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Sorbonne université 3ma266

Fonctions holomorphes d"une variable

Vincent Michel

24 août 2022

Résumé

Ce cours de troisième année aborde la théorie des fonctions holomorphes à une variable. Il con-

tient le programme de l"agrégation de mathématique mais s"étend peu au-delà. Il laisse de coté le

théorème de Montel et celui de représentation conforme de Riemann. Le lecteur désirant appro-

fondir ses connaissances peut consulter le livre que j"ai coécrit avec A. Iordan :Analyse complexe,

Fonctions holomorphes d"une variable, édition Dunod.

Les prérequis de ce cours contiennent les bases de la théorie des séries entières (rayon de conver-

gence), les théorèmes classiques d"intégration (interversionRet, convergence dominée, régu-

larité d"une intégrale à paramètre) ainsi que les bases de la topologie (compacité, connexité,

distance à un ensemble). L"appendice B donne certains détails nécessaires concernant des notions

de topologie peut être nouvelles pour le lecteur. L"appendice A.1 propose sommairement deux constructions deC.

La section 1 du chapitre 1 rappelle les propriétés de base deC. La section suivante introduit les

usuelle des fonctions d"une variable réelle et apparaît comme un cas particulier des fonctions tiable le fait d"être holomorphe sont formulées dans ce chapitre. La section 1.3 propose une construction de l"exponentielle complexe qui est l"une des fonctions les plus importantes des

mathématiques. Lors de cette construction, on dé...nit le nombrepar le fait que2iest la péri-

ode de l"exponentielle complexe. Le chapitre 1 se termine par l"étude des fonctions logarithmes

et arguments. Contrairement à l"exponentielle, le pluriel est ici de rigueur car il n"existe aucune

façon réellement naturelle de dé...nir surCune unique fonction fonction logarithme et argument.

Cette multiplicité est source de nombreuses di¢ cultés mais aussi de richesses. Le point clé du chapitre 2 est que toute fonction holomorphe est analytique. La formule de Cauchy

qui permet d"établir ce résultat est le pilier de l"analyse complexe. Pour énoncer cette formule,

on utilise la notion d"intégrale le long d"un chemin (ou intégrale curviligne) et la notion d"indice

qui de façon imagée compte le nombre de tours que fait un lacet autour d"un point. Ce chapitre contient aussi une caractérisation des fonctions holomorphes admettant une primitive. La lecture

de la section 4.1 consacrée à l"étude approfondie de la notion d"indice et la section 4.2 qui traite

résultats de ces deux sections ne sont utilisés que dans le chapitre 4.

Le chapitre 3 expose des propriétés des fonctions holomorphes qui participent à la beauté et

à la puissance de cette théorie : principe des zéros isolés, théorèmes de Liouville, Morera et

Riemann principe du maximum, théorème de Weierstrass sur la convergence uniforme des suites

de fonctions holomorphes, holomorphie d"une intégrale à paramètre, holomorphie des réciproques

d"applications holomorphes bijectives. Toutes ces propriétés résultent de la version élémentaire

de la formule de Cauchy établie avec le corollaire 2.17 de la section 2.2.

Le chapitre 4 traite des singularités isolées d"une fonction holomorphe et fait appel aux sections 4.1

et 4.2 du chapitre 2. Dans ce chapitre 4, on dresse le triptyques des singularités isolées, on établit

le théorème des résidus, le théorème des résidus logarithmiques, le théorème de Rouché (utile

en arithmétique) et le théorème de Hurwitz (qui montre que la convergence uniforme sur tout quelques exemples d"applications de calcul d"intégrales classiques.

Le texte de ce cours n"est pas libre de droit.

2

Table des matières

1 Fonctions holomorphes d"une variable complexe 2

1.1 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Le théorème de d"Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 ApplicationsR-linéaires et applicationsC-linéaires . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Fonctions holomorphes, dé...nition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Equations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Conservation des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 L"exponentielle et les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Arguments, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Dé...nitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Holomorphie des logarithmes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Théorie de Cauchy non homotopique 24

2.1 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Théorie de Cauchy pour un ouvert étoilé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Le théorème intégral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 La formule de Cauchy pour un disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3 Le théorème fondamental de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Propriétés fondamentales des fonctions holomorphes 38

3.1 Principes d"unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Théorèmes de Liouville, Morera et Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Suites, séries et intégrales de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Fonctions holomorphes et principes du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Biholomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Théorème de l"indice et théorie de Cauchy homotopique 52

4.1 Théorème de l"indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Théorie de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Homotopie et simple connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Théorème et formule de Cauchy homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Singularités isolées et théorème des résidus 63

5.1 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Classi...cation des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Théorèmes des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Théorème des résidus logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Résidus à l"in...ni* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3

5.6 Application au calcul d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6.2 Fractions rationnelles trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6.3 Intégrales de type Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A Constructions du plan complexe 78

A.1 Avis de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.2 Construction deCà partir deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A.3 Construction deCà partir deR[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B Familles sommables 81

C Eléments de Topologie 87

C.1 Espaces topologiques et espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 C.2 Complétude et compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 C.3 Exhaustion d"un ouvert par des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 C.4 Intérieur, adhérence, bord et points remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 C.5 Sous-groupes additifs deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 C.6 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 C.7 Homotopies et domaines simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

D Notations99

1

Chapitre 1

Fonctions holomorphes d"une variable

complexe Dans ce chapitre, on utilise a...n d"alléger les écritures la notationI=IdC;Iest donc la conjugaison.

1.1 Le plan complexe

1.1.1 Le théorème de d"Alembert-Gauss

L"idée des nombres complexes est apparue dans l"algèbre de Bombelli (1572) en rapport avec les formules dites de Tartaglia-Cardan (1545) pour les racines des polynômes de degré 3 mais une des motivations principales qui a mené aux nombres complexes est probablement une

question posée par Leibniz en 1702 : "Un polynôme non constant à coe¢ cients réels admet-

il une décomposition en produits de polynômes de degré 1 ou 2?» . Cette question a été de

nouveau considérée par Euler (1739,1743) pour formuler son principe fondamental des équations

a n1y(n1)++a0y(0)= 0sont de la formex7!P

16j6kP

j(x)erjxoùr1;:::;rksont les racines complexes deux à distinctes du polynôme caractéristiqueXn+an1Xn1++a0et où pour

16j6k,Pjest un polynôme à coe¢ cients complexes dont le degré est au plus la multiplicité de

r jdansP. En 1746, en étudiant les primitives des fonctions rationnelles, d"Alembert a répondu

positivement au problème de Leibnitz par le théorème fondamental de l"algèbre (Théorème 25)

mais la première preuve rigoureuse est due à Gauss en 1799. Des approches plus approfondies concernant le corps de nombres complexes ont été données ensuite par Wessel (1799), Buée (1806) et Argand (1806).

On considère comme connue

(1)la construction de l"ensembleCdes nombres complexes et nous énonçons sans démonstration des propriétés fondamentales deC:

1.(C;+;)est un corps dontRest un sous-corps.

2. Le polynômeX2+ 1admet dansCexactement deux racines qu"on noteieti.

3.Cest unR-espace vectoriel de dimension2dont(1;i)est une base. Pour toutz2C,

il existe donc un unique couple de réels noté(Rez;Imz)tel quez= Rez+iImz; les applicationsRe(partie réelle) etIm(partie imaginaire) sontR-linéaires. Dans la suite,C1 L"appendice A.1 propose deux façons de construireC. 2 etR2sont identi...és via l"isomorphisme deCdansR2,z7!(Rez;Imz)et on parle deC comme du plan ou du plan complexe.

4. L"application deCdansC,z7!z= ReziImzest appelée conjugaison. Elle véri...ezw=zwpour tousz;w2C.

5. Le module d"un nombre complexezest le réeljzj=(Rez)2+ (Imz)21=2. Le module est

la norme euclidienne duR-espace vectorielCassociée au produit scalaire réelh:;:idé...ni par

8z;2C;hz;i= RezRe+ ImzIm= Rez

L"égalité du parallélogramme s"écrit

8z;2C;jz+j2=jzj2+jj2+ 2hz;i=jzj2+jj2+ 2Rez

Le module véri...e l"inégalité triangulaire

8z;2C;jjzj jjj6jzj6jzj+jj:

et de plus

8z;2C;jz:j=jzj jj:

6. Pour toutz2C,z:z=jzj2. Ainsi,z1=z=jzj2lorsquez2C=Cnf0g.

7. Le théorème ci-dessous énonce le théorème fondamental de l"algèbre :Cest algébriquement

clos. La preuve (2)que nous en donnons est celle d"Argand. Elle repose sur l"existence pour tout nombre complexezet toutk2Nd"un nombre complexewtel quez=wk. Ce fait,

qui résulte de la surjectivité de l"exponentielle complexe, est prouvé dans le corollaire 1.30.

On laisse au lecteur le soin de véri...er que ce corollaire est établi sans faire appel au théorème de D"Alembert-Gauss. Théorème 1.1 (d"Alembert-Gauss)Un polynôme non constant à coe¢ cients complexes ad- met au moins une racine dansC. Preuve.SoitPun polynôme à coe¢ cients complexes de degrén2N. Il s"agit de prouver que le réelm= infCjPjest en fait une valeur dejPjet qu"il est nul. Puisquelimjzj!+1jP(z)j= +1, on peut ...xerdansR+tel quejP(z)j>jP(0)jlorsquejzj>. Ainsi,inf

CnD(0;)jPj>

jP(0)j>infD(0;)jPjetm= infD(0;)jPj.jPjétant continu,jPja un minimum sur le compactD(0;)et on peut se donner!2D(0;)tel quejP(!)j=m; en faitj!j< car sijzj=,

jP(z)j>jP(0)j>jP(!)j. Pour2C, on a donc m=jP(!)j6jP(+!)j(1.1) PuisquePest un polynôme,Ps"écritP(!) + (X!)kR(X!)aveck2NetR2C[X] ne s"annulant pas en0. Pour2C, on a doncP(+!) =P(!) +kR()et avec (1.1), on obtient m

26jP(+!)j2=P(!) +kR()2=m2+ 2ReP(!)kR()

+jj2kjR()j2 c"est à dire

062ReP(!)kR()

+jj2kjR()j2:2 Celle-ci peut être réservée à une seconde lecture. 3

Grâce au corollaire 1.30 qui, comme nous l"avons déjà mentionné, est prouvé indépendamment

du théorème de D"Alembert-Gauss, on peut choisir a prioride la formetoùt2R+etest une racinekemedeP(!)R(0). On obtient alors que pour toutt2R+,

06tkReP(!)kR(0)

+t2kjR(t)j2=tkjP(!)R(0)j2+tkjR(t)j2

ce qui, après simpli...cation par le réel est strictement positiftket passage à la limite quandt

tend vers0+, livre06jP(!)R(0)j2et donc queP(!) = 0puisqueR(0)6= 0.On peut maintenant répondre positivement à la question posée par Leibnitz.

Corollaire 1.2SiP2R[X]est de degrén2N,Panracines si on compte celles-ci avec leur multiplicité.

Preuve.Il su¢ t de faire une récurrence sur le degré dePcar(X)jPsiP() = 0.1.1.2 ApplicationsR-linéaires et applicationsC-linéaires

A...n d"alléger les écritures, on utilise désormais dans ce chapitre la notationI=IdC;Iest donc la conjugaison. NotonsLC(C)l"espace des applicationsC-linéaires deCdansCetLR(C) l"espace des applicationsR-linéaires deCdansC: L

C(C) =u2CC;8x;y2C;82C; u(x+y) =u(x) +u(y)

L

R(C) =u2CC;8x;y2C;82R; u(x+y) =u(x) +u(y)

Ainsi,LR(C)est unR-espace vectoriel etLC(C)est unC-espace vectoriel qui est aussi une partie deLR(C). Le lemme ci-dessous précise cette inclusion. Lemme 1.3LC(C)est un sous-espace vectoriel deLR(C)de dimension réelle2et(3) L

C(C) =fI;2Cg=CI

=f2CC;9a2C;8z2C,f(z) =az L

R(C) =CICI

=f2CC;9a;b2C;8z2C,f(z) =az+bz Preuve.PuisqueCest unC-espace vectoriel de dimension1(1en est une base), les éléments

deLC(C)sont les homothéties, ce qui se traduit par la première égalité. En particulier,LC(C)

est unR-espace vectoriel de dimension réelle2. L"inclusionLC(C) LR(C)est littéralement contenue dans les dé...nitions. De même,CI=I;2Cest aussi un sous-espace vectoriel deLR(C)de dimension réelle2. Sif2CI\CI, il existe;2Ctels queI=f=I, ce qui donnei=f(i) =iet=f(1) =et donc== 0puisf= 0. Ainsi,CIetCIsont en somme directe. Leur somme vautLR(C)cardimRCI+ dimRCIvaut4c"est à diredimLR(C) puisqueCétant unR-espace vectoriel de dimension2,dimLR(C) = 22= 4.3 Ceci contient le fait que(I;iI)est uneR-base duR-espace vectorielLR(C)et queIest uneC-base du

C-espace vectorielLC(C).

4

1.2 Fonctions holomorphes, dé...nition et premières pro-

priétés

1.2.1 Fonctions holomorphes

a2Us"il existeL2 LR(C)telle que f(a+h) =f(a) +L(h) +o(jhj)(1.2)

et que si une telle applicationR-linéaire existe, elle est unique et est notée(Df)a. En demandant

une applicationC-linéaireLtelle quef(a+h) =f(a) +L(h) +o(jhj). Si une telle application linéaires deCdansCsont les applications de la formeIavec2C, on voit tout de suite que f(a+h) =f(a) +h+o(jhj) et qu"un telexiste si et seulement siUnfag 3z7!f(z)f(a)zaa une limite dansClorsque z2Unfagtend versa. Autrement dit, nous avons établi le lemme suivant. la fonctionz7!f(z)f(a)zaa enaune limite dansC. Dans un tel cas, cette limite, notéef0(a), véri...e(Df)a=f0(a)I.

la notion de dérivation d"une fonction de la variable réelle. C"est pourquoi on peut aussi parler

deC-dérivabilité.

Dé...nition 1.6SoitUunouvertdeC.

Dans ce cas,f0est la fonction dé...nie surUparf0(a) = limz!af(z)f(a)zaet(Df)a=f0(a)Ipour touta2U. On noteO(U)l"ensemble des fonctions holomorphes surU. Sif:U!Cest une fonction quelconque, on dit queF:U!Cest une primitive holomorphe defsurUsiFest holomorphe etF0=f.

de reformuler le théorème des accroissements ...nis qui est l"un des piliers de l"analyse. Dans la

proposition ci-dessous,kf0k[z;w]= sup [z;w]jf0jest a priori un élément de[0;+1]. Cependant, il est établi dans ce cours qu"une fonction holomorphe est de classeC1; cette borne supérieure est donc ...nie. Proposition 1.7 (TAF)Soitfune fonction holomorphe sur un ouvertUdeCet[z;w]un segment deU. Alorsjf(z)f(w)j6jzwjkf0k[z;w]. 5

2[z;w]

(Df) Or, lorsque2U, la norme de l"application linéaire(Df)est donnée par la formule (Df) sup h2T (Df):h. Puisque d"après (1.6)(Df):h=f0()h, on obtient (Df) =jf0()jet donc

l"inégalité annoncée.Comme le montre la proposition ci-dessous, l"holomorphie est une notion compatible avec

les opérations usuelles sur les fonctions.

Proposition 1.8SoitUun ouvert deC

(a)(O(U);+;)est un anneau unitaire dont1U:U3z7!1est l"unité. De plus,(1U)0= 0 et pour tousf;g2 O(U),(fg)0=f0g+fg0. (b) Soientf:U!C,g:V!Cdes fonctions holomorphes,Vétant un ouvert deC contenantf(U). Alorsgfest holomorphe surUet(gf)0= (g0f)f0. (c) Soitf:U!Cune fonction holomorphe ne s"annulant pas. Alors1f est holomorphe sur Uet 1f 0=f0f 2.

Preuve.(a) Soientf;g2 O(U). Lorsquea2Uetz2Unfag,

(fg)(z)(fg)(a)za=g(z)f(z)f(a)za+f(a)g(z)g(a)za!z!ag(a)f0(a) +f(a)g0(a) Ainsifg2 O(U)et(fg)0=f0g+fg0. Il est clair que que la fonction constante1Uest élément neutre de(O(U);). Ceci su¢ t pour obtenir la conclusion du (a). (b) Dans les hypothèses de (b), on remarque que sia2U,b=g(a)eth2Cest assez petit f

0(a)h+o(h) =0o(1)et donc

(gf)(a+h) =g(b+f0(a)h+o(h)) =g(b) +g0(b)f0(a)h+o(f0(a)h+o(h)) =g(b) +g0(b)f0(a)h+o(h): Doncgf2 O(U)et(gf)0= (g0f)f0. On peut aussi retrouver cette formule grâce à la règle de la chaîne. Lorsquez2U, D(gf)z= (Dg)f(z)(Df)z=g0(f(z))If0(z)I=g0(f(z))f0(z)I et donc(gf)0(z) =D(gf)z:1 =g0(f(z))f0(z). (c) La fonctionj:C3z7!1z est holomorphe surCde dérivéej2car sia;b2Cet b6=a,j(b)j(a)ba=1ab !b!a; b6=a1a

2. L"assertion (c) résulte donc de (b) appliquée àjf.Il est à noter que l"assertion (b) implique en particulier que sifest holomorphe, bijective

et que sif1est holomorphe(4),(f1)0=1f 0f1. Formellement, la preuve de la proposition 1.8 est la même que celle concernant des ré-

sultats similaires pour des fonctions numériques d"une variable réelle. Ce n"est pas étonnant

puisque l"holomorphie peut être dé...nie à partir de l"existence de limites pour des "taux d"ac-

croissements» . Si cette similitude se prolonge avec le corollaire ci-dessous, les chapitres suivants

Corollaire 1.9Sifest une fonction rationnelle et siPest l"ensemble, éventuellement vide, de ses pôles,fest holomorphe surCnPet sa dérivée holomorphe est sa dérivée usuelle.4 Le théorème 3.31 établit que sifest holomorphe et bijective,f1est holomorphe. 6 Preuve.SoitP2C[X]un polynôme de degrén2Netf:C3z7!P(z). Lorsque a2C,P=P

06j6degPP

(j)(a)j!(Xa)jde sorte quef(z) =P(a) +P0(a)(za) +o(za), ce qui prouve quefest holomorphe et quef0est la fonction polynôme associée àP0. Le reste du

corollaire résulte de la proposition 1.8.Plus généralement, une somme de série entière est holomorphe sur son disque ouvert de

convergence. Avant de prouver ce théorème, on établit qu"une série entière et ses séries dérivées

ou primitives ont le même rayon de convergence.

Lemme 1.10SoitXc

nzn une série entière. Alors(P n>1ncnzn1)et(Pcnzn)ont le

même rayon de convergence. Plus généralement, pour toutk2N, les séries entièresPAkncnznk,

(P1A kn+kcnzn+k)et(Pcnzn)ont le même rayon de convergence. Preuve.Pourk2N, on notekle rayon de convergence dePAkncnzn. Lorsquer2]0;0[, (Pnjcnjrn1)converge car pours2]r;0[,(Pjcnjsn)converge et njcnjrn16r1nrs njcnjsn=+1o(jcnjsn) Ceci prouve quer61pour toutr2]0;0[et donc que061. L"inégalité inverse est aussi vraie car sir2]0;1[etn>1, jcnjrn=rn njcnjrn1=+1onjcnjrn1: et donc

Xjcnjrn

converge pour toutr < 1, ce qui prouve que0>1. Ainsi1=0. PuisquePAk+1ncnznk1est la série dérivée dePAkncnznk, ce qui précède montre que k+1=ket une récurrence immédiate donne quek=0pour toutk2N. En...n(Pcnzn)

étant la série dérivée d"ordrekde(P1A

kn+kcnzn+k), le lemme est prouvé(5).Le deuxième terme de la formule (1.3) du théorème ci-dessous est une intégrale curviligne.

Cette notion est formalisée et développée dans le chapitre cinq mais pour l"heure, le lecteur

peut prendre le terme de droite de (1.3) comme une dé...nition, dé...nition qui est naturelle si

considérantz=reicomme une fonction de, on dérive formellement cette expression pour obtenirdz=ireidet donc12if(z)z n+1dz=12rnfreieind.

Théorème 1.11SoientXc

nzn une série entière de rayon de convergenceR2]0;+1]et fsa somme, c"est à dire la fonction dé...nie pour toutz2 =D(0;R)parf(z) =P n2Nc nzn.

Alorsfadmet des dérivées holomorphes à tout ordre et celles-ci s"obtiennent par dérivation

terme à terme, ce qui signi...e que pour tout(k;z)2N,f(k)(z) =P n>kAkncnznk. En outre, pour toutn2Net toutr2]0;R[, c n=1n!f(n)(0) =12iZ

C(0;r)+f(z)z

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