[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

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Daniel ALIBERT

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées. Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l"une de ses bornes. Savoir calculer une primitive, une intégrale de Riemann. Savoir étudier une intégrale généralisée (ou impropre).

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte trois parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2.

Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires)

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Intégrale de Riemann ...................................... 7

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 11

1-3 Intégrales généralisées .................................. 21

2 Pour Voir ....................................................................... 25

2-1 Intégrale de Riemann .................................... 25

2-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 59

2-3 Intégrales généralisées .................................. 88

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97

3-1 Énoncés des exercices ................................... 97

3-2 Corrigés des exercices ................................. 109

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Intégrale de Riemann

Définition

On appelle subdivision de [a , b] une famille finie :

L = (a = a0, a1,..., an = b)

On pose Li = [ai-1 , ai], et mes(Li) = ai - ai-1.

Ce nombre est la mesure du segment Li. Par convention, l"ensemble vide a une mesure égale à 0. La mesure d"un segment est un nombre réel positif ou nul.

Définition

Soit f : [a , b] --. R une fonction, on dit que f est une fonction en escalier, s"il existe une subdivision L telle que f soit constante sur chaque partie ]ai-1 , ai[, lorsque ce segment n"est pas vide. Dans ce cas, on note, par abus d"écriture, f(Li) la valeur de cette constante. La fonction f et la subdivision sont dites adaptées.

Proposition et

Définition

Soit f une fonction en escalier sur [a , b]. Le nombre : fLi( ) i=1 i=n∑ai-ai-1() est indépendant du choix de la subdivision adaptée L. Il s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], on le note : f a,b[ ]∫.

Proposition

La somme de deux fonctions en escalier sur le même segment est une fonction en escalier, et l"intégrale sur ce segment de la somme de deux fonctions est la somme de leurs intégrales. Le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier, mais l"intégrale d"un produit n"est pas égale, en général, au produit des intégrales.

Proposition

Si f est une fonction en escalier à valeurs positives ou nulle, son intégrale est positive ou nulle. Si f et g sont des fonctions en escalier sur le même segment [a , b], et si pour tout x de [a , b], f(x) ≥ g(x), alors l"intégrale de f est supérieure ou

égale à l"intégrale de g.

A partir de la définition de l"intégrale d"une fonction en escalier, on construit l"intégrale d"autres fonctions.

Soit f : [a , b]

→ R une fonction bornée.

On note E

-(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] inférieures à f, et E +(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] supérieures à f.

On note :

S -(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E-(f)}, et : S +(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E+(f)}. On notera que ces ensembles ne sont pas vides, puisque f est bornée. Tout élément de l"ensemble S+(f) est supérieur à tout élément de l"ensemble S -(f).

Définition

Soit f : [a , b] → R une fonction bornée, on dit que f est intégrable (au sens de Riemann) si sup(S-(f)) = inf(S+(f)). Ce nombre s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], et se note fa,b[ ]∫. Il existe des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann.

Théorème

Soit f : [a , b] → R une fonction continue, alors la fonction f est intégrable sur [a , b].

Proposition

1) Si f, f1 et f2 sont intégrables sur [a , b], alors f1 + f2 et lf (l réel

quelconque) sont également intégrables.

2) On a les égalités :

f1+f2()=a,b[ ]∫f1()+a,b[ ]∫f2(),a,b[ ]∫ lf( )=lf( )a,b[ ]∫a,b[ ]∫.

Proposition

1) Soit f : [a , b] → R une fonction intégrable. Si f ≥ 0 alors :

f[a,b]∫³0.

2) Si f et g sont des fonctions intégrables telles que f ≥ g, alors :

f[a,b]∫³g[a,b]∫.

3) Soit f : [a , b] → R une fonction intégrable. Alors la valeur absolue de

f est intégrable, et on a l"inégalité : f[a,b]∫³f[a,b]∫.

Proposition

Soit f : [a , b] → R une fonction continue, à valeurs positives ou nulles. Si l"intégrale de f sur [a , b] est nulle, alors f(x) = 0 pour tout x de [a , b].

Proposition

(formule de la moyenne)

Soit f : [a , b]

→ R une fonction continue. Il existe un élément c de l"intervalle ouvert ]a , b[ tel que : f[a,b]∫=(b-a)f(c).

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives

Dans cette partie, on considère une fonction f intégrable sur I = [a , b], ou [b , a].

Par convention, on pose :

f(x)dx a b∫=f[a,b]∫, si a £ b f(x)dx ab∫= -f[b,a]∫, si b £ a.

Proposition

(relation de Chasles) Si a, b, g sont trois éléments de I, dans un ordre quelconque, on a l"égalité f(x)dxa g∫=f(x)dxa b∫+f(x)dxb g∫. On fixe un élément t0 de I, et on définit la fonction F, intégrale dépendant de la borne supérieure t par :

F:taf(x)dxt0

t∫.

Proposition

Soit f intégrable sur I, et k = sup(|f(x)|, x Î I).

1) La fonction F définie ci-dessus est k-lipschitzienne sur I, donc continue.

2) Si f est positive, alors F est croissante.

Proposition

Si la fonction f est continue en t, alors la fonction F est dérivable en t et sa dérivée est F"(t) = f(t). Rappelons qu"on appelle primitive de la fonction f sur I une fonction dérivable sur I, dont la dérivée sur I est égale à f. Soit f : [a , b] → R, continue, la fonction F définie ci-dessus est une primitive de f. En particulier, on peut calculer la valeur de certaines intégrales à l"aide d"un calcul de primitive.

Théorème

Soit f : [a , b] → R, continue.

Pour toute primitive G de f sur [a , b], on a l"égalité : f(x)dxa b∫=G(b)-G(a). On note généralement G(x)[]a b la différence G(b) - G(a). Pour les fonctions continues d"une variable, ce théorème permet de ramener le calcul d"une intégrale au calcul d"une primitive. La base de ce calcul est d"abord constituée par la connaissance des primitives des fonctions usuelles. Le formulaire rappelé ci-dessous est à bien connaître. Dans la colonne de gauche, on a donné une expression définissant une fonction, et dans la colonne de droite une expression définissant une primitive. fonction primitive xn, n ≠ - 1 x > 0 si n Î Z xn+1 n+1

1/x, x ¹ 0 ln(|x|)

ex ex cos(x) sin(x) sin(x) - cos(x) sh(x) ch(x) ch(x) sh(x) 1

1-x2 -1 < x < 1 arcsin(x)

1 1+x2 lnx+1+x2() 1 x2-1, x > 1 ou x < - 1 lnx+x2-1 1 1+x2 arctan(x) 1

1-x2, x ≠ - 1 et x ≠ 1 1

2ln1+x

1-x

Proposition

(intégration par parties)

Soient u et v des fonctions de classe C

1 sur [a , b].

On a l"égalité :

u(x)v" (x)dxa b∫=u(x)v(x)[ ]ab-u"(x)v(x)dxa b∫.

Proposition

(changement de variable 1)

Soit f : [a , b]

→ R une fonction continue. On suppose qu"il existe une application : v : [ a , b ] → R, de classe C1 et une application u, continue sur v([a , b]) telles que pour tout x de [a , b] on ait l"égalité suivante : f(x) = u(v(x)) . v"(x).

Alors on a l"égalité :

f(x)dxa b∫=u(y)dyv(a) v(b)∫. Pour un calcul pratique, on raisonne formellement en disant qu"on "pose" : y = v(x), d"où dy = v"(x) dx, et f(x) dx = u(v(x)) v"(x) dx = u(y) dy , enfin on n"oublie pas de changer les bornes de l"intégrale.

Corollaire

(changement de variable 2) Soit f : [a , b] --. R, continue. On suppose qu"il existe une application : u : [s , t ] → [a , b], bijective, de classe C1, dont la dérivée ne s"annule pas, avec (pour fixer les idées) u(s) = a et u(t) = b. Alors : f(x)dxa b∫=f u(y)( )u"(y)dys t∫. Ici encore, dans un calcul pratique, on raisonne formellement, en posant : x = u(y) , d"où dx = u"(y) dy, et a=u(s), b=u(t). On donne une liste de fonctions pour lesquelles le calcul d"une primitive peut être mené de manière méthodique. (1) Fonctions rationnelles. Il s"agit des fonctions pour lesquelles la valeur en x est de la forme : f(x)= P(x) Q(x), P et Q étant des fonctions polynômes. On suppose que Q ne s"annule pas sur le domaine d"intégration considéré. On a vu le résultat suivant : toute fonction rationnelle peut s"écrire sous la forme de la somme de fonctions rationnelles particulières appelées "éléments simples".

Ces éléments simples sont les suivants :

* fonctions polynômes, * fonctions xaa ax+b( ) n, ( a, a, b étant des réels, n un entier positif ), * fonctions xacx+d gx2+dx+e( ) n, (c, d, g, d, e étant des réels, n un entier positif). Méthode d"intégration : (a) savoir écrire une fonction rationnelle sous forme de somme d"éléments simples, (b) savoir calculer une primitive d"un

élément simple.

(a) voir le chapitre "polynômes" dans un précédent volume. (b) b-1 On sait calculer une primitive d"un polynôme. b-2 Pour une fonction : xaa ax+b( ) n, une primitive, à connaître, est pour n > 1 : xaa a(1-n)ax+b( ) n-1.

Sinon, on obtient, pour n = 1, un logarithme :

).ln(baa+xaxa b-3 Pour une fonction : xacx+d gx2+dx+e( ) n, on peut écrire : cx+d gx2+dx+e( ) n=c2g()2gx+d( ) gx2+dx+e( ) n+d-c d2g gx2+dx+e( )quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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