[PDF] ECE3 2011-2012 : Un an de maths

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ECE3 2011-2012 : Un an de maths

Guillaume LAFON

10 juillet 2012

ii

Table des matières

Last but not leastxv

I Cours1

1 Calcul; logique5

1.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Fonctions usuelles 9

2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Monotonie et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.3 Logarithmes et exponentielles de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2 Puissances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.3 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Valeur absolue, partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Récurrence; sommes, produits 19

3.1 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Sommes : notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.4 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii ivTABLE DES MATIÈRES

4 Suites classiques 25

4.1 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Quelques suites à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Ensembles et applications 31

5.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Convergence de suites 37

6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.1 Limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2 Propriétés principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.2 Limites de suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Équivalents et négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Dénombrement47

7.1 Cardinaux d"ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Listes, arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 Séries55

8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.3 Séries classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Systèmes linéaires 61

9.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10 Limites, continuité 67

10.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.1.2 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.1.3 Négligeabilité, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.1.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.1.5 Branches paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.1.6 Propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2.2 Théorème des valeurs intermédiaires et applications . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATIÈRESv

11 Fonctions à deux variables 75

11.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.2 Exemples de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12 Probabilités, généralités 83

12.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.1.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12.1.3 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12.1.4 Lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.2.2 Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.3.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.4 Indépendance d"événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

13 Matrices91

13.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

13.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

13.2.1 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

13.2.2 Produit d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.3 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

14 Dérivation99

14.1 Définitions et formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.1.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

14.1.3 Dérivées de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

14.2 Dérivées successives; convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14.2.1 Fonctions de classeCketDk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14.2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

14.3 Inégalité des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.3.2 Application à l"étude des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14.3.3 Application à l"étude de suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

15 Variables aléatoires finies 113

15.1 Variables aléatoires finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.1.1 Définition, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.1.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

15.1.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

15.1.4 Moments d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

15.2 Lois usuelles finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

15.2.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

15.2.3 Loi binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

15.2.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

viTABLE DES MATIÈRES

16 Inversion de matrices 123

16.1 Inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

16.2 Lien entre matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16.3 Pivot de Gauss sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

16.4 Diagonalisation de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

17 Intégration131

17.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

17.1.1 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

17.1.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

17.1.3 Définition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

17.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

17.3 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

17.3.1 Intégration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

17.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

17.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

17.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17.4.1 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17.4.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

18 Variables aléatoires infinies 141

18.1 Compléments de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

18.2 Variables infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

18.2.1 Définition, opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

18.2.2 Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

18.2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

18.2.4 Moments d"une variable aléatoire infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

18.3 Lois usuelles infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

18.3.1 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

18.3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

19 Couples de variables aléatoires 147

19.1 Loi d"un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

19.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

20 Polynômes153

20.1 Définitions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

20.2.1 Algorithme naïf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

20.3 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

21 Espaces vectoriels 159

21.1 Espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

21.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

21.3 Application linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

21.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

21.3.2 Noyau, image d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

21.3.3 Aspect matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

TABLE DES MATIÈRESvii

II Fiches-méthode 171

Suites174

Dénombrement175

Séries176

Probabilités177

Dérivation178

Variables aléatoires 180

Matrices181

Intégration182

Espaces vectoriels 183

III Exercices 185

Calcul et Logique 188

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Fonctions usuelles 193

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Récurrence, sommes et produits 209

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Révisions DS1217

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Suites classiques222

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Ensembles et applications 229

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Révisions DS2238

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Convergence de suites 243

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Dénombrement258

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Révisions DS3266

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Séries273

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

viiiTABLE DES MATIÈRES

Problème coefficients binomiaux 282

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Systèmes285

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Limites, continuité 293

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Fonctions à deux variables 305

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Complément sur les fonctions 314

Probabilités321

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Révisions DS5335

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Matrices337

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Révisions DS6345

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Dérivation, convexité 348

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

Suites récurrentes 369

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Variables aléatoires discrètes 377

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Lois usuelles386

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Révisions DS7394

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Inversion de matrices 399

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Intégration410

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Préparation CB : Analyse 420

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Préparation CB : Probabilités 428

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Variables aléatoires finies 438

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

TABLE DES MATIÈRESix

Révisions DS10443

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

ESSEC 2008446

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Couples de variables aléatoires 451

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

ESSEC 98, partie II 460

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Polynômes465

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

Best Of Ecricome 472

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Espaces Vectoriels 481

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Devoirs de vacances 493

IV Devoirs 499

QCM de rentrée502

QCM : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Devoir Surveillé n°1 507

DS1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Devoir Surveillé n°2 513

DS2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

Devoir Surveillé n°3 520

DS3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

Concours Blanc n°1 529

CB1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Devoir Surveillé n°5 536

DS5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

Devoir Surveillé n°6 542

DS6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Devoir Surveillé n°7 550

DS7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Concours Blanc n°2 - Probabilités 559

CB2 - Probabilités : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

Concours Blanc n°2 - Analyse 569

CB2 - Analyse : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

xTABLE DES MATIÈRES

Devoir Surveillé n°10 577

DS10 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

Devoir Maison n°1 581

DM1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

Devoir Maison n°2 587

DM2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

Devoir Maison n°3 594

DM3 : Aide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

DM3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

Devoir Maison n°4 602

DM4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

Devoir Maison n°5 608

DM5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

Interrogation Écrite n°1 614

IE1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Interrogation Écrite n°2 616

IE2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

Interrogation Écrite n°3 618

IE3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Interrogation Écrite n°4 620

IE4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

Interrogation Écrite n°5 622

IE5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

Interrogation Écrite n°6 625

IE6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

Interrogation Écrite n°7 627

IE7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

V Colles629

Colloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

Programme semaine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Programme semaine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Programme semaine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Programme semaine 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 Programme semaine 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Programme semaine 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 Programme semaine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 Programme semaine 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Programme semaine 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Programme semaine 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Programme semaines 13 et 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

TABLE DES MATIÈRESxi

Programme semaine 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 Programme semaine 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Programme semaine 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Programme semaine 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Programme semaine 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 Programme semaine 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 Programme semaine 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Programme semaine 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Programme semaine 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 Programme semaine 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Programme semaine 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 Programme semaine 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Programme semaine 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Programme semaine 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 Programme semaine 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 Programme semaine 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

VI Informatique 663

TD1 : Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

TD2 : Instructions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

TD3 : Instructions répétitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

TD4 : Instructions répétitives (exercices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

TD5 : Boucles REPEAT et WHILE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

TD6 : Boucles REPEAT et WHILE (exercices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

TD7 : Révisions sur les boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

TD8 : Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

TD9 : Jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

TD10 : Exercices sur les tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

TD11 : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

TD12 : Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

TD13 : Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

TD14 : Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

TD15 : Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

TD16 : Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

xiiTABLE DES MATIÈRES

TD17 : Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

TD18 : Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

TD19 : Variables infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

A Trombinoscope 733

B Pique-nique de fin d"année 739

Last but not least

xiii

TABLE DES MATIÈRESxv

Vous en rêviez tous depuis des mois, ça y est, le bilan final de votre année de mathématiques en

ECE3 est enfin prêt. Ah ouais, quand même, 12 juillet, il serait peut-être temps. Pour justifier ce

retard absolument honteux, je vous laisse le choix entre les explications suivantes : le prof est encore plus flemmard que (insérer ici le nom du camarade de votre choix dans la

classe, dont vous vous êtes dit à chaque fois que je rendais un devoir " Mais c"est pas possible

qu"il/elle ait encore douze points de plus que moi en en ayant glandé dix fois moins, la vie est injuste! »), il a mis deux semaines à se remettre au boulot après le pique-nique.

le prof est moins organisé que toute la classe d"ECE3 réunie, et avait paumé la moitié des

documents distribués tout au long de l"année, il a du tout retaper.

c"est totalement calculé, pour que vous ayez votre bilan au soir des résultats d"admission d"HEC

(ça y est, j"ai une ancienne élève qui a intégré, je peux partir tranquille, je n"aurai pas à prier

un an de plus pour que vous sauviez mon honneur).

j"ai cumulé le total de jours de retard dans vos remises de DM et je me les suis autorisés pour

ce bilan. Bon, euh, je vous le donne en 2050? Bon, peu importe la raison, il est tout beau, tout complet (fautes de frappe comprises), et vous

le récupérerez un jour ou l"autre, une fois revenu de votre stage d"analyste financier chez Lazard (où

vous vous rendrez compte que les traders les plus expérimentés ne savent pas non plus simplifier une

fraction) ou de votre voyage d"un mois en Chine (ou vous constaterez que vous connaissez beaucoup

mieux que le pékin moyen la politique économique chinoise pendant les années 70). Ce document

recense, comme il se doit, tout ce qu"on a fait ensemble cette année, avec de tout petits bonus

éparpillés par-ci par-là.

Ce bilan est tout de même pour moi un peu particulier, puisqu"il clôt définitivement ma petite

aventure carnotine, trois années seulement passées au sein de cette chère ECE3, mais trois années

que je n"oublierai sûrement jamais puisqu"il s"agissait de mon premier poste fixe d"enseignant en

classes préparatoires. Cette dernière année fut, par bien des aspects, différente des deux précédentes,

et relativement éprouvante. Je vous rassure tout de suite, ça n"a rien à voir avec vous, vous avez

été une classe tout à fait agréable et motivée tout au long de l"année (enfin, presque; comme tous

les élèves qui sont passés par la case prépa, vous avez eu des périodes plus délicates, mais si c"est

encore nécessaire, je peux vous assurer que je suis très satisfait du chemin que nous avons parcouru

ensemble au long de cette année scolaire).

Non, les difficultés ont été surtout extérieures. Je vous épargne mes petits soucis de santé (j"ai

horreur d"être absent, mais à vouloir venir vous faire cours avec40° de fièvre, j"ai juste réussi à

rater l"un de mes deux seuls conseils de classe de l"année, c"est pas malin) et les difficultés que peut

représenter la présence d"un bambin de deux ans à la maison (vous verrez, un jour, que les années de

prépa ne sont pas si fatiguantes que ça), pour me concentrer sur deux soucis plus majeurs. Premier

point, le déménagement vers le nouveau bâtiment qu"on nous faisait miroiter depuis fort longtemps

n"a pas été aussi satisfaisant que prévu. De soucis matériels en réunions complètement inefficaces

(notre cher chef d"établissement est un champion de l"organisation de réunions dont l"unique but

xviTABLE DES MATIÈRES

semble être de fixer la date de la réunion suivante), tout est loin d"être réglé et vous avez été,

évidemment, les premiers à souffrir de la situation et notamment de la chaleur accablante régnant

dans les salles par beau temps. Je ne cesse de le dire à qui veut l"entendre, pour un élève de prépa, le

confort est un paramètre extrêmement important, on ne peut pas dire que Carnot vous ait gâtés de

ce point de vue. Heureusement, la merveilleuse ambiance de classe a compensé largement ces soucis.

Tout de même, il y eût un autre gros détail sur lequel je ne peux pas ne pas m"attarder dans ce

bilan, ce que je nommerai un peu ironiquement peut-être " l"affaire Soria ». Je n"avais évidemment

jamais eu à traiter un tel cas lors de ma petite carrière en tant qu"enseignant, et je crois que la seule

conclusion que nous pouvons tirer de cette histoire en fin d"année, c"est le triste constat que notre

institution est totalement incapable de proposer des solutions (je ne parle même pas de solutions

efficaces, mais de solutions tout court) à certains problèmes. Je crains qu"il n"y ait pas que dans ce

domaine qu"il y ait beaucoup de boulot à faire au sein de l"Education Nationale, mais profitez-en,

vous bénéficiez encore d"un système qui tourne vaguement correctement, et les classes préparatoires

restent un îlot privilégié où l"investissement des élèves et (en général) des professeurs compensent

bien des faiblesses. Pour combien de temps? L"avenir nous le dira...

Mais cessons donc de jouer les oiseaux de mauvais augure, et essayons plutôt de garder en tête les

bons moments qui ont parsemé cette année, entre une démonstration incompréhensible, un exercice

où seul le prof a compris ce qui se passait après la première question, un DS " beaucoup trop

long, Monsieur! » et une colle inoubliable avec Monsieur Connétable. Euh, oui, donc, euh, les bons

moments, euh, est-ce qu"on peut compter les blagues pourries du prof comme bons moments? Non?

Bon, euh, je vais retourner chercher alors...Plus sérieusement, si l"on peut dire, je ne tenterai pas

de faire une liste de nos meilleurs cours de maths de l"année, chacun ses souvenirs, j"espère que

vous en avez tous quelques bons à caser dans un coin de votre mémoire, et je peux vous rassurer,

on a tendance quelques années après à oublier les pires. En ce qui me concerne, en tout cas, j"en

garderai beaucoup de vous, à commencer par les remarques d"Alexis, dont personne n"a réussi à nier

au moment d"étudier son cas en fin d"année qu"il était quand même bien sympathique, malgré ses

horribles défauts. Je n"oublie évidemment pas tous les autres élèves de la classe, qui chacun à leur

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