Exercices sur lintégration. Changement de variables intégration par PDF

Calculs dintégrales

Exercice 6. Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx. 2. ? 1 xlnx dx. 3.

Intégration : intégration par parties et changement de variables

ex cos(x)dx = ecos(1) ? 1 + esin(1). 2. Exercice 3. Changement de variables. A l'aide d'un changement de variables calculer les intégrales suivantes.

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Chapitre 11 Exemples de calculs dintégrales.

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1.2 Exercices . 2.3 Intégrales des fonctions étagées mesurables positives. ... (b) changement de variable : t = log(z) z = et

Exo7 - Exercices de mathématiques

2 Calculs de primitives Exercice 5 Calculer les primitives suivantes par intégration par parties 1 R x2 lnxdx 2 R xarctanxdx 3 R lnxdx puis R (lnx)2 dx 4 R cosxexpxdx Indication H Correction H Vidéo [006864] Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable 1 R (cosx)1234 sinxdx 2 R 1 xlnx dx 3 R 1 3+exp( x) dx

Intégration par parties - Changements de variable - Gecifnet

Exercices - Calcul d’intégrales: corrigé Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives-L1/Math Sup-?? 1 Lafonction x7?lnx x estdé?nieetcontinuesur ]0+?[intervallesurlequeloncherche àcalculeruneprimitive Pourcelaonfaitlechangementdevariables u= lnxdesorte quedu= dx x etontrouve Z lnx x dx = Z udu = 1 2 u2 +C

2012/2013 Semestre de printemps

Université Lyon I Calcul différentiel et intégralExercices sur l"intégration. Changement de variables, intégration par parties, primitives... Exercice 1.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Z x 0 f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :

1.Fest continue surR.

2.Fest dérivable surRde dérivéef.

3. Sifest croissante surRalorsFest croissante surR.

4. Sifest positive surRalorsFest positive surR.

5. Sifest positive surRalorsFest croissante surR.

6. SifestT-périodique surRalorsFestT-périodique surR.

7. Sifest paire alorsFest impaire.

Exercice 2.CalculerZ

1 0 ln(1 +x2)dx. Exercice 3.Calculer les primitives suivantes (et donner les intervalles de définition) : Zdxx

2+ 5;Zdxpx

25;Z
e xsin(ex)dx;Z (tan(x))3dx;Z1(tan(x))3dx;Zlnxx dx : Exercice 4.En utilisant le changement de variablesu=pe x1, calculerI=Z ln2 0pe x1dx.

Exercice 5.Calculer les primitives suivantes :

Z e xcosxdx;Zlnxx ndx n2N;Z xarctan(x)dx;Z (x2+x+ 1)exdx:

Exercice 6.Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire l"intervalle de validité des calculs :

Z (cosxcos2x+ sinxsin3x)dx;Z cosxsin4xdx;Z sin

4xdx;Z

2xsh2xdx :

Exercice 7.Décomposer les fractions rationnelles suivantes; en calculer les primitives. 1a

2+x2;x3x

24;4x(x2)2;1x

2+x+ 1;1(t2+ 2t1)2;3t+ 1t

22t+ 10:1(1 +x2)2;1t

3+ 1: x

3+ 2(x+ 1)2;x+ 1x(x2)2;(x21)(x3+ 3)2x+ 2x2;x2(x2+ 3)3(x+ 1);x7+x34x1x(x2+ 1)2;3x49x3+ 12x211x+ 7(x1)3(x2+ 1)

Exercice 8.Calculer les intégrales suivantes :

Z 1

0arctanx1 +x2dx;Z

2 12 1 +1x 2 arctanxdx;Z 2

0xsinxdx;Z

1(arccosx)2dx;Z

01(1 +x2)2dx :

Exercice 9.Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes. Z 1 0dxx

2+ 2;Z

1=2

1=2dx1x2;Z

22x+ 1x

2+x3dx;Z

2 0xdxx

4+ 16;Z

0 2dxx

37x+ 6:

Exercice 10.Donner les intervalles de définition, et calculer les primitives suivantes :

Zcos3xsin

5xdx;Zsin3x1 + cosxdx;Zdxcos

4x+ sin4x;Zcosx1 + sin2xdx;Zdxsin(x);

Z dx7 + tan(x);Zdxx+px1;Zdxx px

2+x+ 1;Zxp9 + 4x4dx :

Exercice 11.Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des

calculs : Z sin

8xcos3xdx;Z

cos

4xdx;Z12 + sinx+ cosxdx;Z1sinxdx;Z3sinx2cosx+ 3tanxdx

Exercice 12.SoientI=Z

0 xcos2xdxetJ=Z 0 xsin2xdx.

1. CalculerIetI+J.

2. En déduireJ.

Exercice 13.Soientuetvdeux fonctions dérivables surRetfune fonction continue surR.

1. On poseF(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt. Montrer queFest dérivable surRet calculer sa dérivée.

2. Calculer la dérivée deG(x) =Z

2x xdt1 +t2+t4. Exercice 14.Soienta < bdeux réels etfune fonction continue surRvérifiantf(a+bx) =f(x) pour toutx. CalculerZ b aquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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