[PDF] RAPPELS DE STATISTIQUE M1 Exemple : On a vu plus

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RAPPELS DE STATISTIQUE M1

A - ESTIMATION

1 INTRODUCTION : DES STATISTIQUES

DESCRIPTIVES AUX STATISTIQUES

1. - Statistique descriptive : ´echantillonnage al´eatoire

On dispose de l'observation d'une variable quantitativex i pour un indi- viduidans un´echantillon deNindividus tir´es au hasard. On parle d'´echantillonnage al´eatoire lorsque l'on peut consid´erer les observations comme les r´ealisations de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi. On ´etudie traditionnellement les r´esum´es suivant de l'´echantillon :x n =1 N N X t=i x i =moyenneempiriquedex m´ediane (m) = la valeur telle que le nombre d'observations au-dessus dem est ´egal au nombre d'observations en-dessous dem. 2x =1 N1N X t=i (x i x N 2 = variance empirique dex 1 N1N X t=i (x i x N 2 1/2 =´ecart-type dex Lorsque l'on observe deux variables par individu, on peut construire la covariance et la corr´elation empiriques : xy N X i=1 (x i x N )(y i y N N1 xy x y =corr´elation 1 On peut d´ecrire l'´echantillon par des diagrammes en bˆatons indiquant, pour chaque classeC j =[x j ,x j j ] la proportion d'observations tombant dans cet intervalle. De mˆeme que les mesures th´eoriques, ce diagramme peut ˆetre compris comme une approxiation de la densit´esous-jacente`a l'exp´erience al´eatoire ayant g´en´er´ee les observations.

2. -Formulationstatistique: estimationdesparam`etres

On peut formaliser l'exp´erience pr´ec´edente de la fa¸con suivante : les valeursx i sont les r´ealisations deNvariables al´eatoires ind´ependantes (X i iiN d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e, suivant toutes une mˆeme loi. Alors, l'ensemble des mesures pr´ec´edentes peuvent ˆetre vues comme les r´ealisations de variables al´eatoires. La moyenne empirique par exemple est la r´ealisation de X n =1 N N X t=i X i .Dansle cadre pr´ec´edent, c'est une variable al´eatoire de moyenneE(X i )devariance1 NV(X i

On peut chercher `areconnaˆıtre la loi desX

i .Pour avoir une chance d'y parvenir,ilfautavoirpr´ecis´e une classe de lois susceptibles de contenir celle desX i .Deux approches sont alors possibles : soit contraindre fortement cette classe, en l'identifiant `aunefamilledeloisparam´etr´ee par un r´eel, soit ne pas la contraindre (notamment, ne pas choisir une famille param´etr´ee de lois). On se limitera ici `alapremi`ere approche, dite approche param´etrique. On peut par exemple supposer que les observations sont issues du tirage dans N(m, 2 ) (famille des lois normales, param´etr´ee par=(m, 2 )). De fa¸con g´en´erale, le probl`eme statistique consiste alors `a construire un estimateur de 0 (not´eg´en´eralementb),i.e. une variable al´eatoire dont on puisse d´eduire lesvaleurslesplusprobablesde 0 ,param`etre sous-jacent au tirage. Remarque :implicitement, on suppose que les donn´ees sont eectivement issues d'une loi de param`etre 0 .C'est cette hypoth`ese qui permet de guider le statisticien vers un bon estimateur de 0 .Bien sˆur, cette hypoth`ese peut ˆetre erron´ee au d´epart et le statisticien ou l'´economiste poss`ede quelques m´ethodes de d´etection d'une telle erreur (tests de sp´ecification ...).

3. - Notion de mod`ele statistique

Un mod`ele statistique est constitu´ed'unensembleder´esultats,d'une tribu sur cet ensemble de r´esultats=,et d'unefamillede lois de probabilit´e sur (,=),soitP. 2 Nous consid´erons essentiellement le cas o`uPest une famille param´etr´ee (par un r´eel)deloissur(,=).

Exemple :mod`ele d'´echantillonnage

L'espace des r´esultats est du type<

N .=est la tribu des bor´eliens sur N . La famille de lois est le produit desNsur< P (X 1 A 1 ,...,X N A N )=P(X 1 A 1 )×...×P(X N A N

2 ESTIMATEUR

1. - Notion d'estimateur

Quand une famille de lois, d´ependant du param`etre inconnua´et´e choisie, c'est de l'´echantillon et de lui seul, que l'on peut tirer les informa- tions. On appelleestimateurde param`etre,toutefonctiondel'´echantillon, prenant ses valeurs dans l'ensemble des valeurs possibles pour.Cette d´efinition vague, cache l'espoir que les valeurs prises par l'estimateur soient proches de la valeur cible,qui est et restera inconnue. Il importe de bien distinguer les variables al´eatoires, li´ees `alamod´elisation, de leurs r´ealisations, identifi´ees aux donn´ees. Un ´echantillon (th´eorique) est unn-uplet de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loiP .Pour estimer,on propose un estimateur, fonction de l'´echantillon : T=(X 1 ,...,X n C'est aussi une variable al´eatoire. Le choix du mod`ele et de l'estimateurT est d´econnect´e du recueil des donn´ees. C'est en quelque sorte une planification que l'on eectue avant toute observation, et qui pourra servir `aplusieurs ´echantillons observ´es du mˆeme ph´enom`ene. Une fois un mod`ele choisi, on consid`erera unn-uplet de donn´ees (x 1 ,...,x n comme une r´ealisation des variables al´eatoires (X 1 ,...,X n ).La valeur (r´eelle) prise parT: b =(x 1 ,...,x n est l'estimation(du param`etre au vu de l'´echantillon observ´e). 3 Prenons l'exemple simple d'une pi`ece dont on ignore si elle ou non truqu´ee. La probabilit´edetombersurpileestleparam`etre inconnu=p.On se pro- pose de r´ealiser 10 lancers de la pi`ece, que l'on mod´elisera par un ´echantillon de taille 10 de la loi de Bernoulli de param`etrep.Le nombre de pile obtenu sur les10lancersestunevariableal´eatoire qui suit la loi binomialeB(10,p).Le quotient de cette variable al´eatoire parn(la fr´equence) est unestimateurde p.Eectuons maintenant les dix lancers en notant chaque fois 1 si pile sort, et 0 si c'est face. Uner´ealisationde l'´echantillon est par exemple :

0,1,1,0,1,1,1,0,0,1.

Pour cette r´ealisation, la fr´equence empirique prend la valeur 0.6, que l'on proposera commeestimationdep.Bien ´evidemment, 10 nouveaux lancers de la mˆeme pi`ece pourront conduire `auner´ealisation di´erente de l'´echantillon et `a une estimation di´erente dep.

2. - Identifiabilit´e - Informations de K¨ullback

On dit qu'une valeur du param`etre

0 estidentifiables'il n'existe pas d'autre param`etre(6= 0 )telquelesloisP etP 0 soient identiques. Le mod`ele statistique est dit identifiable si toutes les valeurs du param`etre sont identifiables. Il serait pratique de disposer d'une distance entre les lois pour juger du "degr´e" d'identification d'une valeur 0 .Plus les lois sont distantes, plus il sera facile de trouver celle qui peut ˆetre `a l'origine des observations. Un exemple caricatural est obtenu en supposant que le param`etrene peut prendre que deux valeurs 0 et 1 ,et queP 0 etP 1 n'ont pas le mˆeme support (par exempleP 0 charge [1,+[etP 0 charge ],1]). Alors une observation sutpourtrancherentre= 0 ou= 1

Si les loisP

admettent des densit´es`(y,),la fonction (y,)7`(y,)est appel´ee vraisemblance. La fonction densit´ed'unn-´echantillon=( 1 n n Q i=1 `(x i ,)est´egalement appel´ee vraisemblance. L'information de Fisher permet de mesurer la distance entre deux lois de densit´e`(y, 0 )et`(y, 1

On appelle information de K¨ullback de

0 contre 1 la quantit´e: 4 0 1 )=E 0

Log`(y,

0 `(y, 1 Z

Log·`(y,

0 `(y, 1 `(y, 0 )dy OnmontrequelamesuredeK¨ullback est toujours bien d´efinie, positive (elle peut valoir +),et qu'elle est nulle si et seulement si les deux densit´es sont presque partout ´egales. L'argument utilise l'in´egalit´edeJensen: E 0

Log`(y,

0 `(y, 1 =E 0

Log`(y,

0 `(y, 1 Log E 0 `(y, 0 `(y, 1 )=E(`(y, 1 ))1 0 Comme la fonction-Log est strictement convexe l'in´egalit´edeJensenest une ´egalit´esietseulementsi`(y, 0 `(y, 1 )est presque partout constante. Si l'information de K¨ullback est nulle, c'est que`(y, 0 )=`(y, 1 )presque partout. On peut donc´etudier localement l'identifiabilit´ed'unparam`etre en´etudiant la fonction de 1 :I( 0 1 ).Elle est nulle en 0 Yw 1 I( 0 1 Yw 1 Z [Log `(y, 1 )]`(y, 0 )dy =Z Yw 1 [(Log `(y, 1 ))]`(y, 0 )dy (en 1 0 :) =Z Yw 0 `(y, 0 `(y, 0 )`(y, 0 )dy =Z Yw 0 `(y, 0 )dy= Yw 0 `(y, 0 )dy =0 5

L'identification de

0 sera d'autant plus ais´ee que la fonction de 1 ,I( 0 1 sera tr`es courbe au voisinage de 0 On appelle information de Fisher la mesure de cette courbure au voisinage de 0 ,c'est-`a-dire le Hessien (matrice des d´eriv´ees secondes) de cette fonction.

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F 0 2 I( 0 0 pour=quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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