[PDF] Feuille dexercices no 4 Inégalités de Markov

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Probabilites-statistiques 2014-2015 Polytech 3A

Feuille d'exercices n

o4Inegalites de Markov et de Bienayme-Tchebychev, loi des grands nombres Exercice 1.Le nombre de pieces sortant d'une usine en une journee est une variable aleatoire d'esperance 50. On veut estimer la probabilite que la production de demain depasse 75 pieces. a) En utilisant l'inegalite de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilite? b) Que peut-on dire de plus sur cette probabilite si on sait que l'ecart-type de la production quotidienne est 5?

Solution : a) Inegalite de Markov :P(X75)E(X)75

=23 b) Inegalite de Tchebychev :P(jX50j 25)Var(X)25

2=5225

2= 0:04. DoncP(X75)0:04.

Exercice 2.Pour etudier les particules emises par une substance radioactive, on dispose d'un detecteur. On noteXla variable aleatoire representant le nombre de particules qui atteignent le detecteur pendant un intervalle de temps t. Le nombre maximal de particules que le detecteur peut compter pendant un intervalle de temps test de 103. On suppose queXsuit une loi de Poisson de parametre= 102. Donner une majoration de la probabilite queXdepasse 103. Caracteristiques d'une loi de PoissonP(): son esperance et sa variance sont egales a. Solution : Inegalite de Tchebychev :P(jX102j 103102)V ar(X)(10

3102)2=100900

2'0:00012.

DoncP(X103)0:00013.

Exercice 3.On lancenfois un de a 6 faces et on regarde la frequence d'obtention de la face \6" (c'est-a-dire le nombre de fois qu'on obtient \6", divise parn). Que peut-on dire de cette frequence quandndevient grand? (si on parle de limite, preciser en quel sens) Solution : Loi des grands nombres : siSnest la v.a. comptant le nombre de \6",Snn tend vers

1=6en proba (loi faible) ou p.s. (loi forte).

Theoreme Central Limite, intervalles de conance

Exercice 4.On considere l'experience consistant a lancer 100 fois une piece (equilibree) et on noteSla variable aleatoire comptant le nombre de \pile" obtenu lors d'une experience. Que vautP(40S60)? Quelle est la probabilite pour queSsoit superieur a 60? Solution : TCL (en ecrivantScomme somme de 100 v.a. Bernoulli independantes) ou ap- proximation d'une binomiale par une loi normale : S505 est approximativement de loiN(0;1).

P(40S60) =P(2S505

2)'0:954(table). Par symetrie,P(S >60) =P(S <40),

d'ouP(S >60) =12 (1P(40S60))'0:023. Exercice 5.Selon une etude, 20% des consommateurs se declarent in uences par la marque lors d'un achat. Si on interroge 100 consommateurs pris au hasard, quelle est la probabilite pour qu'au moins 28 d'entre eux se declarent in uences par la marque? Solution : SoitFla v.a. \proportion de consommateurs dans l'echantillon de taillen= 100 qui se declarent in uences par la marque". On cherche a calculerP(F0:28). nFsuit la loi binomialeB(n;p)avecn= 100etp= 0:2, doncE(F) = 0:2et(F) =q0:20:8100

0:04. SoitT=F0:20:04,Tsuit a peu pres une loi normaleN(0;1)(TCL ou approximation d'une

binomiale par une loi normale).P(F0:28) =P(F0:20:08) =P(T2). Or, avec la table,P(T <2)'0:5 + 0:477 = 0:977, d'ouP(F0:28)'10:977 = 0:023. Conclusion. : Il y a environ 2,3% de chance pour que plus de 28 consommateurs dans un echantillon de 100 personnes se disent in uences par la marque. 1 Exercice 6.La rme Comtec vient de developper un nouvel appareil electronique. On veut en estimer la abilite en termes de duree de vie. D'apres une etude, l'ecart-type de la duree de vie d'un appareil serait de l'ordre de 100 heures. On suppose egalement que la duree de vie suit une loi normale, et que les durees de vie de dierents appareils sont independantes. Determiner le nombre d'essais requis pour estimer, avec un niveau de conance de 95%, la duree de vie moyenne d'une grande production de sorte que la marge d'erreur dans l'estimation n'excede pas20 heures. Solution : La variableX=\duree de vie d'un appareil" suit une loi normale d'esperance m(inconnue) et d'ecart-type= 100. Si on faitnessais independants donnes par les v.a. X

1;:::;Xn, on noteX=X1++Xnn

. AlorsT=pn Xm suit une loi normaleN(0;1)(la loi de Test exactementN(0;1)en utilisant la propriete qu'une somme de lois normales independantes est une loi normale; si on utilise le TCL, on conclut que la loi deTest approximativement N(0;1)sinest assez grand). Doncp(jTj 1:96)0:95(table). Au niveau de conance 95%, on peut armer que l'intervalleI= [x1:96100pn ;x+1:96100pn ]contient la duree de vie moyenne chercheem, ouxest la valeur eectivement mesuree deX, c'est-a-direP(m2I)0:95 (x=X(!), ou!represente la realisation d'une serie d'experiences donnee). La marge d'erreur n'excede pas 20h des que1:96100pn <20, i.e. sin97. Remarque :mest inconnu mais xe. C'est l'intervalle[X1:96100pn ;X+1:96100pn ]qui varie selon l'experience car

Xdepend de!.

Exercice 7.On interroge 1000 electeurs, 521 declarent vouloir voter pour le candidat A. Indi- quer avec une probabilite de 0.95 entre quelles limites se situe la proportion du corps electoral favorable a A au moment du sondage. Solution : On notepla proportion (inconnue) d'electeurs favorables a A. Soitn= 1000. Soit X ila variable qui vaut 1 si lei-eme electeur interroge declare vouloir voter pour A, 0 sinon. LesXisuivent une loi de Bernoullib(p); on suppose que ces v.a. sont independantes. Donc le nombreS=Pn i=1Xisuit une loi binomialeB(n;p);E(S) =npetVar(S) =np(1p). Comme nest grand, on peut approcher la loi deT=Snppnp(1p)parN(0;1)(TCL ou approximation d'une binomiale par une loi normale). DoncP(jTj 1:96)0:95(table). On a

P(jTj 1:96) =P(1:96Snppnp(1p)1:96) =P

1:96rp(1p)n

Sn p1:96rp(1p)n =P Sn

1:96rp(1p)n

pSn + 1:96rp(1p)n Commenest grand, on peut estimerppar la frequencef= 0:521observee dans l'echantillon (loi des grands nombres), et approximerp(1p)parf(1f), ce qui donne P Sn

1:96rf(1f)n

pSn + 1:96sf(1p)f 0:95:

Lors du sondage, on trouve

Sn =f(c'est-a-direS(!)n =fou!correspond au sondage realise), ce qui donne l'intervalle de conance[f1:96qf(1f)n ;f+ 1:96qf(1f)n ]'[0:49;0:55]. On conclut que[0:49;0:55](autrement dit523%) est un intervalle de conance relatif apau seuil de 95% (c'est-a-direP(0:49p0:55)0:95). Variante : plut^ot que d'estimerp(1p)parf(1f), on peut utiliserp(1p)14 (inegalite 2 vraie pour toutp2[0;1]), ce qui donne P Sn

1:960:5pn

pSn + 1:960:5pn P Sn

1:96rp(1p)n

pSn + 1:96rp(1p)n 0:95 d'ou l'intervalle de conance[f1:960:5pn ;f+ 1:960:5pn '[0:49;0:55].

Remarque : en majorantp(1p)par14

, on trouve a priori un intervalle plus grand que le precedent, avec une dierence d'autant plus grande quepest loin de0:5. Ici,pest proche de

0:5et on ne voit pas la dierence avec 2 decimales.

Exercices supplementaires

Exercice 8.On considere une marche aleatoire surZdenie de la facon suivante : on part de 0 et, a chaque etape, on a une probabilitepde faire un pas vers la droite et une probabilite 1p de faire un pas vers la gauche. Autrement dit, on considere une suite de variables aleatoires (Xn)n1, independantes, de m^eme loi donnee par

8n2N; P(Xn= 1) =petP(Xn=1) = 1p;

etSn=X1+X2++Xnrepresente la position surZde la marche aleatoire a l'etapen. a) Que vaut lim n!+1S nn ? (on precisera de quel type de limite on parle) b) On suppose quep >12 . En utilisant la loi forte des grands nombres, montrer queSntend presque s^urement vers +1. Solution : a)E(Xi) =p(1p) = 2p1. Loi des grands nombres :Snn tend versE(X1)en proba, c'est-a-dire

8" >0;limn!+1P

S nn (2p1> " = 0:

Loi forte des grands nombres

Snn tend versE(X1)presque s^urement, c'est-a-dire 9 0 ;P(

0) = 1;8!2

0;limn!+1S

n(!)n = 2p1: b)p >12 donc2p1>0. Soit0< <2p1. Par b),8!2

0;9N;8nN;Sn(!)n, donc

S n(!)!+1. Autrement ditSntend presque s^urement. vers+1. Exercice 9.On eectue un sondage sur un echantillon de 10000 personnes a la veille d'un referendum : 4903 d'entre elles s'appr^etent a voter oui, et 5097 a voter non. On notepla proportion (inconnue) de personnes dans la population s'appr^etant a voter oui. Donner un intervalle de conance a 95% pourp. Solution : Idem que l'exercice 7 avecn= 10000etf= 0:4903, ce qui donne l'intervalle de conance[f1:96qf(1f)n ;f+1:96qf(1f)n ]'[0:4805;0:5001]. On conclut que[0:4805;0:5001] (autrement dit491%) est un intervalle de conance relatif apau seuil de 95%.

Si on utilisep(1p)14

, on trouve le m^eme l'intervalle de conance si on se limite a 4 decimales ou moins. Exercice 10.Chaque jour, un train subit un retard aleatoire au depart, evalue en minutes. On modelise la loi du retard par une loi exponentielleE() (mais on ignore la valeur de). On suppose egalement que les retards sont independants entre eux. Sur 400 jours, le retard moyen est de 10 minutes. Donner un intervalle de conance de niveau approximativement 95% pour. Caracteristiques d'une loi exponentielleE(): son esperance et son ecart-type valent1=. 3 Solution : Loi estimeeE()d'esperancem= 1=et d'ecart-type= 1=. TCL :P(pnjSn=nmj c)'P(jN(0;1)j< c). Pour avoir un intervalle de conance a 95%, on prendc= 1:96. L'enca- drementc Avec les donnees :

Sn(!)n

= 10. C'est un estimateur dem. Donc on approximepar1=10et par10. D'ou l'intervalle de conance[0:091;0:111]. Exercice 11.Soit (Xn)n1une suite de variables aleatoires independantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de parametrep. Pour toutn1, on noteSn=X1++Xn. On xe" >0. a) En utilisant l'inegalite de Bienayme-Tchebychev, minorerPp" Solution : a)E(Snn ) =petVar(Snn ) =p(1p)n . D'ouP(jSnn pj ")p(1p)n"

2(inegalite de

Bienayme-Tchebychev) et doncPp" < p+"1p(1p)n" 2. b) anOn veutanqp(1p)n

=", il faut donc prendrean="pnpp(1p). On notefla densite deN(0;1)(f(x) =1p2exp(x2=2), mais on n'a pas besoin de conna^tre l'expression def). Pourngrand, le TCL donne P p" Avec a),Pp" < p+"0:75.

Avec b),Pp" < p+"'R2

2f(x)dx'0:954(table).

La 2eme estimation est donc bien plus precise.

Exercice 12.On considere le nombre de garcons parminnaissances choisies au hasard. On suppose que, pour chaque naissance, la probabilite que ce soit un garcon estp= 0:514, et que les naissances sont independantes entre elles. A partir de quelle valeur deny a-t-il une probabilite inferieure a 1% pour que le nombre de lles soit superieur ou egal au nombre de garcons? Solution : SoitXle nombre de garcons.Xsuit une loi binomialeB(n;p). Le nombre de lles est superieur ou egal au nombre de garcons siXn2 . On cherchentel queP(Xn2 )0:01 4 ou, de facon equivalente,P(X >n2 )0:99. On suppose quenest assez grand pour approximer B(n;p)par une loi normale, c'est-a-dire queT=Xnppnp(1p)suit presque la loiN(0;1). On a X > n2 ()T >(0:5p)pn p(1p): Vu la table et la symetrie deN(0;1),P(T >2:326) = 0:5 +P(T <2:326) = 0:99. Donc

P(X >n2

)equivaut a (0:5p)pn p(1p)<2:326,(p0:5)pn p(1p)>2:326,n >2:3262p(1p)(p0:5)2'6895:5

Il faut donc prendren6896.

Exercice 13.On considere l'intervalle [0;1] muni de la probabilite uniforme. Six2[0;1], on noteX1(x);X2(x);:::;Xn(x);:::les chires du developpement decimal dex. On admet que les v.a. (Xn)n1sont independantes de loi uniforme dans l'ensemble des chiresf0;1;:::;9g. Un nombrex2[0;1] est dit normal si, pour toutk2 f0;1;:::;9g, le chirekappara^t avec une proportion 110
dans le developpement decimal dex, c'est-a-dire limn!+1N n(x)n =110 , ou N n(x) = Cardf1injXi(x) =kg. Montrer qu'un nombre est normal avec probabilite 1.

Table (partielle) pour une v.a.Xde loi normaleN(0;1)tP(0Xt)P(tXt)0:60:2260:4510:680:250:50:80:2880:5761:260:3960:7921:320:4070:8131:6450:450.90

1:960:4750.95

20:4770:9542:3260:490:985

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