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toute assurance car il n'y a pas déplacement du risque d'une partie - assuré - sur l'autre - assureur - Il y a plutôt prise en charge par l'assureur.
Assurances et probabilités
12 avr. 2007 Prime pure 1. Soit S la charge totale de sinistre relative à une police donnée au cours d'une période d'assurance. Ch. Suquet (Lille 1).
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assurance automobile 137 2 Tarification et certificat d’assurance automobile 139 25 Le contrat d’assurance automobile : la mise en œuvre des garanties 144 1 La déclaration de sinistre 144 2 L’indemnisation de la perte de véhicule 148 26 Le contrat d’assurance automobile : le cas particulier des flottes 150
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Assurances et probabilités
Charles SUQUET
http://math.univ-lille1.fr/~suquetU.S.T.L. Lille 1 & CNRS UMR 852412 avril 2007
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 1 / 23Contenu
1Notions basiques
2Modèle individuel et modèle collectif
3Probabilité de ruine
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 2 / 23 Bases M.Denuit, A.Charpentier,Mathématiques de l"assurance non vie,tome 1 : Principes fondamentaux de théorie du risque. Economica2004.C.Partrat, J.-L.Besson,Assurance non-vie, modélisation,
simulation. Assurance Audit Actuariat, Economica 2005.Police d"assurance.Prime (premium).
Mutualisation (compensation stochastique).
Moyens d"améliorer la solvabilité.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 3 / 23 BasesPolice d"assurance.
Prime (premium).
Mutualisation (compensation stochastique).
Moyens d"améliorer la solvabilité.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 3 / 23 BasesPolice d"assurance.
Prime (premium).
Mutualisation (compensation stochastique).
Moyens d"améliorer la solvabilité.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 3 / 23 BasesPolice d"assurance.
Prime (premium).
Mutualisation (compensation stochastique).
Moyens d"améliorer la solvabilité.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 3 / 23Prime pure 1
SoitSla charge totale de sinistre relative à une police donnée au coursd"une période d"assurance.L"opération d"assurance substitue une constantecà la variable aléatoireS.
Comment déterminerc?d
2(S,c)2=E(S-c)2= (ES-c)2+VarS,
doncd2(S,c)est minimal pourc=ES.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 4 / 23
Prime pure 1
SoitSla charge totale de sinistre relative à une police donnée au coursd"une période d"assurance.L"opération d"assurance substitue une constantecà la variable aléatoireS.
Comment déterminerc?d
2(S,c)2=E(S-c)2= (ES-c)2+VarS,
doncd2(S,c)est minimal pourc=ES.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 4 / 23
Prime pure 1
SoitSla charge totale de sinistre relative à une police donnée au coursd"une période d"assurance.L"opération d"assurance substitue une constantecà la variable aléatoireS.
Comment déterminerc?On cherchec" proche » deSen introduisant une distance pénalisant symétriquement{c2(S,c)2:=E(S-c)2.d
2(S,c)2=E(S-c)2= (ES-c)2+VarS,
doncd2(S,c)est minimal pourc=ES.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 4 / 23
Prime pure 1
SoitSla charge totale de sinistre relative à une police donnée au coursd"une période d"assurance.L"opération d"assurance substitue une constantecà la variable aléatoireS.
Comment déterminerc?d
2(S,c)2=E(S-c)2= (ES-c)2+VarS,
doncd2(S,c)est minimal pourc=ES.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 4 / 23
Prime pure 1
SoitSla charge totale de sinistre relative à une police donnée au coursd"une période d"assurance.L"opération d"assurance substitue une constantecà la variable aléatoireS.
Comment déterminerc?d
2(S,c)2=E(S-c)2= (ES-c)2+VarS,
doncd2(S,c)est minimal pourc=ES.La distance d1(S,c) :=E|S-c|
est minimale pourc=médiane(S). Solution pas acceptable siP(S=0) est grand, par exemple en assurance automobile. Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 4 / 23Prime pure 2
Théorème (loi des grands nombres)
Supposons les montants de sinistres S
1,...,Snindépendants et de même
loi ayant une espérance communeESi=μ. NotonsS (n)la charge moyenne de sinistre par police. AlorsS (n)=1n n i=1Sip.s.----→n→+∞μ.Remarques.Résultat asymptotique (n" grand »).Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles).
Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille... Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 5 / 23Prime pure 2
Théorème (loi des grands nombres)
Supposons les montants de sinistres S
1,...,Snindépendants et de même
loi ayant une espérance communeESi=μ. NotonsS (n)la charge moyenne de sinistre par police. AlorsS (n)=1n n i=1Sip.s.----→n→+∞μ.Remarques.Résultat asymptotique (n" grand »).Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles).
Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille... Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 5 / 23Prime pure 2
Théorème (loi des grands nombres)
Supposons les montants de sinistres S
1,...,Snindépendants et de même
loi ayant une espérance communeESi=μ. NotonsS (n)la charge moyenne de sinistre par police. AlorsS (n)=1n n i=1Sip.s.----→n→+∞μ.Remarques.Résultat asymptotique (n" grand »).Indépendance (ne marche pas pour catastrophes naturelles).
Homogénéité des risques. Necessité de segmenter le portefeuille... Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 5 / 23Insuffisance de la prime pure
Définition (prime pure)
On appelle prime pure associée à un montant de sinistre aléatoire S pourune période d"assurance, la quantitéES.Cette prime sert de base au calcul de la prime commerciale effectivement
payée par l"assuré.Elle est insuffisante! En effet soit un portefeuille avec sinistresS1,...,Sni.i.d., tels que ES21<+∞et pour lequel la compagnie n"encaisserait que les primes puresμ=ESi. Le théorème limite central implique que la loi du résultat d"exploitationnμ-?n i=1Siest approximativement gaussienneN(0,nσ2), d"oùP(déficit) =P?
nμ-(S1+···+Sn)<0)?12 .Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 6 / 23Insuffisance de la prime pure
Définition (prime pure)
On appelle prime pure associée à un montant de sinistre aléatoire S pourune période d"assurance, la quantitéES.Cette prime sert de base au calcul de la prime commerciale effectivement
payée par l"assuré.Elle est insuffisante! En effet soit un portefeuille avec sinistresS1,...,Sni.i.d., tels que ES21<+∞et pour lequel la compagnie n"encaisserait que les primes puresμ=ESi. Le théorème limite central implique que la loi du résultat d"exploitationnμ-?n i=1Siest approximativement gaussienneN(0,nσ2), d"oùP(déficit) =P?
nμ-(S1+···+Sn)<0)?12 .Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 6 / 23Insuffisance de la prime pure 2
Si la compagnie encaisse par police une primep< μ, alorsP(déficit) =P(np-(S1+···+Sn)<0)
=P?⎷n (μ-S (n))<⎷n (μ-p)? ?Φ?⎷n (μ-p)? ?1.Amélioration de la solvabilité :Chargement de la prime pure (prime de risque).
Augmentation du nombre d"assurés.
Réserve de stabilisation.
Réassurance.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 7 / 23Insuffisance de la prime pure 2
Amélioration de la solvabilité :
Chargement de la prime pure (prime de risque).
Augmentation du nombre d"assurés.
Réserve de stabilisation.
Réassurance.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 7 / 23Insuffisance de la prime pure 2
Amélioration de la solvabilité :
Chargement de la prime pure (prime de risque).
Augmentation du nombre d"assurés.
Réserve de stabilisation.
Réassurance.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 7 / 23Insuffisance de la prime pure 2
Amélioration de la solvabilité :
Chargement de la prime pure (prime de risque).
Augmentation du nombre d"assurés.
Réserve de stabilisation.
Réassurance.
Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 7 / 23Prime de risque et solvabilité
La prime de risqueps"obtient parchargement(safety loading) de la prime pure.Chargement proportionnel :p= (1+η)ES. Avec le modèle i.i.d. ci-dessus, la probabilité de déficit devientP(déficit)?Φ?⎷n
(μ-p)?----→n→+∞Φ(-∞) =0.Chargement par l"écart-type :p=ES+βσ. A l"avantage de mieux
prendre en compte la " dangerosité du risque ».L"augmentation du nombre d"assurésnpeut autoriser un chargement
plus faible. Pb du marché concurrentiel.L"utilisation d"une réserve de stabilisation ou d"un capital initialKest
nécessaire (au moins la 1 reannée et de par la législation).P(déficit)?Φ?⎷n(μ-p)σ
-Kσ ⎷n Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 8 / 23Prime de risque et solvabilité
La prime de risqueps"obtient parchargement(safety loading) de la prime pure.Chargement proportionnel :p= (1+η)ES. Avec le modèle i.i.d. ci-dessus, la probabilité de déficit devientP(déficit)?Φ?⎷n
(μ-p)?----→n→+∞Φ(-∞) =0.Chargement par l"écart-type :p=ES+βσ. A l"avantage de mieux
prendre en compte la " dangerosité du risque ».L"augmentation du nombre d"assurésnpeut autoriser un chargement
plus faible. Pb du marché concurrentiel.L"utilisation d"une réserve de stabilisation ou d"un capital initialKest
nécessaire (au moins la 1 reannée et de par la législation).P(déficit)?Φ?⎷n(μ-p)σ
-Kσ ⎷n Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 8 / 23Prime de risque et solvabilité
La prime de risqueps"obtient parchargement(safety loading) de la prime pure.Chargement proportionnel :p= (1+η)ES. Avec le modèle i.i.d. ci-dessus, la probabilité de déficit devientP(déficit)?Φ?⎷n
(μ-p)?----→n→+∞Φ(-∞) =0.Chargement par l"écart-type :p=ES+βσ. A l"avantage de mieux
prendre en compte la " dangerosité du risque ».L"augmentation du nombre d"assurésnpeut autoriser un chargement
plus faible. Pb du marché concurrentiel.L"utilisation d"une réserve de stabilisation ou d"un capital initialKest
nécessaire (au moins la 1 reannée et de par la législation).P(déficit)?Φ?⎷n(μ-p)σ
-Kσ ⎷n Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 8 / 23Prime de risque et solvabilité
La prime de risqueps"obtient parchargement(safety loading) de la prime pure.Chargement proportionnel :p= (1+η)ES. Avec le modèle i.i.d. ci-dessus, la probabilité de déficit devientP(déficit)?Φ?⎷n
(μ-p)?----→n→+∞Φ(-∞) =0.Chargement par l"écart-type :p=ES+βσ. A l"avantage de mieux
prendre en compte la " dangerosité du risque ».L"augmentation du nombre d"assurésnpeut autoriser un chargement
plus faible. Pb du marché concurrentiel.L"utilisation d"une réserve de stabilisation ou d"un capital initialKest
nécessaire (au moins la 1 reannée et de par la législation).P(déficit)?Φ?⎷n(μ-p)σ
-Kσ ⎷n Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 8 / 23Lois des charges de sinistres
Les principales lois de probabilité utilisées pour modéliser le montant d"un sinistre (lorsqu"il y a sinistre) sont classées d"après le " poids » de la queue de distributionF(x) =P(X>x).PoidsLoiQueueF(x)EesXfini?Très légerWeib(τ,α),τ >1exp -?xατ?oui,?sLégerGam(ν,β)?
xβ νΓ(ν)tν-1e-βtdtoui?s< βIntermédiaireLognormaleP(eY>x),Y≂N(μ,σ)nonWeib(τ,α),τ <1non
LourdPar(θ,α),α >1?
θθ+x?
αnon
Lois des nombres de sinistres
Trois lois classiques modélisant le nombreNde sinistres :BinomialeBin(n,p):P(N=k) =Cknpk(1-p)n-k,EN=np, VarN=np(1-p). Au plus un sinistre par " petit »
intervalle de temps, indépendance des intervalles...PoissonPois(λ):P(N=k) =e-λλkk!,EN=VarN=λ. Loi des
évènements rares, modélise bien le nombre de sinistres d"une police individuelle.Binomiale négativeNBin(n,p):P(N=k) =Cnn+k-1pn(1-p)k,EN=n(1-p)p , VarN=n(1-p)p2>EN.La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d"un portefeuille en
raison de l"hétérogénéité des assurés (exemple RC automobile). Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 10 / 23Lois des nombres de sinistres
Trois lois classiques modélisant le nombreNde sinistres :BinomialeBin(n,p):P(N=k) =Cknpk(1-p)n-k,EN=np, VarN=np(1-p). Au plus un sinistre par " petit »
intervalle de temps, indépendance des intervalles...PoissonPois(λ):P(N=k) =e-λλkk!,EN=VarN=λ. Loi des
évènements rares, modélise bien le nombre de sinistres d"une police individuelle.Binomiale négativeNBin(n,p):P(N=k) =Cnn+k-1pn(1-p)k,EN=n(1-p)p , VarN=n(1-p)p2>EN.La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d"un portefeuille en
raison de l"hétérogénéité des assurés (exemple RC automobile). Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 10 / 23Lois des nombres de sinistres
Trois lois classiques modélisant le nombreNde sinistres :BinomialeBin(n,p):P(N=k) =Cknpk(1-p)n-k,EN=np, VarN=np(1-p). Au plus un sinistre par " petit »
intervalle de temps, indépendance des intervalles...PoissonPois(λ):P(N=k) =e-λλkk!,EN=VarN=λ. Loi des
évènements rares, modélise bien le nombre de sinistres d"une police individuelle.Binomiale négativeNBin(n,p):P(N=k) =Cnn+k-1pn(1-p)k,EN=n(1-p)p , VarN=n(1-p)p2>EN.La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d"un portefeuille en
raison de l"hétérogénéité des assurés (exemple RC automobile). Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 10 / 23Lois des nombres de sinistres
Trois lois classiques modélisant le nombreNde sinistres :BinomialeBin(n,p):P(N=k) =Cknpk(1-p)n-k,EN=np, VarN=np(1-p). Au plus un sinistre par " petit »
intervalle de temps, indépendance des intervalles...PoissonPois(λ):P(N=k) =e-λλkk!,EN=VarN=λ. Loi des
évènements rares, modélise bien le nombre de sinistres d"une police individuelle.Binomiale négativeNBin(n,p):P(N=k) =Cnn+k-1pn(1-p)k,EN=n(1-p)p , VarN=n(1-p)p2>EN.La loi de Poisson modélise mal le nombre de sinistres d"un portefeuille en
raison de l"hétérogénéité des assurés (exemple RC automobile). Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 10 / 23Lois de Poisson mélange
Pour tenir compte de l"hétérogénéité du portefeuille, on peut considérer que le nombre moyen de sinistres varie d"un assuré à l"autre. Il est alorsune v.a.λΘ, avecλconstante etEΘ =1.Définition (loiMPois(λ,Θ))N suit la loi de Poisson mélange de moyenneλet de niveau de risque
relatifΘ, oùΘest une v.a. positive etEΘ =1siP(N=k) =E?
exp(-λΘ)(λΘ)kk!? ,?k?N.On vérifie queEN=λet VarN=λ+λ2VarΘ>EN.Exemple.Le modèle " bons risques - mauvais risques », où le portefeuille
comporte deux types d"assurés, les " bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1)et les mauvais pour qui c"estPois(λθ2), avecθ1<1< θ2. En posantρ=P(Θ =θ1) =1-P(Θ =θ2), on aρθ1+ (1-ρ)θ2=1 etP(N=k) =ρe-λθ1(λθ1)kk!+ (1-ρ)e-λθ2(λθ2)kk!.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 11 / 23
Lois de Poisson mélange
Pour tenir compte de l"hétérogénéité du portefeuille, on peut considérer que le nombre moyen de sinistres varie d"un assuré à l"autre. Il est alorsune v.a.λΘ, avecλconstante etEΘ =1.Définition (loiMPois(λ,Θ))N suit la loi de Poisson mélange de moyenneλet de niveau de risque
relatifΘ, oùΘest une v.a. positive etEΘ =1siP(N=k) =E?
exp(-λΘ)(λΘ)kk!? ,?k?N.On vérifie queEN=λet VarN=λ+λ2VarΘ>EN.Exemple.Le modèle " bons risques - mauvais risques », où le portefeuille
comporte deux types d"assurés, les " bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1)et les mauvais pour qui c"estPois(λθ2), avecθ1<1< θ2. En posantρ=P(Θ =θ1) =1-P(Θ =θ2), on aρθ1+ (1-ρ)θ2=1 etP(N=k) =ρe-λθ1(λθ1)kk!+ (1-ρ)e-λθ2(λθ2)kk!.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 11 / 23
Lois de Poisson mélange
Définition (loiMPois(λ,Θ))N suit la loi de Poisson mélange de moyenneλet de niveau de risque
relatifΘ, oùΘest une v.a. positive etEΘ =1siP(N=k) =E?
exp(-λΘ)(λΘ)kk!? ,?k?N.On vérifie queEN=λet VarN=λ+λ2VarΘ>EN.Exemple.Le modèle " bons risques - mauvais risques », où le portefeuille
comporte deux types d"assurés, les " bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1)et les mauvais pour qui c"estPois(λθ2), avecθ1<1< θ2. En posantρ=P(Θ =θ1) =1-P(Θ =θ2), on aρθ1+ (1-ρ)θ2=1 etP(N=k) =ρe-λθ1(λθ1)kk!+ (1-ρ)e-λθ2(λθ2)kk!.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 11 / 23
Lois de Poisson mélange
Définition (loiMPois(λ,Θ))N suit la loi de Poisson mélange de moyenneλet de niveau de risque
relatifΘ, oùΘest une v.a. positive etEΘ =1siP(N=k) =E?
exp(-λΘ)(λΘ)kk!? ,?k?N.On vérifie queEN=λet VarN=λ+λ2VarΘ>EN.Exemple.Le modèle " bons risques - mauvais risques », où le portefeuille
comporte deux types d"assurés, les " bons » pour qui le nombre de sinistres suitPois(λθ1)et les mauvais pour qui c"estPois(λθ2), avecθ1<1< θ2. En posantρ=P(Θ =θ1) =1-P(Θ =θ2), on aρθ1+ (1-ρ)θ2=1 etP(N=k) =ρe-λθ1(λθ1)kk!+ (1-ρ)e-λθ2(λθ2)kk!.Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 11 / 23
Modèle individuel
Dans ce modèle, on noteSile montant cumulé(éventuellement nul) des sinistres payé auieassuré, pour la période d"assurance. La charge totale de sinistres pour un portefeuille denassurés est donc S ind=n? i=1S calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1-Gind(primes+capital), ou le capital initialà investir en fonction d"une probabilité de ruineεfixée...Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 12 / 23
Modèle individuel
Dans ce modèle, on noteSile montant cumulé(éventuellement nul) des sinistres payé auieassuré, pour la période d"assurance. La charge totale de sinistres pour un portefeuille denassurés est donc S ind=n? i=1S calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1-Gind(primes+capital), ou le capital initialà investir en fonction d"une probabilité de ruineεfixée...Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 12 / 23
Modèle individuel
Dans ce modèle, on noteSile montant cumulé(éventuellement nul) des sinistres payé auieassuré, pour la période d"assurance. La charge totale de sinistres pour un portefeuille denassurés est donc S ind=n? i=1S calculer en général. Sa connaissance donne la probabilité de ruine en fonction du capital initial : 1-Gind(primes+capital), ou le capital initialà investir en fonction d"une probabilité de ruineεfixée...Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 12 / 23
Modèle collectif
Dans ce modèle, on considère qu"il y a au cours de la période d"assurance un nombre aléatoireNde remboursements de sinistres, on noteXileie remboursement, sans tenir compte de l"assuré concerné. La charge totale de sinistre est donc S coll=N? i=1X i,on suppose de plus quelesXisont indépendantes et de même loi,(Xi)i≥1est indépendante deN(indépendance coûts-fréquence).On peut calculer facilement latransformée de LaplaceL
SdeS=Scollen
fonction de celle deX1et de la série génératrice?NdeN. LS(t) :=Eexp(-tS), ?N(u) :=E(uN).Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 13 / 23
Modèle collectif
Dans ce modèle, on considère qu"il y a au cours de la période d"assurance un nombre aléatoireNde remboursements de sinistres, on noteXileie remboursement, sans tenir compte de l"assuré concerné. La charge totale de sinistre est donc S coll=N? i=1X i,on suppose de plus quelesXisont indépendantes et de même loi,(Xi)i≥1est indépendante deN(indépendance coûts-fréquence).On peut calculer facilement latransformée de LaplaceL
SdeS=Scollen
fonction de celle deX1et de la série génératrice?NdeN. LS(t) :=Eexp(-tS), ?N(u) :=E(uN).Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 13 / 23
Modèle collectif
Dans ce modèle, on considère qu"il y a au cours de la période d"assurance un nombre aléatoireNde remboursements de sinistres, on noteXileie remboursement, sans tenir compte de l"assuré concerné. La charge totale de sinistre est donc S coll=N? i=1X i,on suppose de plus quelesXisont indépendantes et de même loi,(Xi)i≥1est indépendante deN(indépendance coûts-fréquence).On peut calculer facilement latransformée de LaplaceL
SdeS=Scollen
fonction de celle deX1et de la série génératrice?NdeN. LS(t) :=Eexp(-tS), ?N(u) :=E(uN).Ch. Suquet (Lille 1)Assurances et probabilités12 avril 2007 13 / 23
Calcul deLSL
S(t) =Eexp?
-tN? i=1X i? =E? k=0exp? -tN? i=1X i? 1 {N=k}? =E? k=0exp? -tk? i=1X i? 1 {N=k}? k=0E?quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] assurance sante pour francais a l'etranger
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