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DEVOIR ANALYSE COMPLEXE 1
par3M266Exercice 1. -Calculer les ra yonsde con vergencedes series entièr essuiv antes:
1. 1X k=0z 2k 2. X n0(1 +(1)nn )n2zn: Exercice 2. -1. Redémontrerque la fonctionf(z) =1z définie une fonction holo- morphe surC. 2. Calculer l"int égrale,où le cer cleunit éest orient épositiv ement,ZC(0;1)dzz
3.Soit a;b >0deux réels. On pose, pourt2[0;2],
(t) =acos(t) +ibsin(t):Géométriquement, que décrit le chemin
? Le tracer. 4.Justi fier que,Z
dzz =ZC(0;1)dzz
5.En dé duirela v aleurde l"int égrale,
Z 2 0dta2cos2(t) +b2sin2(t):
23M266
Exercice 3. -Soit f=P
n0anznune fonction entière. On suppose qu"il existeM >0 etm2Ntel que jf(z)j M(1 +jzjm);8z2C: 1. Donner un e xempled"une f onctionfvérifiant les hypothèses précédentes. 2. Exprimer les coe fficientsanen fonction des valeurs des dérivées def. 3.R appelerle théor èmede Cauch y.
4.Montr erque, pour t outR >0,
a n=12iZC(0;R)f(z)dzz
n+1:Indication : Montrer que
RC(0;R)dzz
k= 0pour toutk2. 5. En dé duireque fest un polynôme de degré au plusm.Exercice 4. -On pose f(z) =eiz1+z2.
1. T rouverle domaine de dé finition def. Sur quel ouvertUdeCest-elle holomorphe?Le justifier.
2.Justi fier que l"on peut écrire pour toutz2U,
f(z) =i2e(zi)+g(z); oùg(z)est une fonction holomorphe surCrfig.Indication : On pourra décomposer
11+z2en éléments simples.
3.On not eRle chemin suivant.Que vaut
ZRf(z)dz?
4.En dé duirela v aleurde l"int égrale
Z +11cos(x)1 +x2dx:3M266, Bureau 509, Tour 15-16, 4 Place Jussieu, 75005 ParisE-mail :valentin.hernandez@imj-prg.fr
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