Enseigner la proportionnalité
- L'utilisation des propriétés de linéarité de l'addition et de la multiplication. - Le passage par le rapport interne ou externe (coefficient de.
Proportionnalité (didactique)
Procédure utilisant la propriété de linéarité additive. Nombres et calculs. Grandeurs et mesures. On souhaite calculer 7 ˆ 12. ‚ 7 ˆ 10 “ 70 ;.
1. Aspect « savoir »
4 dec. 2019 propriété de linéarité pour la multiplication). - Procédure par l'utilisation du coefficient de proportionnalité.
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Utiliser des rapports internes entre les nombres pour compléter un tableau. Mise en avant des propriétés de linéarité pour résoudre les problèmes. Problèmes de.
Formation cycle 3 : proportionnalité
Propriétés de linéarité de la multiplication. Si 4 stylos valent 2 euros Passage à l'unité puis coeff. de proportionnalité. Produit en croix. 5ème.
MATHÉMATIQUES Résoudre des problèmes de proportionnalité au
l'addition procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre
QUEST-CE QUUN COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ ?
PROPRIÉTÉ – Quatrième proportionnelle. Soit a b
Cinquième - Proportionnalité - ChingAtome
Déplacement horizontaux (propriété de linéarité) : (+2 exercices pour les enseignants). Exercice 1419. Pour chaque question trouver la valeur de x véri ant
Cours LA PROPORTIONNALITE
5ème …… LA PROPORTIONNALITE. « La Théorie c'est quand on sait tout et que D'après cette propriété de linéarité
GRANDEURS ET MESURES
Utiliser les propriétés de linéarité. Dans le programme de 5ème. Calculer l'aire d'une surface plane par décomposition en surfaces dont les aires sont
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CLASSE : 5ème CONTROLE sur le chapitre : PROPORTIONNALITE La calculatrice est autorisée EXERCICE 1 : /3 points Les tableaux suivants sont-ils des
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Exercice n°3 : Dans un immeuble les charges payées sont proportionnelles à la surface au sol de la propriété pour chacun des propriétaires
La proportionnalité : cours de maths en 5ème à télécharger en PDF
Propriété 1 : Quand on regroupe les valeurs prises par deux grandeurs proportionnelles on obtient un tableau de proportionnalité Propriété 2 : Dans
[PDF] Cours LA PROPORTIONNALITE - Maths en Force !
? Remarque : Cette propriété de multiplication « horizontale » entre les colonnes d'un tableau de proportionnalité s'appelle la « linéarité de la
Proportionnalité : exercices de maths en 5ème en PDF
La proportionnalité et les exercices de maths en 5ème en PDF à télécharger ou à imprimer sur les grandeurs proportionnelles en cinquième
Coefficient de proportionnalité - Cours maths 5ème - Educastream
Il montrera ensuite comment utiliser ce coefficient dans diverses situations avant d'aborder les deux propriétés de linéarité Enfin ce cours étudiera les
[PDF] Les problèmes de proportionnalité 200 problèmes corrigés
Utiliser des rapports internes entre les nombres pour compléter un tableau Mise en avant des propriétés de linéarité pour résoudre les problèmes Problèmes de
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[PDF] Proportionnalité
PROPRIÉTÉ : Homogénéité ou linéarité multiplicative PROPRIÉTÉ : Coefficient de proportionnalité 5ème - Chapitre 9: Proportionnalité N DAVAL
Comment calculer un tableau de proportionnalité 5ème ?
Un tableau est de proportionnalité si pour passer de la première ligne à la seconde ligne, on multiplie toujours par le même nombre, ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité. On dira que les deux grandeurs, correspondant à chaque ligne, sont proportionnelles.Quand utiliser la proportionnalité ?
On parle de proportionnalité lorsqu'il y a un lien entre deux séries de données : on passe de l'une à l'autre série en multipliant par un même nombre. Exemple : quand on achète un produit au kilo, le prix est proportionnel à la masse. Supposons que 1 kg de tomates coûte 2 euros.C'est quoi un nombre proportionnel ?
Deux grandeurs (ou listes de nombres) sont proportionnelles lorsque l'on peut obtenir la deuxième à partir de la première en la multipliant par un même nombre, que l'on appelle coefficient de proportionnalité.- En fin de cycle 3, une nouvelle procédure est abordée, elle utilise le coefficient de proportionnalité. Si 30 kg de café coûtent 600 €. Combien coûtent 13 kg de café ? 600 c'est 30 multiplié par 20, il faut multiplier le nombre de kilogrammes de café par 20 pour en trouver le prix en euros.
ENSEIGNER LA PROPORTIONNALITÉ
Au cycle 3
Introduction
ʃCette notion en prise directe avec la vie courante est un LQŃRQPRXUQMNOH GH PRXPHV OHV GLVŃLSOLQHV VŃLHQPLILTXHV Ń·HVP SRXUTXRL O·LQLPLMPLRQ MX[ UMLVRQQHPHQPV SURSUHV j OM proportionnalité est particulièrement importante. ʃLa notion de proportionnalité est présente dans les situations mathématiques depuis la maternelle. En effet, les jeux G·pŃOMQJH VRQP GpÓj GHV SURNOqPHV UHOHYMQP GH OM proportionnalité.Introduction
Une bille bleue vaut deux billes rouges. Si je te donne 2 billes bleues, combien me donnes-tu de billes rouges ? vaut valent ????Extraits du nombre au cycle III
3La proportionnalité
dans les nouveaux programmesLes nouveaux programmes
CompétencesDomaines
du socleModéliser
delaviequotidienne. multiplicatives,deproportionnalité.1, 2, 4
grandeurs(aire,volume,anglenotamment). instruments Le programme de mathématiques est composé de 3 thèmes -Nombres et calculs -Grandeurs et mesures -Espace et géométrie Résolution de problème, organisation et gestion de données et proportionnalité sont transversales aux 3 thèmesConnaissances et compétences
associées ([HPSOHV GH VLPXMPLRQV G·MŃPLYLPpV HPProportionnalité
Reconnaitre et résoudre des problèmes
relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.Situations permettant une rencontre
avec des échelles, des vitesses constantes, des taux deSRXUŃHQPMJH HQ OLHQ MYHŃ O·pPXGH
des fractions décimales.Mobiliser les propriétés de linéarité
(additives et multiplicatives), de proportionnalité, de passage àO·XQLPp.
Utiliser des exemples de tableaux de
proportionnalité.Nombres et calculs
Connaissances et compétences associéesExemples de situations,G·MŃPLYLPpV HP GH UHVVRXUŃHV SRXU
Proportionnalité
Identifier une situation de proportionnalité
entre deux grandeurs.¾Graphiques représentant des variations
entre deux grandeurs.Comparer distance parcourue et
temps écoulé, quantitéG·HVVHQŃH ŃRQVRPPpH HP
distance parcourue, quantité de liquide écoulée et temps écoulé, etc.Grandeurs et mesures
Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes. Connaissances et compétences associéesExemples de situations,G·MŃPLYLPpV HP GH UHVVRXUŃHV SRXU
Proportionnalité
Reproduire une figure en respectant une
échelle.
¾$JUMQGLVVHPHQP RX UpGXŃPLRQ G·XQH ILJXUHBReproduire une figure à partir
G·XQ PRGqOH O·pŃOHOOH SRXYMQP
être donnée par des éléments
déjà tracés).Espace et géométrie
Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec les deux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes relevant de la proportionnalité. Les 6 compétencesLa proportionnalité est
une modalisation du réel, on est dans le champ MODELISERLa proportionnalité, une modélisation
du réelExemple de cycle de modélisation
3RXU 20 ŃUrSHV LO PH IMXP 8C3 G·±XIVB
Les savoirs
mathématiques4ème
proportionnelleRègles de troisFonction
linéaireCoefficient de
proportionnalitéProduit en croixPassage à
O·XQLPp
Propriétés de
linéarité deO·MGGLPLRQ HP GH
la multiplicationSituation
proportionnelle et non proportionnelleEt vous, vous en savez quoi ?
https://www.plickers.com/liveviewLa règle de trois
La règle de trois utilise deux
procédures de calculs : -IH SMVVMJH j O·XQLPp -Les propriétés de linéarités de la multiplication (deux fois)Le produit en croix
Gâteau46
Prix10 ʙ
4 x ?= 10 x 6
Pour trouver le prix de 6 gâteaux, je multiplie le nombre de gâteaux que je cherche (6) par le prix donné (10ʙ) pour un autre nombre de gâteau (4)La quatrième proportionnelle
Je suis la quatrième
proportionnelleIH SMVVMJH j O·XQLPp
Le coefficient de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles
quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant par le même nombre ² autre que 0 ²toutes les valeurs de l'autre. Le nombre qui permet de passer d'une suite de nombres à l'autre s'appelle le " coefficient de proportionnalité». IM ŃRPSUpOHQVLRQ GH O·XQLPp GX ŃRHIILŃLHQP GH SURSRUPLRQQMOLPp SRVH GHV SURNOqPHV SXLVTX·LO V·MJLP VRXYHQP GX TXRPLHQP GH 2 XQLPpVB La différence entre le coefficient de proportionnalité et le SMVVMJH j O·XQLPp "6 biscuits coûtent 7ʙ20, combien coûtent 10 biscuits ?»Biscuits610
Prix7ʙ2012 ʙX 1,2Biscuits1610
Prix1,2ʙ7ʙ2012 ʙ
12 Q·M SMV G·XQLPp Ń·HVP
OM JUMQGHXU G·XQ
quotient1,2 est un prix
La linéarité de la proportionnalité
Par définition la proportionnalité est une fonction linéaire. proportionnelles quand on a une fonction linéaire (qui se reconnaît au SMVVMJH SMU O·RULJLQH TXMQG RQ PUMŃH OH JUMSOH GH OM IRQŃPLRQ ); aXet donc F(0) = 0 )3URSULpPpV GH OLQpMULPp GH O·MGGLPLRQ
Si deux suites sont proportionnelles, f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) Propriétés de linéarité de la multiplication Si deux suites sont proportionnelles, f(kX) = k f(X)Situations proportionnelles et non
proportionnelles https://www.plickers.com/liveviewIl est important de sensibiliser les élèves à la nécessité de vérifier la plausibilité du
résultat mathématique par rapport à la situation réelle. ([HPSOH OM PMLOOH GH O·HQIMQP TXL GRXNOH TXMQG O·kJHest doublée. On pourra aussi mettre le doigt sur des situations proportionnelles qui restent deO·RUGUH GH OM SUpGLŃPLRQB
Exemple : si 2 pommes pèsent 640g, alors 4 pommes pèsent 1280gLes différentes procédures
-Les conceptions initiales des enseignants -Analyser les procédures induites par les manuels -Les variables didactiques -Analyser les procédures des élèves : procédure expertes ou adaptées ?Conception actuelle des enseignants
Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ? Version 1 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, combien valent 8 bonbons? grandeur, dans la même unité4 bonbons coûtent 2 euros
8 bonbons coûtent ?
proportionnalité rapport interne simple rapport externe simple 37Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ? Version 2 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros, combien valent 8 bonbons?4 bonbons coûtent 2,42
8 bonbons à ?
-à-dire utiliser les relations de linéarité : propriété additive et multiplicative. rapport interne simple rapport externe complexe 40Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons ? Version 3 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUP j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, combien valent 14 bonbons?4 bonbonscoûtent 2 euros
14 bonbonscoûtent ?
proportionnalité rapport interne complexe rapport externe simple 43Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 14 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 8 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons ?Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,
combien valent 14 bonbons ? Version 4 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros, combien valent 14 bonbons?4 bonbonscoûtent 2,42 euros
14 bonbonscoûtent ?
Pas de procédure efficace simple
rapport externe complexe rapport interne complexe 46Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,
combien valent 14 bonbons ?9HQGXV j O·XQLPp MX PrPH PMULI
Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, et que 6
bonbons valent 3ʙ, combien valent 14 bonbons ?HQPURGXŃPLRQ G·XQ PURLVLqPH
couple de donnéesRepérer des régularités
Tester des hypothèses
Diversifier les procédures
6ROXPLRQ H[SHUPH RX MGMSPpH"
Il me faut 2 citrons pour 5 personnes, combien de citrons me faut-il pour 20 personnes ?Elève 1Elève 2
Calcul expert avec prise de risque.
Schématisation simple et efficace
Points de vigilance la proportionnalité
résolution de problèmes multiplicatifs. diverses situations relevant de la proportionnalité auxquelles il peut donner du sens. Il apprend à repérer des situations relevant ou non de la proportionnalité. de sens, parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeudans le problème à résoudre 49Le sens de la proportionnalité (liaison multiplicative entre deux JUMQGHXUV QH GRLP SMV VH SHUGUH MX SURILP G·XQH UHSUpVHQPMPLRQ PMNOHMX RX G·XQH PHŃOQLTXH SURGXLP HQ ŃURL[B Pour parler de proportionnalité avec les élèves, il est important de ne pas systématiser la représentation sous forme de tableau de nombres.
1RXV SRXYRQV UpVXPHU OHV GRQQpHV G·XQ SURNOqPH GH
LQLPLpV HP MYHŃ OHVTXHOV OH Ń{Pp LPSOLŃLPH G·XQ PMNOHMX HVP ŃOMLUHPHQP identifié.Points de vigilance la proportionnalité
Les variables didactiques
IH ŃORL[ GHV YMULMNOHV GLGMŃPLTXHV YM LQGXLUH O·XPLOLVMPLRQ GH O·XQHRX O·MXPUH SURŃpGXUHB
IHV SURŃpGXUHV TXH O·RQ YM PHPPUH HQ pYLGHQŃH VRQP -I·XPLOLVMPLRQ GHV SURSULpPpV GH OLQpMULPp GH O·MGGLPLRQ HP GH OM multiplication. -Le passage par le rapport interne ou externe (coefficient de proportionnalité) -IH SMVVMJH SMU O·XQLPp (le produit en croix).La progressivité
Repères de progressivité
ʃEn CM1, le recours aux propriétés de linéarité (additive et PXOPLSOLŃMPLYH GHVTXHOV $B 6LPMUG ŃRQVLGqUH TX·LO Q·\ M SMV GH différence) est à privilégier dans des problèmes mettant en jeu des nombres entiers. ʃCes propriétés doivent être explicitées, elles peuvent être LQVPLPXPLRQQMOLVpHV GH IMoRQ QRQ IRUPHOOH j O·MLGH G·H[HPSOHV VL Ó·ML 3 IRLV SOXV G·LQYLPpV LO PH IMXGUM 3 IRLV SOXV GH YMLVVHOOHV"B VL 6 stylos coûtent 10 euros alors 3 stylos coûtent 5 euros et 9 stylosŃRPHQP 1D HXURV"B
H03257$1F( G( I·25$I
Repères de progressivité
IHV SURŃpGXUHV GX P\SH SMVVMJH j O·XQLPp RX ŃMOŃXO GX ŃRHIILŃLHQP de proportionnalité sont mobilisées progressivement sur des problèmes le nécessitant en fonction des nombres (entiers ou GpŃLPMX[ ŃORLVLV GMQV O·pQRQŃp RX LQPHUYHQMQP GMQV OHV ŃMOŃXOVBLes nombres sont des variables didactiques
Les relations entre les nombres sont également des variables didactiques10 objets coûtent 22 ʙ, combien coûtent 15 objets
10 objets coûtent 22 ʙ, combien coûtent 18 objets
Repères de progressivité
A partir du CM2, des situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes peuvent être rencontrées. Le sens de O·H[SUHVVLRQ ©%GH ª MSSMUMvPB HO V·MJLP GH VMYRLU O·XPLOLVHU GMQV GHV ŃMV VLPSOHV D0 7D 10 2D RZ MXŃXQH PHŃOQLTXH Q·HVP nécessaire en lien avec les fractions. mais pose question (même difficulté que celle posée par le coefficient).ŃH Q·HVP SMV OM PrPH ŃORVH TXH GH
figure 3 fois plus grande sans donner le début du tracé.Classification des situations de
proportionnalité1 / Problèmes de proportionnalité simple et directe :
a)Les problèmes de 4èmeproportionnelle Ce sont des problèmes où trois nombres sont connus, on cherche le quatrièmeClassification des situations de
proportionnalité1 / Problèmes de proportionnalité simple et directe :
b) Problèmes à questions successives Ce sont des problèmes identiques à la situation précédente, mais il faut chercher plusieurs quatrièmes proportionnelles, les résultats sont dépendants les uns des autresClassification des situations de
proportionnalité2/ Problèmes de proportionnalité simple composée :
Ce sont des problèmes faisant intervenir la composition de deux ou plusieurs relations de proportionnalité simple. IM GLIILŃXOPp UpVLGH GMQV O·RUJMQLVMPLRQ GHV GRQQpHV j PHPPUH HQ UHOMPLRQ HP GMQV OH ŃORL[ de la combinaison des résultats intermédiaires.Classification des situations de
proportionnalité3/ Problèmes de proportionnalité multiple (ou double) :
Ce sont des problèmes dans lesquels une grandeur est simultanément proportionnelle à plusieurs grandeursNombre de jours15177
Nombre de
personnes11312Prix en ʙ10ʙ50ʙ30ʙ70ʙ140ʙ
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] centre de gravité triangle
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