[PDF] Résolution dune inéquation Si on multiplie ( ou divise )

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? Les symboles utilisés ( symbole d"inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur £ plus petit ou égal inférieur ou égal inférieur inférieur ou égal > plus grand supérieur strictement supérieur strictement supérieur ³ plus grand ou égal supérieur ou égal supérieur supérieur ou égal

Exemples :

3 < 7 mais 3 < 3

2

£ 6 et 2 £ 2

5 > -3 mais 5 > 5 10

³ 8,37 et 10 ³ 10

Notion d"inéquation :

Une écriture du type " 2

x + 1 < 7 » s"appelle une inéquation. ( notion à rapprocher de la notion d"équation ) Equation Egalité Exemple : 2x + 1 = 7 Inéquation Inégalité Exemple : 2x + 1 < 7 Dans cette écriture, la lettre x s"appelle l"inconnue.

Résoudre une inéquation ( comme une équation ) , c"est déterminer, si elles existent, les valeurs de

l"inconnue qui vérifient l"inégalité ( c"est à dire qui rendent vraie l"inégalité )

Par exemple, en reprenant l"inéquation 2x + 1 < 7, nous constatons que :

· 1 est solution de l"inéquation , car, en remplaçant x par cette valeur 1, le premier membre est

égal à

3 soit , 1 2 soit , 1 1 2++´ et 3 est inférieur à 7 (7 3< )

· 5 est également solution car 9 - 1 10 - 1 ) 5 - ( 2=+=+´ et 7 -9<

4 n"est pas une solution , car 9 1 8 1 4 2=+=+´ et 9 n"est pas inférieur strictement à 7 (

l"écriture

7 9< est fausse )

· 3 n"est pas solution, car 7 1 6 1 3 2=+=+´ et 7 n"est pas strictement inférieur à 7 ( Remarquons

que 3 est solution de l"inéquation 2 x + 1 £ 7

THEME :

RESOLUTION D"UNE

INEQUATION

? Propriétés utilisées dans la résolution d"une inéquation :

Si on ajoute un même nombre aux

deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b alors a + c < b + c

Exemple :

2 < 5 , donc 2 + 8< 5 + 8

Si on retranche ( soustrait ) un même

nombre aux deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b alors a - c < b - c

Exemple :

7 < 10 , donc 7 - 3< 10 - 3

Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b et c > 0 alors a ´ c < b ´ c

Si a < b et c > 0 alors c

a < c b

Exemple :

2 < 3 , donc 5 3 5 2´´< 10 < 15 , donc 5

15 5 10< Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.

Si a < b et c < 0 alors a ´ c > b ´ c

Si a < b et c < 0 alors c

a > c b

Exemple :

2 < 3 , donc ) 12 - 8 - car ( ) 4 - ( 3 ) 4 - ( 2>>´´ et 10 < 15 , donc ) 3 - 2 - ( 5-

15 5- 10>>

Les expressions situées de part et

d"autre du symbole d"inégalité s"appellent, comme pour une

équation , des membres.

Membre de gauche

Membre de droite

ATTENTION ! CHANGEMENT DE SENS DE L"INEGALITE

Remarque :Analogie avec la Physique

Une inégalité ( ou une inéquation )

Si a < b alors a + c < b + c

Si nous ajoutons aux objets de masses a et b , une même quantité c, alors le déséquilibre sera le même.

De même, si nous retranchons la même quantité , le déséquilibre restera le même.

En ce qui concerne la multiplication ( et la division), l"analogie physique est plus difficile ( la multiplication

n"étant pas une opération " naturelle » ) ?Exemples ? Résoudre l"inéquation 2x + 1 < 7

2x + 1 < 7

2x < 7 - 1

2 x < 6

x < 2 6 x < 3

Les solutions ont tous les nombres inférieurs strictement à 3. Par exemple -10 ; -2458,72 ; - 0,3 ; 2,57

sont des solutions . Il y a donc une infinité de solutions.

Cet ensemble infini de solutions peut être représenté graphiquement ( représentation graphique ) :

Représentation graphique :

Considérons une droite graduée

La valeur limite déterminée par la résolution de l"inéquation est 3. Plaçons ce nombre.

Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3. Ces nombres sont situés, sur cet axe , à

gauche du nombre 3. Résolution de l"équation " associée » :

2x + 1 = 7

2 x = 7 - 1 2 x = 6 x = 2 6 x = 3

La solution est

3

Si ALORS

2 est un nombre positif

Dans notre exemple, les solutions sont les nombres x qui vérifient x < 3. Si nous avions comme ensemble

solution, les nombres qui vérifient x £ 3 , la représentation graphique serait identique.

Pour différencier ces deux cas, nous allons préciser sur le dessin si le nombre limite ( ici 3 ) fait partie

des solutions ou non.

Nous dessinerons un crochet de ce type ( voir dessin ) sur le nombre 3 pour préciser que 3 n"appartient

pas aux solutions ( pour préciser que 3 est en dehors des solutions )

Remarque :

Si notre ensemble solution était x £ 3 ( nombres inférieurs ou égaux à 3 ) , le nombre 3 serait solution.

Pour le préciser sur la représentation graphique , il suffirait de mettre un crochet de ce type ( voir

dessin ci-dessous ). Ce crochet indique que 3 appartient aux solutions , c"est à dire que nous " prenons »

3 dans l"ensemble des solutions.

? Résoudre l"inéquation - 3x + 2 < 8

Résolution :

Nous avons successivement :

- 3 x + 2 < 8 - 3 x < 8 - 2 - 3x < 6

Nous devons, à ce stade, diviser par le nombre

situé devant l"inconnue x, c"est à dire - 3.

Ce nombre est négatif.

La dernière propriété mentionnée ci-dessus , précise que : Si on divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif , on obtient une inégalité de sens contraire.

Nous pouvons donc diviser par - 3, mains attention , nous devons changer le sens de l"inégalité !

x > 3 - 6

Nous obtenons donc :

x > - 2

Représentation graphique :

? Résoudre l"inéquation 5x + 1 ³ 3x - 2

Résolution :

- 3 est un nombre négatif . Il y a donc un changement de sens de l"inégalité

Solutions

Solutions

Précisez la couleur

représentant l"ensemble des solutions ou mieux,

écrivez le mot

" Solutions »

Solutions

Nous avons successivement ( comme pour une équation ) :

5x + 1 ³ 3x - 2

5 x - 3x ³ - 2 - 1 Soit

2x ³ - 3

Nous devons maintenant diviser par 2.

Ce nombre est positif

. Il n"y a donc aucun problème.

On continue :

2

3 -³x

2

3-³x

Représentation graphique :

1,5 - 2

3=- ? Résoudre l"inéquation 2x - 1 £ 5x - 3

Résolution 1 :

2x - 1 £ 5x - 3

2 x - 5x £ - 3 + 1 - 3 x £ - 2

Nous devons maintenant diviser par - 3.

Ce nombre est négatif

. Nous pouvons donc diviser , mais il faut alors changer le sens de l"inégalité.

Nous obtenons alors :

x 3 -

2 -³

3

2³x

Résolution 2 :

La seule difficulté, dans la résolution d"une inéquation, est la présence d"un nombre négatif devant

l"inconnue. Nous pouvons y remédier en procédant comme suit : 2 x - 1 £ 5x - 3 - 1 + 3

£ 5x - 2x

2

£ 3x

Le nombre 3 situé devant l"inconnue x est positif. Nous devons donc , à ce stade, diviser par le nombre

positif . Il n"y a aucun problème. x£ 3 2 Pour une meilleure lecture, nous écrirons l"inconnue x en tête. Nous avons donc : 3

2³x

Nous retrouvons le même ensemble de solutions.

Remarque :

Changer l"écriture x£ 3

2 en 3

2³x n"est pas un changement de sens de l"inégalité ( la pointe du symbole

d"inégalité est, dans les deux cas, dirigée vers 3

2 ). Si 3

2 est inférieur ou égal à x, alors x est supérieur

ou égal à 3 2.

Représentation graphique :

0,66 3

2» ? Résoudre l"inéquation 2( 3x - 1 ) £ 2 ( x + 1 )

Résolution :

Nous obtenons successivement :

2( 3 x - 1 ) £ 2 ( x + 1 ) 6 x - 2 £ 2x + 2 6 x - 2x £ 2 + 2 4 x £ 4 x £4

4 ( 4 est positif )

x £ 1

Représentation graphique :

? Résoudre l"inéquation 2( 2x - 3 ) - ( 2x + 1 ) £ 2 ( x + 1 )

Résolution :

Nous obtenons successivement :

4 x - 6 - 2 x - 1 £ 2 x + 2 4 x - 2 x - 2 x £ 2 + 6 + 1 0 x £ 9 Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s"arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l"inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 est inférieur à 9, tous les nombres sont solutions ? Résoudre l"inéquation 2( x + 3 ) - ( x + 1 ) £ x + 2

Résolution :

Solutions

Solutions

Nous obtenons successivement : 2(

x + 3 ) - ( x + 1 ) £ x + 2 2 x + 6 - x - 1 £ x + 2 2 x - x - x £ 2 - 6 + 1 0 x £ - 3 Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s"arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l"inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 n"est pas inférieur à - 3, cette inéquation n"a pas de solution ? Résolution d"un système d"inéquations :

Dans certains problèmes, nous sommes amenés à chercher les solutions communes à plusieurs inéquations

( 2 , 3 , 4 , ...inéquations )

Résoudre

le système ??£<+1 2 - 3 -

5 1 2

x x c"est chercher les solutions communes à l"inéquation 2 x + 1 < 5 et à l"inéquation - 3 x - 2 £ 1.

Méthode :

Pour déterminer les solutions communes à ces deux inéquations, il suffit de déterminer les solutions de la

première inéquation, de déterminer les solutions de la deuxième inéquation ( puis de la troisième s"il y a

une troisième inéquation , etc. ), puis de déterminer les solutions communes .

Résolution :

? Résolution de 2 x + 1 < 5 : 2 x + 1 < 5 2 x < 5 - 1 2 x < 4 x <2

4 ( 2 est positif )

x < 2 ? Résolution de - 3 x - 2 £ 1 : - 3 x - 2 £ 1 - 3 x £ 1 + 2 - 3 x £ 3 x 3 -

3³ ( - 3 est négatif , donc changement de sens de l"inégalité )

x 1-³ ? Résolution du système ( solutions communes ) :

Représentation graphique :

Sur un axe , représentons graphiquement les solutions des deux inéquations ( en rouge , les solutions de

la première inéquation et en bleu, les solutions de la deuxième inéquation Les solutions communes aux deux inéquations sont tous les nombres rouges et bleus.

Nous avons donc :

Ecriture mathématique :

Les solutions du système sont donc tous les nombres supérieurs ou égaux à - 1 , mais inférieurs

strictement à 2 . Les solutions sont donc tous les nombres compris entre - 1 et 2

Nous écrirons :

2 x 1<£-

? Résoudre le système d"inéquations suivant : ??>+>+3 1 2

2 - 4 3

x x

Résolution :

? Résolution de 3 x + 4 > - 2 : 3 x + 4 > - 2 3 x > - 2 - 4 3 x > - 6 x > 3

6- ( 3 est positif )

x > - 2 ? Résolution de 2 x + 1 > 3 : 2 x + 1 > 3 2 x > 3 - 1 2 x > 2 x > 2

2 ( 2 est positif )

x > 1 ? Résolution du système ( solutions communes ) :

Représentation graphique :

Ecriture mathématique :

x > 1 ? Résoudre le système d"inéquations suivant : ??£+£-3 - 1 2

2- 1 4-

x x

Solutions du système

Solutions du système

Résolution :

? Résolution de - 4 x - 1 £ - 2 : - 4 x - 1 £ - 2 - 4 x £ - 2 + 1 - 4 x £ - 1 x ³ 4 1 -- ( - 4 est négatif , donc changement de sens de l"inégalité ) x 4 1³ ? Résolution de 2 x + 1 £ - 3 : 2 x + 1 £ - 3 2 x £ - 3 - 1

2 x £ - 4

x £ 2

4- ( 2 est positif )

x £ - 2 ? Résolution du système ( solutions communes ) :

Représentation graphique :

Les solutions du système sont tous les nombres colorés en rouge et en bleu. Il n"y en a aucun ici.

Ecriture mathématique :

Le système n"a pas de solution.

? Résoudre le système d"inéquations suivant : ??£³+3 - 5 - 2 4 13 x x

Résolution :

? Résolution de 3 x + 1 ³ 4 : 3 x + 1 ³ 4 3 x ³ 4 - 1 3 x ³ 3 x ³ 3

3 ( 3 est positif )

x ³ 1 ? Résolution de 2 x - 5 £ - 3 : 2 x - 5 £ - 3

2 x £ - 3 + 5

2 x £ 2 x £ 2

2 ( 2 est positif )

x £ 1 ? Résolution du système ( solutions communes ) :

Représentation graphique :

Le seul nombre coloré en rouge et en bleu est le nombre 1.

Ecriture mathématique :

Le système a une seule solution 1

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