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  • Comment résoudre une application linéaire ?

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  • Comment déterminer la matrice d'un endomorphisme ?

    On note D l'endomorphisme de E défini par D(f)=f? pour tout f?E. Donner la matrice de D dans la base ?=(c0,c1,s0,s1).

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  • Quelle est la base canonique de R4 ?

    La base canonique de R4[X] est (1, X, X2,X3,X4), et dimR4[X] = 5. Soit P ? R4[X], alors P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + a4X4, o`u ai ? R,?i.
  • Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}. Le noyau de la projection p := (x,y,z) ?? (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.

Matrices Pascal Lainé

1

Matrices

Exercice 1.

Pour une matrice à une ligne et une colonne de ࣧଵሺԹሻ on posera ሺܽሻൌܽ

Soit ܺ

൱אࣧଷǡଵሺԹሻ, soient ܣ ൱ et ܲ

1. Calculer ܲ ௧ܲ, en déduire que ܲ est inversible et donner ܲ

2. Calculer ܦൌܲିଵܲܣ

3. Calculer ܺ ௧ܺܣ

4. On pose ܺᇱൌܲିଵܺ

Calculer ܺᇱ ௧ܺܦԢ et montrer que ce réel est strictement positif pour ܺ En déduire que pour tout אܺࣧଷǡଵሺԹሻǡܺ Indication : on pourra utiliser les questions précédentes.

Allez à : Correction exercice1

Exercice 2.

Soit ܣ

1. Exprimer ܣ௡ en fonction de ݊. Pour tout ݊א

2. Si ܣ est inversible, calculer ܣିଵ et ܣ௡ pour tout ݊א

Allez à : Correction exercice2

Exercice 3.

Soit ܣ

1. Calculer ܣଶ et ܣଷ. Calculer ܣଷ൅ܣଶ൅ܣ

2. Exprimer ܣିଵ en fonction de ܣଶ, ܣ et ܫ

CORRECTION

Correction exercice1.

1.

Matrices Pascal Lainé

2

Donc ܲ

2. 3. 4. Pour ݔଵᇱ, ݔଶᇱ et ݔଷᇱ non tous nuls

Allez à : Exercice 1

Correction exercice2.

1. Montrons par récurrence que pour tout ݊אԳכ

Ce qui achève la récurrence.

Et pour ݊ൌ-, ܣ଴ൌܫ

2. Regardons si ܣ

Matrices Pascal Lainé

3 Soit ܻൌቀݕଵݕଶቁ et ܺ

Ce qui montre que ܣ

Pour ݊൐-, on connait ܣ

Montrons par récurrence que pour tout ݊אԳכ

Ce qui achève la démonstration

Pour ݉൏-, on pose ݊ൌെ݉

Correction exercice3.

1. 2.

Ce qui montre que ܣ

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