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Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"1

Induction électromagnétique

Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique

Objectifs:

Coe cients d'inductance propre L et mutuelle M

Bilan énergétique

1. Inductance propre

1.1. Dénition, notations

Un circuitliforme(C)parcouru par un courant d'intensitéicrée un champ magnétiqueBque l'on qualiedepropre,par

opposition au champ extérieur dont il n'est pas responsable mais dans lequel il peut-être plongé.

Le$uxde ce champ propre à travers le circuit qui l'a créé est appelé leux propre. (C)(S) dS B r

CommeBet doncsont proportionnels ài(loi de Biot Savart), le rapport/ine dépend plus du courant qui parcourt

le circuit et constitue donc une caractéristique intrinsèque de celui-ci ; on l'appelle l'inductance propre :

L= propre i S B.dS i Les unités du Système d'Unité Internationales sont :L: Henry, symboleH : Weber, symboleWb(1Wb=1T.m 2

Remarques :

1) L'inductance propreLest une grandeurtoujours positive.

2) L'inductance propreLdépend de la géométrie du circuit et des propriétés magnétiques du milieu dans lequel il est

plongé.

3) Il n'est pas nécessaire qu'un circuit soit parcoururéellementpar un courant pour calculer son inductance propre, il

su2t d'imaginer l'existence d'un courantiquelconque et calculer le$ux propre correspondant.

1.2. Exemple

i i l S

Nspires

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique2

On considère un solénoïde de longueurcomportantNspires régulières, supposées jointives, de sectionS.

Le champ magnétiqueBà l'intérieur du solénoïde (champ propre) est

B=µ

0 nie z 0 N ie z avece z vecteur unitaire de l'axe du solenoïde ;

Le$ux propre

propre est alors propre =N 0 =N(BS)=µ 0 N 2 S i L'inductance propreLdu solénoïde est alors : L= propre i=µ 0 N 2S i i=µ 0 N 2 S

Exercice n

01:Inductance propre d'un tore

h

Nspires

b a

On considère un tore (de rayons interneaet externeb) de section rectangulaire (hauteurh) comportantNspires. Déterminer

l'inductance propre

Ldu tore.

1.3. Loi d'Ohm aux bornes d'une portion de circuit présentant une inductance propre

La loi d'Ohm généralisée s'écrit

u AB =Ri AB e ABext e

ABpropre

La f.e.m. d'auto inductione

AB propre est donnée par la loi de Faraday :e AB propre d propre dt d(Li) dt

Si le circuit ne se déforme pas (bobine rigide) et si le milieu magnétique dans lequel il est plongé est linéaire (µ

r constante,

cette restriction exclue les matériaux ditsferromagnétiques), alors son inductance propre ne dépend pas du temps et :

e

ABpropre

=Ldi dtu AB =Ri AB e ABext +Ldi dt

Dans le cas où il n'y a pas de phénomène d'induction "externe" (le champ magnétique externe est nulle :

B ext =0)on obtient: u AB =Ri AB +L di dt L AB i R dtdiL AB i R

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique3

1.4. Energie magnétique

On étudie la réponse d'un solénoïde (longueurcomportantNspires de sectionS) de résistanceRet d'inductanceLàun

échelon de tension. Pour cela on l'alimente par un générateur parfait délivrant une tensionu. On suppose qu'il n'y a pas de

champ magnétique externe et que l'inductance propreLest constante ; on a donc u=Ri+Ldi dtavecu(t)=0t<0

E=cstet>0

i(t)=E R 1exp t avec=LR Pour faire un bilan énergétique on multiplie l'équation di;érentielle paridt u(idt)=Ri(idt)+Ldi dt(idt) uidt=Ri 2 dt+Lidi t 0 Eidt \b

énergie délivrée

par le générateur t 0 Ri 2 dt \b

énergie dissipée

par e;et Joule t 0 Lidi \b

énergie emmagasinée

par la bobine

Entre0ett

1 le solénoïde accumule uneénergie magnétiqueW B avec W B t=t 1 t=0 Lydy= y=i y=0

Lydy=1

2Li 2

Il reste à relier cette énergie à la densité volumique d'énergie électromagnétiquew=

0E 2 2 B 2 2µ 0 Le champ propre du solénoïde (considéré comme idéal) est : - nul à l'extérieur - égale ൠ0N ià l'intérieur l'énergie magnétique emmagasinée est donc w B .V=B 2 2 0

S=µ

0N i 2 2µ 0 S=1 2µ 0 N 2 S i 2 l'inductance propre du solénoïde estL=µ 0 N 2S

On a bienw

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