Intégration : intégration par parties et changement de variables PDF

Calculs dintégrales

Exercice 6. Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx. 2. ? 1 xlnx dx. 3.

Intégration : intégration par parties et changement de variables

ex cos(x)dx = ecos(1) ? 1 + esin(1). 2. Exercice 3. Changement de variables. A l'aide d'un changement de variables calculer les intégrales suivantes.

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généraliséesNotations et définitions -1Aindique que1A(x) = 1six?Aet0sinon avecAun sous-ensemble deR. Soit fune fonction localement intégrable sur un intervalle[a,b[. On noteF(x) =?x af(t)dt. On dit que?b af(x)dxexiste silimx→bF(x)existe et on a?b af(x)dx= lim x→bF(x)-F(a). Intégration : intégration par parties et changement de variables

Exercice 1.Intégrations par partie

Calculer à l"aide d"intégrations par partie les intégrales classiques suivantes, en ayant auparavant justifié que la fonctionfsous l"intégrale est bien intégrable sur l"intervalle concerné. 1.

P ourI1on intégree-xet on dérivex

I 1=? 1

0xe-xdx

?-xe-x?1 0-? 1

0-e-xdx=-e-1+?

0e-xdx

=-e-1+?-e-x?1 0 =e-1-e-1+ 1 =-2e-1+ 1 2.

On in tégrex2et on dériveln(x)

I 2=? 2

1x2ln(x)dx

?x33 ln(x)? 2 1 2 1x 33
1x dx=8ln(2)3 2 1x 23
dx

8ln(2)3

-?x39 2 1

8ln(2)3

-89 +19 =8ln(2)3 -79 1

3.P ourI2on intégrecos(3x)et on dérivex

I 3=? 1

0xcos(3x)dx

?sin(3x)x3 1 0 1

0sin(3x)3

dx sin(3)3 -?-cos(3x)9 1 0 sin(3)3 +cos(3)9 -19 4.

P ourI4on intégre1⎷x

et on dériveln(x) I 4=? 2

1ln(x)⎷x

dx ?2⎷xln(x)? 2 1-? 2

12⎷x

x dx = 2ln(2) ⎷2-?4⎷x 2 1 = 2ln(2)⎷2-4⎷2 + 4 5.

P ourI5on intégre1et on dérivearctan(x)

I 5=? 1

0arctan(x)dx

= [xarctan(x)]1 0-? 1

0x1 +x2dx

π4 +?ln(1 +x2)2 1 0 π4quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

[PDF] Intégration : intégration par parties et changement de variables

Exercice 1.Intégrations par partie

P ourI1on intégree-xet on dérivex

0xe-xdx

0-e-xdx=-e-1+?

0e-xdx

On in tégrex2et on dériveln(x)

1x2ln(x)dx

8ln(2)3

8ln(2)3

3.P ourI2on intégrecos(3x)et on dérivex

0xcos(3x)dx

0sin(3x)3

P ourI4on intégre1⎷x

1ln(x)⎷x

12⎷x

P ourI5on intégre1et on dérivearctan(x)

0arctan(x)dx

0x1 +x2dx