Enseigner la proportionnalité
- L'utilisation des propriétés de linéarité de l'addition et de la multiplication. - Le passage par le rapport interne ou externe (coefficient de.
Proportionnalité (didactique)
Procédure utilisant la propriété de linéarité additive. Nombres et calculs. Grandeurs et mesures. On souhaite calculer 7 ˆ 12. ‚ 7 ˆ 10 “ 70 ;.
1. Aspect « savoir »
4 dec. 2019 propriété de linéarité pour la multiplication). - Procédure par l'utilisation du coefficient de proportionnalité.
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MATHÉMATIQUES Résoudre des problèmes de proportionnalité au
l'addition procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre
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Coefficient de proportionnalité - Cours maths 5ème - Educastream
Il montrera ensuite comment utiliser ce coefficient dans diverses situations avant d'aborder les deux propriétés de linéarité Enfin ce cours étudiera les
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PROPRIÉTÉ : Homogénéité ou linéarité multiplicative PROPRIÉTÉ : Coefficient de proportionnalité 5ème - Chapitre 9: Proportionnalité N DAVAL
Comment calculer un tableau de proportionnalité 5ème ?
Un tableau est de proportionnalité si pour passer de la première ligne à la seconde ligne, on multiplie toujours par le même nombre, ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité. On dira que les deux grandeurs, correspondant à chaque ligne, sont proportionnelles.Quand utiliser la proportionnalité ?
On parle de proportionnalité lorsqu'il y a un lien entre deux séries de données : on passe de l'une à l'autre série en multipliant par un même nombre. Exemple : quand on achète un produit au kilo, le prix est proportionnel à la masse. Supposons que 1 kg de tomates coûte 2 euros.C'est quoi un nombre proportionnel ?
Deux grandeurs (ou listes de nombres) sont proportionnelles lorsque l'on peut obtenir la deuxième à partir de la première en la multipliant par un même nombre, que l'on appelle coefficient de proportionnalité.- En fin de cycle 3, une nouvelle procédure est abordée, elle utilise le coefficient de proportionnalité. Si 30 kg de café coûtent 600 €. Combien coûtent 13 kg de café ? 600 c'est 30 multiplié par 20, il faut multiplier le nombre de kilogrammes de café par 20 pour en trouver le prix en euros.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
La résolution des problèmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Les problèmes quaternaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Les langages pour exprimer la proportionnalité
. . . . . . . . . . . . . . . . .8 Résolution d"un problème de proportionnalité p ar différentes procédures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Les problèmes particuliers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Les énoncés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27Les facteurs de difficultés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29La mise en oeuvre dans les classes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Les procédures dans les ma
nuels scolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Comment utiliser les problèmes présentés dans cet ouvrage ? . . .35 Complémentarité entre l"ouvrage et les carnets "élèves» . . . . . . . .36Un exemple de séquence d"enseignement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Un exemple de progression en cycle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Synthèse des procédures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Tableau récapitulatif des procédures et problèmes associés . . . . . .54Les problèmes et leurs corrigés
Les problèmes usuels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Thème 1.Problèmes de recherche de la quatrième proportionnelle . .59 Thème 2.Problèmes de division (partition et quotition) . . . . . . . . . .73Proportionnalité ou pas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Thème 3.Tableaux
et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Thème 4.Compréhension du monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 Thème 5.Problèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Les problèmes complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Thème 6.Problèmes de partages proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . .97Thème
7.Problèmes de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
Thème 8.Problèmes d"échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Thème 9.Problèmes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 Thème 10.Problèmes de proportionnalité simple composée . . . . .115Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117Annexes
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Résumé des procédures accessibles à un élève . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
3Les problèmes de proportionnalité
200 problèmes corrigés
Sommaire
De manière très succincte, les programmes 2008 indiquent qu"au cycle 3, il s"agit de "Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcen- tages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d"unité, en utilisant des procé- dures variées (dont la " règle de trois)». Ainsi la " règle de trois » réapparaît après une longue absence à l"école primaire. Les ensei- gnants doivent donc se réapproprier cette procédure dont les fondements et les acceptions ont largement varié au cours du temps. Plus généralement, ce retour invite à une réflexion sur l"enseignement de la proportionnalité dont les éléments constitutifs ont évolué. Malgré la réap- parition des problèmes dits " de la vie courante » dans les programmes, les types et formes d"énoncés se sont adaptés aux besoins des futurs citoyens. Exit les problèmes de robinets qui fuient, ils laissent la place à des énoncés séman- tiquement plus riches, à la lecture de tableaux, à la création et compréhension de graphiques... Le niveau d"exigence a également changé. La tâche des enseignants s"est complexifiée : il ne suffit plus d"apprendre aux élèves à résoudre une seule catégorie de problèmes de proportionnalité avec une méthode standard telle que la règle de trois. À la fin de la scolarité obligatoire, les élèves doivent pouvoir résoudre des problèmes variés, de manière plus pertinente, plus rapide, plus efficace. Ils doivent approcher le paradigme de la proportionnalité. Comment atteindre ces objec- tifs?L"ambition de cet ouvrage est de permettre au
lecteur d"appréhender la modélisation implicite-ment contenue dans l"énoncé du problème, de
clarifier les procédures de résolution et de s"ap- proprier la puissance du concept. Des propositions de mise en oeuvre sont aussi apparues comme essentielles.Cet ouvrage propose d"abord une mise au point
théorique et didactique puis il présente 200 pro- blèmes corrigés relevant ou non de la proportionnalité et conçus à partir des assertions suivantes. La première idée est qu"un tel concept ne peut se concevoir sans être mis en relation avec les concepts de grandeurs et mesures, de structure multiplicative, de nombres, de fonction linéaire. La seconde idée est qu"un tel concept se rencon- tre dans au moins trois registres différents : numérique, graphique, géométrique. C"est l"inter- action entre ces différents registres qui permet aux connaissances de se construire. La troisième idée est que l"obstacle le plus coriace se situe entre la reconnaissance du modèle mathéma- tique et son traitement. Après lecture des énoncés, examen des données numériques et identification d"une situation liée à la proportion- nalité, deux étapes sont privilégiées dans l"ouvrage : la mise en tableaux et l"appui sur un choix raisonné de procédures. Enfin, même si à l"école élémentaire la proportionnalité n"en est qu"à ses prémices, il ne s"agit pas d"éliminer les difficultés, mais de les graduer et de se situer dans un niveau de complexité à la portée cogni- tive des élèves. Afin de ne plus laisser les élèves démunis face à ces problèmes réputés ardus, la diversité des énoncés et des procédures proposées leur per- 5Les problèmes de proportionnalité
200 problèmes corrigés
Introduction
sans problèmeLa proportionnalité
6200problèmescorrigés
mettra d"accéder au sens de la proportionnalité e t de faire des liens avec les problèmes référents proposés dans le résumé. Les problèmes de l"ouvrage sont majoritairement quaternaires : les énoncés mettent en jeu trois nombres et il faut en chercher un quatrième. Ils relèvent de situations de division, de proportion- nalité simple (ou de non proportionnalité), de conversions, de comparaisons, d"échelles, de pourcentages et de mesures quotients (vitesse moyenne). La notion d"agrandissement au sens géométrique a volontairement été évacuée ainsi que la propor- tionnalité multiple.L es problèmes sont gradués selon quatre niveaux d e différenciation figurés par un système d"étoiles. Ils concernent des élèves de CM1/ CM2, mais également de début de collège. Ils sont d"abord classés par grandes catégories, puis par procédures de résolution. Les enseignants pourront suivre cette organisation s"ils souhaitent privilégier une approche " automatisée ». Mais, pour éviter que les élèves, alertés par le titre, ne résolvent les problèmes de façon trop mécanique, il convient de mélanger les divers énoncés. Pour cela, ils pourront utiliser avec profit les carnets "élèves ». sans problèmeLa proportionnalité
48200problèmescorrigés
Un exemple de progression en cycle 3
Période 1Période 2Période 3Période 4Période 5 Calcul mémorisé : révision des tables : a x b = ? ; a x ? = c ; ? x b = c . Relation (s) entre les nombres inscrits dans un tableau.Calcul réfléchi (aspect additif).
Utilisation de calculatrices afin de déterminer les relations " simples » entre les nombres d"un tableau.
Calcul
cycle 3Pbs multiplicatifs ou divisifsProportionnalité
CM1ProcéduresProblèmes
associésProblèmes de
proportionnalité recherche de quatrième proportionnelleProblèmes de
comparaisonPropriétés de
linéarité; utilisation du coefficient de proportionnalité et réduction à l"unité (règle de trois).Quelques problèmes de partages proportionnelsProblèmes de
pourcentages, d"échelles, de vitesses.Propriétés de
linéarité; utilisation du coefficient de proportionnalité et réduction à l"unité (règle de trois).Problèmes multiplicatifs et problèmes de division quotition et de division partition.Observer des tableaux de nombres, tableaux de proportionnalité et de non proportionnalité.Situations de
proportionnalité et de non proportionnalité.Organisation de
données dans un tableau.Cas simples.
Utiliser des rapports
internes entre les nombres pour compléter un tableau.Mise en avant des
propriétés de linéarité pour résoudre les problèmes.Problèmes de proportionnalité recherche de quatrième proportionnellePremières
représentations graphiques : situations de proportionnalité et de non proportionnalitéApprendre à
construire et à lire un graphique.Propriétés de linéarité
et coefficient de proportionnalité.Niveaux de difficulté
? et ??Les précédentes et
33-34-35-36-44-
45-83-84-89-90-
91- 128-129-130-
131-137-138Niveaux de difficulté
? et ??Les précédentes et
46-47-48-141-145-
146-147-152-155-
156-157-158-164 -
165-166-168-169-
170- 171-172-173-
174-184-185-186-
187-188-189-195Niveaux de difficulté
? et ??1-2-3-4-5-20-21-
61-62-63-96-97-98-
99-100-101-113-
114-115-116-117-
118Niveaux de difficulté
? et ??Les précédentes et
6-7-8-9-10-22-23-
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