(x)x

. Quelle est la limite deE(x)x lorsquex!+1? 6. On notefxg=xE(x)lapartie fractionnairedex, de sorte quex=E(x)+fxg. Représenter les graphes des fonctionsx7!E(x),x7! fxg,x7!E(x)fxg.3. Densité deQdansR

3.1. IntervalleDéfinition 4.

Unintervalle deRest un sous-ensembleIdeRvérifiant la propriété :

8a,b2I8x2R(a6x6b=)x2I)Remarque.

Par définitionI=?est un intervalle.

I=Rest aussi un intervalle.Définition 5.

Unintervalle ouvertest un sous-ensemble deRde la forme]a,b[=x2Rjaéléments deR.

Même si cela semble évident il faut justifier qu"un intervalle ouvert est un intervalle (!). En effet soienta0,b0des

éléments de]a,b[etx2Rtel quea06x6b0. Alors on aaSoitaun réel,VRun sous-ensemble. On dit queVest unvoisinagedeas"il existe un intervalle ouvertItel

quea2IetIV.[][][] aI jVV

3.2. Densité

Théorème 1.

1.QestdensedansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une infinité de rationnels.

2.RnQest dense dansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une infinité d"irrationnels.Démonstration.

On commence par remarquer que tout intervalle ouvert non vide deRcontient un intervalle du type ]a,b[,a,b2R. On peut donc supposer queI=]a,b[par la suite.

LES NOMBRES RÉELS4. BORNE SUPÉRIEURE8

1.Tout intervalle contient un rationnel.

On commence par montrer l"affirmation :

8a,b2R(a

entierspetqvérifiantqa

un entierp. Il suffit pour cela que la longueurqbqa=q(ba)de l"intervalle dépasse strictement1, ce qui

équivaut àq>1ba.

Passons à la rédaction définitive. D"après la propriété d"Archimède (propriétéR3), il existe un entierqtel que

q>1ba. Commeba>0, on aq2N. Posonsp=E(aq)+1. Alorsp16aq6a, doncpq

6a+1q 2]a,b[. On a montré l"affirmation (3).

2.Tout intervalle contient un irrationnel.

Partant dea,bréels tels quea On en déduit qu"il existe un rationnelrdans l"intervalle]ap2,bp2[et par translationr+p22]a,b[. Or

r+p2est irrationnel, car sinon comme les rationnels sont stables par somme,p2=r+r+p2serait rationnel, ce

qui est faux d"après la proposition 2 . On a donc montré que sia3.Tout intervalle contient une infinité de rationnels et d"irrationnels.

On va déduire de l"existence d"un rationnel et d"un irrationnel dans tout intervalle]a,b[le fait qu"il existe une

infinité de chaque dans un tel intervalle ouvert. En effet pour un entierN>1, on considère l"ensemble deN

sous-intervalles ouverts disjoints deux à deux : a,a+baN a+baN ,a+2(ba)N a+(N1)(ba)N ,b"

Chaque sous-intervalle contient un rationnel et un irrationnel, donc]a,b[contient (au moins)Nrationnels etN

irrationnels. Comme ceci est vrai pour tout entierN>1, l"intervalle ouvert]a,b[contient alors une infinité de

rationnels et une infinité d"irrationnels.Mini-exercices. 1.

Montrer qu"une intersection d"intervalles est un intervalle. Qu"en est-il pour une réunion? Trouver une condition

nécessaire et suffisante afin que la réunion de deux intervalles soit un intervalle.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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