Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
13 exercices corrigés ? p.155 Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ?a ? ?+ ... temps
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
Capes Externe 2004 Corrigé de lépreuve 1 avec remarques et
12 avr. 2004 1 Corrigé du probl`eme. 2. 2 Remarques et compléments ... 2.5 Sur l'inégalité de Bernoulli . ... dans M2 (R) (voir [7] exercice 7.1.).
EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17
(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ ?1 alors pour tout n entier naturel
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Raisonnement par récurrence : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Introduction Récurrence - inégalité de Bernoulli.
Chapitre 3: La démonstration par récurrence
(1 + x)n ? 1 + nx (Inégalité de Bernoulli). Jacques Bernoulli. 1654 – 1705. Exercice 3.13 : Démontrer que ?n?IN on a n ? 2n. Exercice 3.14
Feuille dexercices no 4
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PanaMaths Septembre 2013
L'inégalité de Bernoulli.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnxAnalyse
Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
nP : " 1; , 1 1
nxxnx »Initialisation
Pour1n, on a : 1; , 1 1
n xxx et1; , 1 1xnx x .
L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x
supérieur ou égal à 1. 1P est donc vraie.
Hérédité
Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose NP vraie. On suppose donc que
l'on a :1; , 1 1
N xxNx (hypothèse de récurrence).On veut montrer que
1NP, c'est-à-dire :
11; , 1 1 1
N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :111111
NN xNxxxNxxC'est-à-dire :
12 111N xNx N x
PanaMaths Septembre 2013
Comme 20Nx, il vient
211 11NxNx Nx et, finalement :
1 111N xNx t 1N
P est donc vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel n non nul,
nP est vraie.
Résultat final
*, 1; , 1 1 n nx xnxquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] inégalité économique en france
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