[PDF] Année Universitaire 2006-2007 COURS DE STATISTIQUE





Previous PDF Next PDF



RAPPELS DE STATISTIQUE M1

Exemple : On a vu plus haut que l'information de Fisher d'un mod`ele d'échantillonnage dans la loi normale est d'autant plus forte que la variance est petite.



Chapitre 4 Estimation par vraisemblance

covθ ) désigne la matrice de variance (resp. la covariance) sous la loi Pθ . Pour motiver le concept d'information de Fisher supposons pour simpli- fier que Θ 



TD 3 : Information de Fisher méthode du χ 1 Information de Fisher

17 nov. 2009 On se contente donc de calculer l'information de Fisher dans le cas ... Q3 une loi uniforme sur [0θ] avec θ > 0 inconnu. Solution: Pour une ...



Mise `a niveau Comparaison destimateurs

Exemple 3 : la loi uniforme Soit X ∼ U ([0θ]) avec θ ∈ Θ = R∗. +



T. D. n 6 Information de Fisher et maximum de vraisemblance

Exercice 1. Information efficacité et loi de Gauss. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(µ



Mesure dordre de linformation au sens de Fisher

analogue à celle de CRAMER-RAO pour les valeurs entières de a. 3) Cas de lois normales ou uniformes a) Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale 



T. D. n 6 Information de Fisher et maximum de vraisemblance

Exercice 1. Information efficacité et loi de Gauss. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(µ



TD 5 : Comparaison et optimalité des estimateurs

Si oui calculer l'information de Fisher I1(θ) du modèle à une observation. 2. Donner un estimateur du maximum de vraisemblance ainsi que sa loi limite. 3. Est- 



Test dAjustement à une Loi Normale Vectorielle

8 avr. 2022 ... information de Fisher d'une loi normale mul- tidimensionnelle par la méthode directe est assez long; c'est pourquoi on es-. Page 6. 85 saie d ...



TD 3 : Information de Fisher méthode du ? 1 Information de Fisher

Nov 17 2009 1 Information de Fisher. Calculer l'information de Fisher dans les mod`eles statistiques suivants : Q1 une loi de Poisson de param`etre ? :.



Année Universitaire 2006-2007 COURS DE STATISTIQUE

la loi de X est normale (avec ?2 connue puis ?2 inconnue). IT (?) représente l'information de Fisher au point ? dans le mod`ele (Y; PT ? ) o`u PT.



RAPPELS DE STATISTIQUE M1

Exemple : On a vu plus haut que l'information de Fisher d'un mod`ele d'échantillonnage dans la loi normale est d'autant plus forte que la variance.



T. D. n 6 Information de Fisher et maximum de vraisemblance

Exercice 1. Information efficacité et loi de Gauss. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(µ



Statistique Inférentielle Avancée

13.2.1 Table 1 de la loi normale centrée réduite . Il y a en fait un lien entre l'exhaustivité et l'information de Fisher comme on le verra plus tard.



Mesure dordre de linformation au sens de Fisher

analogue à celle de CRAMER-RAO pour les valeurs entières de a. 3) Cas de lois normales ou uniformes a) Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale 



Modélisation Statistique (MAP-STA1) - M1-Mathématiques

définition mathématique de l'information (de Fisher) et indépendantes X et Y de même loi ... converge en loi sous IP?? vers une loi normale :.



Fisher information and the fourth moment theorem

au sens de l'information de Fisher vers la loi gaussienne d'une suite d'éléments de convergence associée pour la convergence normale d'une version ...



Sur lEstimateur du Maximum de Vraisemblance (emv)

Jan 9 2017 L'information de Fisher caractérise la borne de Cramer-Rao ; on a ... converge en loi vers une var Z suivant la loi normale N(0



T. D. n 6 Information de Fisher et maximum de vraisemblance

Exercice 1. Information efficacité et loi de Gauss. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(µ

LICENCED'INGENIERIEMATHEMATIQUES

AnneeUniversitaire2006-2007

COURSDESTATISTIQUEINFERENTIELLE

(VersionAvril2007) J

ER^OMEDUPUIS

UNIVERSITEPAULSABATIER(ToulouseIII)

1 2

SOMMAIRE

1.Exemplesintroductifsetgeneralites

1.1Exemplesintroductifs

1.2Generalites

2.Modelesstatistiques

2.2Autresmodelesstatistiques

3.Exhaustiviteetinformation

3.1Unexempleintroductif

3.2Exhaustivite.

3.3InformationdeFisher

4.L'estimationponctuelle

4.1Denitiond'unestimateur

4.2Proprietesd'unestimateur

4.3Comparaisonentreestimateurs

4.4Estimateurdumaximumdevraisemblance

4.5Estimateurdesmoments

3

5.L'estimationparintervalledeconance

5.1Denition,exempleetcommentaires

5.2Quelquesprincipesgeneraux

5.3Intervallesdeconanceclassiques

6.Lestests

6.1Exemplesintroductifs

6.2Laproblematiqued'untest

6.3L'approchedeNeyman-Pearson

6.5Lapratiquedestests.

-laloideXestquelconque. -laloideXestquelconque -comparaisondesvariances(testdeFisher). -comparaisondesmoyennes(testdeStudent).

6.6Testsnonparametriques.

6.6.1TestdessignesettestdeWilcoxon.

4

6.6.3Testduchi-deuxd'independance.

5

1.1Exemplesintroductifs

ExempleNo1.

ExempleNo2.

2. deceresultatquelapieceestequilibree?

ExempleNo3.

6 exponentielledeparametresisadensiteest: f(x)=1 exph xi

1I[0;+1[(x):

ousi,al'inverse>T.

Commentaires

X

1.2Generalites

7 modelisation(aleatoire)desdonnees. statistiquedechoixdemodeles). b)Validerlemodeleretenu. testsportantsurlesparametresdumodele. derniereetapedecetteprocedure. aleatoires. 8

Chapitre2.MODELESSTATISTIQUES

Denition.

Commentaires.

poseeconnue;seulleparametreestinconnu. momentoul'onsedonnelaloideX,asavoirP. appelleunechantilloni.i.d.deloiP. l'espacesdesobservations. yamodelisation(etmodele). (Xn;B n;P n ;2)ouP n munidelatribuproduitB n. 9

Notations.

Exemples.

laloideBernoullideparametre2=[0;1]. aunseullancer)denisurl'espace ouB=P(f0;1g)

Remarques.

10 fonctionL:![0;1]deniepar

Danslecadredumodeled'echantillonnage

L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY

i=1f(xi;): x

2.3Autresmodelesstatistiques.

SituationNo1.

11

SituationNo2.

Commentaires.

12

3.1Unexempleintroductif

estegaleaPn cela.

3.2Exhaustivite.

Denition1.

Commentaires

IlconvientdenoterqueTnedependpasde.

Exemplesdestatistique

X=IRetY=IR.

(x1;:::;xi;:::;xn)7!T(x1;:::;xi;:::;xn)= xn. i=1x2i.

Xn,T=Pn

iX2i,etc.

Denition2.

Exemple

iXiestexhaustive.On 13 verieeneetfacilementque:

P(X=xjT=t)=t(1)nt

Ctnt(1)nt=1CtnsinX

i=1x i=t etqueP(X=xjT=t)=0sinon.

Theoremedefactorisation(admis).

ExempleNo1

i=1Xiestexhaustive puisque f(x;)=1 Qn i=1xi!T(x)exp[n] factoriseautraversde: g(x)=1 Qn i=1xi! etde h(T(x;))=T(x)exp[n]

ExempleNo2

Pn i=1Xi;Pn

3.3InformationdeFisher

14

H1:82;8x2X;f(x;)>0.

H

2:82;8x2X;@

@f(x;)et@2@2f(x;)existent. H

3:82;8B2Bonpeutderiver2foisR

Bf(x;)dxparrapportasouslesigne

Remarques.

f(x;)=1

1I[0;](x).

3.3.1Denition

Soitlemodele((X;B);P;2).Laquantite

I()=E"

@logf(X;) 2# s'appellel'informationdeFisheraupoint.

OnappellescorelaquantiteS(x;)=@

@logf(x;).Onadonc:

I()=E[S2]

I()=E"

@2 @2logf(X;)# quecelledeladenition. 15

Exemple.

3.3.3Proprietesdel'informationdeFisher

Propriete1.

I()0pourtout

Propriete2.

Q I (X;Y)()=IX()+IY()

Consequence.

I (X1:::;Xi;:::;Xn)=nIX()

Propriete3.(admise)

I I laloiimagedePparT.

Exemple

iXiest 16 exhaustive.Onad'unepart: I (X1:::;Xi;:::;Xn)()=nIX()=n (1):

D'autrepart,laloideT=Pn

pourdensite f(t;)=Ctnt(1)nt;t2f0;:::ng onendeduitque: 2 @2logf(t;)=" t2+nt(1)2# d'ouIT()=n (1)puisqueE[T]=n(cqfd). 17

Chapitre4.L'ESTIMATION

4.1Denitiond'unestimateur

Autrementdit:

T:Xn! x7!T(x)

Commentaires

aleatoireX. rappelerquelatailledel'echantillonestn)

Exemple

b n(x)=Argmax2L(;x): 18 b nsuituneloiN(;2 n).

4.2Proprietesd'unestimateur

4.2.1Estimateursansbiais

Soit bunestimateurde.

Exemple

bn=XnestunestimateursansbiaisdeE[X].

Remarque

Exemple

c2=1nP n

ParcontreS2n=1

n1P n zeroquandn!+1.

Exemple

c2=1nP n

4.2.2Estimateurconvergent

Exemple

l'estimateur bn= 19 verszeroestconvergent.

4.3Comparaisonentreestimateurs

notionderisquequadratiquedenici-dessous. quadratique).

Remarque

b 1=

Xnetb2=nXn+1

unestimateuroptimalausensdecerisque.

R(T)R(b)pourtoutestimateurbde.

20

4.3.1LabornedeCramer-Rao

B que H

2etH3(cfSection3.2),ona,pourtoutbn2B0():

Var[bn]1

nI() nI()estnoteeKn().

Denition.bn2B0()estditecacesiVar[bn]=1

nI()

Exemple

Var[bn]=(1)

n.

Var[bn]

Kn() tendvers1quandn!+1.

Commentairesetcomplements

21

4.4L'estimateurdumaximumdevraisemblance

L(;x1;::::xi;:::;xn)=nY

i=1f(xi;)

4.4.1Denition

b n(x)=Argmax2L(;x): oux=(x1:::;xi;:::;xn).

4.4.2Remarques

n+1(cfTDNo2). 22
devraisemblance,bn(x)estsolutionde: @L(;x)=0; etesttelque: 2 @2L(;x)<0 aupoint=bn(x).

Commentaire

l'E.M.V.doitsefaire\alamain".

Theoreme.Onfaitleshypothesessuivantes.

-estunouvertdeIR. @f(x;)existe8x,8 -8,8x,f(x;)>0 -an1xe(maisquelconque)bnestunique. 23

Theoreme.Onsupposedeplusque:

@2 -0Af(x;)dxparrapporta.

Alorssoustoutesceshypotheses

p n(bn)loi!N

0;1I()

4.5L'estimateurdesmoments

nP n i=1Xki.La

Leprincipedelamethodeestlasuivante.

j=gj(1;:::;j;:::;J) j=hj(1;:::;j;:::;J) ditonprend: b j=hj(M1;:::;Mj;:::;MJ)(j=1;::J): 24

Commentaire

demomentscentresetnoncentres.

Exemple

:estimationdesparametresdelaloiBeta. f(x)=1

B(a;b)xa1(1x)b11I[0;1](x)

Onmontreque:

E[X]=a

a+betVar[X]=ab(a+b)2(a+b+1)

Onveriefacilementque:

a=E(X)"

E(X)[1E(X)]Var(X)

Var(X)#

etb=[1E(X)]"

E(X)[1E(X)]Var(X)Var(X)#

ba=

Xn"Xn[1Xn]V2n

V2n# et bb=[1Xn]"Xn[1Xn]V2n V2n# ou V 2n=1 nn X i=1(XiXn)2 designelemomentempiriquecentred'ordre2. 25
(typiquement95%),leparametreinconnu.

5.1Denition,exempleetcommentaires

P([T1;T2]3)=1

Exemple

loinormaledemoyenne.Partantde

XnN(;1n)ilesffaciledeverierque:

P

Xn1pnz12;Xn+1pnz12

3 =1 ouz1

P(Zza)=aouZN(0;1).Donc

Xn1pnz12;Xn+1pnz12

26
P

Xn1pnz12Xn+1pnz12

=1

Commentaires

P

2[T1(x);T2(x)]=1

27
dependpasde. u inequation u

1h(X1:::;Xi;:::;Xn;)u2(1)

detellesorteque(1)soitequivalenta: g

1(X1:::;Xi;:::;Xn)g2(X1:::;Xi;:::;Xn);

ExempleNo1

connue).Lafonction Xn =pnestpivotalepourpuisque: Xn =pnN(0;1)

ExempleNo2

XN(;)ouestconnueet=2.Lafonction12Pn

i=1(XiXn)2estpivotalepour puisque: 1 2n X i=1(XiXn)22(n1)

ExempleNo3

nestasymptotique- 28
Xnq nloi !N(0;1)quandn!+1 ulier. .Partantde Xn =pnN(0;1) ona: P z 1 Xn =pnz12 =1 clairque: z11 Xn =pnz12()I=Xnpnz12;Xn+pnz11 3 est fournieparleresultatsuivant. 29
d'ordre1

2def(x).

Parconsequent:c'estl'intervalledeconance

Xnpnz12;Xn+pnz12

z 1

2estfourniparlestablesstatistiques.

5.3Intervallesdeconanceclassiques

est`grand'.

5.3.1LaloideXestnormaleN(;2)

niveaudeconance1pourest

Xnpnz12;Xn+pnz12

etYsontindependantes,T=Z esttabulee).Comme Z= Xn =pnN(0;1) 30
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] information et création numérique

[PDF] information génétique cours

[PDF] information génétique définition

[PDF] information genetique et division cellulaire

[PDF] information génétique wikipedia

[PDF] informatique 2eme année college

[PDF] informatique 3eme college

[PDF] informatique appliquée cours

[PDF] informatique de gestion pdf s4

[PDF] informatique fondamentale pdf

[PDF] informatique generale et internet

[PDF] informatique s1 smia pdf

[PDF] informe de auditoria de gestion ejemplo

[PDF] informe de auditoria de gestion ejemplos

[PDF] informe de investigacion ejemplo pdf