[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 2 Équations différentielles linéaires du

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Math S2 PeiP

Chapitre 2

Équations différentielles linéaires

du second ordre

Michel Rumin

1 Présentation et généralités

Nous allons étudier les équations différentielles de la forme (E) :ay00+by0+cy=f; oùfest une fonction (connue) définie sur un intervalleIdeR, eta,b,ctrois réels avec a6= 0. On cherche àintégrer(ourésoudre) l"équation (E), c"est-à-dire à trouver toutes les fonctionsy:x7!y(x)solutions de (E) de I.

1.1 Exemples issus de la physique

Les équations de type (E) se rencontrent dans différents domaines en physique. Mécanique : oscillateur forcé amorti.On considère une masse m se déplaçant sur la droiteR. On notex(t)sa position à l"instantt. Cette masse est soumise à 3 forces : une force de rapp elélastique f1=kx(t)(kconstante0), une force de frottemen tfluide f2=Cx0(t), proportionnelle à la vitesse de m et opposée au mouvement (C0), une force d"en traînementextérieure fe, par exemple la gravité, un champ électrique si mest chargée... Le principe de la dynamique de Newton s"écrit : mx

00(t) =Xforces =kx(t)Cx0(t) +fe(t);

21 PRÉSENTATION ET GÉNÉRALITÉSc"est-à-dire

mx

00(t) +Cx0(t) +kx(t) =fe(t);(1)

qui est bien du type étudié (E). On voudrait connaître le mouvement de m en fonction de la force extérieurefeet des conditions initiales : positionx(t0)et vitessex0(t0)à un instantt0.

Électricité : système RLC.Ici, on considère un circuit électrique constitué d"une ré-

sistanceR, d"une bobine (inductance)Let d"une capacitéCmis en série. L"ensemble est soumis à une tension (extérieure)U(t).

Soiti(t)l"intensité dans le circuit. On a :

UR=Ri(t): loi d"Ohm,

UL=Li0(t)(=Ldidt

, en notation physique), UCdétermine la charge du condensateurQ(t) =CUC(t)avecdQdt =i(t) =CU0C(t).

D"où

U(t) =UR(t) +UL(t) +UC(t) =Ri(t) +Li0(t) +UC(t);

et en dérivant U

0(t) =i(t)C

+Ri0(t) +Li00(t);(2) qui est aussi une équation différentielle du type (E), aveci(t)fonction inconnue etU(t) tension extérieure imposée (par exempleU(t) = 0si le circuit est fermé).

1.2 Généralités

Structure de l"espace des solutions.On associe à (E) une équationhomogène(ou équation sans second membre)

(H) :ay00+by0+cy= 0: Théorème 1.1.Soity0unesolution (dite particulière) de (E). Alorstoute (autre) solutionyde (E) s"écrit sous la forme y=y0+yH;

oùyHest une solution de l"équation homogène (H).Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

1.2 Généralités3Démonstration.C"est un phénomène général pour les équations (différentielle ou non)li-

néairesavec un second membre. Soity0une solution particulière de (E). Alors une fonction yest une (autre) solution de (E) si et seulement si ay

00+by0+cy=f=ay000+by00+cy0

()a(yy0)00+b(yy0)0+c(yy0) = 0 ()yy0=yHest une solution de l"équation homogène (H).Pour résoudre (E) nous devons donc : 1. trouv ertoutesles solutions de l"équation homogène (H), 2.

et trouv erau moins unesolution particulière de (E).Calculs avec des fonctions à valeurs complexes.Nous allons voir que les équations

homogènes (H) ont en général des solutions oscillantes, amorties ou non, du type y

H(x) =C1excos(!x) +C2exsin(!x):(3)

Dans la pratique, il est plus efficace pour dériver ce genre de fonctions de travailler avec des fonctions à valeurs complexes. Siy:I!C, on a y=y1+iy2avecy1=Re(y) ety2=Im(y):

Par exemple, la fonctionyHs"écrit simplement

y

H(x) =Re(Cerx) avecC=C1iC2etr=+i! :

Siy1ety2sont des fonctions dérivables à valeurs réelles, ety=y1+iy2à valeurs complexes, on pose y

0=y01+iy02:

Ceci signifie que dérivée, partie réelle et imaginaire sont compatibles :

Re(y0) =Re(y)0etIm(y0) =Im(y)0:

On admet la proposition suivante.Proposition 1.2.Pour les fonctions à valeurs complexes, les règles de dérivation clas-

siques : somme, produit et composition, restent valables. Comme cas particulier intéressant ici, on a pourrcomplexe (erx)0=rerxet (xnerx)0=nxn1erx+rxnerx:(4) Cela peut bien sûr se vérifier à la main. Par exemple, pouryH=Re(Cerx)dans (3), on a y

0H=Re(Crerx) ety00H=Re(Cr2erx):Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

42 SOLUTIONS DE L"ÉQUATION HOMOGÈNEPrincipe de superposition.La remarque suivante est évidente mais utile en pratique.Proposition 1.3(Principe de superposition.).Siy1satisfaitay001+by01+cy1=f1, ety2

satisfaitay002+by02+cy2=f2, alorsy=y1+y2satisfait ay

00+by0+cy=f1+f2:

2 Solutions de l"équation homogène

La méthode pour résoudre l"équation différentielle homogène (H) est la suivante. Théorème 2.1.Soit (H) l"équation homogèneay00+by0+cy= 0.L"équation carac- téristiquede (H) est :ar2+br+c= 0. On calcule le discriminant =b24acet les racines (éventuellement complexes)r1etr2. Si>0, les racinesr1etr2sont réelles distinctes et la solution réelle générale de (H) est y=C1er1x+C2er2xavecC1;C22R(régime apériodique). Si = 0, on a une racine réelle doubler=b2a, et la solution réelles générale de (H) s"écrit y=C1erx+C2xerxavecC1;C22R(régime critique). Si<0, on a deux racines complexes conjuguées :r1=+i!etr2=r 1=i!.

Les solutionscomplexesde (H) s"écrivent :

y=C1er1x+C2er2xavecC1;C22C; et les solutionsréellesde (H) sont :

y=C01cos(!x)ex+C02sin(!x)exavecC01;C022R(régime pseudo-périodique).Remarques2.2.-Ces solutions son td éfiniesp ourtout x(surI=R).

L "ensemblede ces s olutions,dép endantde deux paramètres, s"app ellentla solution généralede (H). Démonstration.On vérifie que les solutions proposées conviennent. Soity=erxavecr2C. Alors d"après la proposition 1.2, on ay0=rerxety00=r2erx, d"oùyest solution de (H) ssi ay

00+by0+cy= 0 = (ar2+br+c)erx()ar2+br+c= 0;Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

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c"est-à-dire ssirest racine de l"équation caractéristique. Si le discriminant6= 0, on a deux

racines complexes distinctes et deux solutionsy1=er1xety2=er2x. Si = 0, on a une racine doubler=b2aet qu"une solution (pour l"instant). On considèrey=xerx. On a y

0= (1 +rx)erxety00= (2r+r2x)erx, d"où

ay

00+by0+cy= (a(2r+r2x) +b(1 +rx) +cx)erx

= (2ar+b+x(ar2+br+c))erx= 0: Dans tous les cas, on a obtenu deux solutionsy1ety2de (H). Alors, d"après le principe de superposition (ou linéarité de (H)), les fonctions y=C1y1+C2y2; avecC1etC2complexes sont toutes des solutions complexes de (H), proposées dans l"énoncé. On vérifie que les solutions obtenues sont les seules possibles. Soitrune racine carac- téristique etyune solution quelconque. On peut l"écrire sous la formey(x) =z(x)erxcar e rx6= 0. On a alors : y

0= (z0+rz)erxety00= (z00+ 2rz0+r2z)erx;

d"où ay

00+by0+cy= 0 = (az00+ (2ar+b)z0+ (ar2+br+c)z)erx

= (az00+ (2ar+b)z0)erx= 0 ()az00+ (2ar+b)z0= 0: C"est une équation différentielledu premier ordre1en'=z0 a'

0+ (2ar+b)'= 0:

Ces solutions sont

z

0='=(C01e(2r+ba

)xsi 2ar+b6= 0,r6=b2a,6= 0; C

01sir=b2a, = 0:

d"où en intégrant z=(C

1e(2r+ba

)x+C2si 6= 0; C

1x+C2si = 0:

Finalement,

P our6= 0,y(x) =z(x)erx=C2erx+C1e(ba

r)xoùr0=ba rest l"autre racine caractéristique.

P our = 0,y(x) =z(x)erx= (C1x+C2)erx.

On a donc obtenu toutes les solutions complexes de (H). Passage aux solutions réelles.Siyest une solution complexe de (H), on a aussi ay 00+by

0+cy=ay

00+by0+cy= 0cara,b,csont réels. D"où par superposition Re(y) =y+y

2 et Im(y) =yy

2isont solutions réelles de (H). Inversement, les solutions réelles sont complexes.1. C"est pourquoi cette technique s"appelle méthode de la réduction de l"ordre.

Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

62 SOLUTIONS DE L"ÉQUATION HOMOGÈNEExemple.On reprend l"exemple (1) de l"oscillateur (amorti) libre (sans force d"entraîne-

ment) mx

00(t) +Cx0(t) +kx(t) = 0:

L"équation caractéristique estmr2+Cr+k= 0, d"où =C24km. On étudie le compor- tement des solutions en fonction de taille du coefficient de frottementC. SiC2>4km, le coefficient de frottementCest grand, et on a deux racines réelles r

1;2=CpC

24km2m. Ces deux racines sont négatives et les solutions sont de la forme

x(t) =C1er1t+C2er2t; exponentiellement décroissantes en temps. C"est un cas de retour rapide vers l"équilibre, apériodique (sans oscillation) parfort amortissement. SiC2= 4km, on a = 0et une racine doubler=C2m<0et les solutions sont x(t) =C1ert+C2tert rapidement décroissantes également. C"est le régime dit critique. SiC2<4km, le coefficient de frottement est faible. On a<0et des racines complexes conjuguées r

1;2=CpC

24km2m=C2mirk

m C2m: On a des solutions oscillantes avec amortissement vers la position d"équilibre (si le coefficient de frottementC >0) x(t) =C1cos(!t)et+C2sin(!t)et; avec=C2met!2=km

C"est le régimepseudo-périodique.

Un cas particulier important est celui de l"oscillateur non amorti avecC= 0. L"équation est mx

00(t) +kx(t) = 0()x00+!20x= 0Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

7 avec!0=rk m . On a ici x(t) =C1cos(!0t) +C2sin(!0t): Le système oscille indéfiniment à safréquence propre!0=2, c"est un mouvementpério- diquede périodeT= 2=!0.

3 Recherche d"une solution particulière

Nous cherchons une solution particulière de l"équation avec second membreflorsqu"il est du type polynômeexponentielle complexe :f(x) =P(x)esx.2

Théorème 3.1.Soit

(E) :ay00+by0+cy=P(x)esx avecPun polynôme de degrénets2C. Alors, (E) possède une solution particulièrey0 de la forme : y0=Q(x)esxsisn"est pas racine de l"équation caractéristiquear2+br+c= 0, y0=xQ(x)esxsisest racine simple dear2+br+c= 0, y0=x2Q(x)esxsisest racine double dear2+br+c= 0.

Dans tous les cas,Qest un polynôme de même degrénqueP.Il n"y a pas de formule générale simple pourQ, on cherche la solution sous la forme proposée

avecQ(x) =a0+a1x+anxninconnu, et on résout le système linéaire correspondant. Exemples.Résoudre (E) :y00+y02 =e2x. L"équation caractéristique estr2+r2 = 0 a pour racinesr= 1etr=2. Les solutions du système homogène sontyH=C1ex+C2e2x. Comme2n"est pas racine caractéristique alors il existe une solution particulière de (E) du typey0=Ce2x. On a alors y

000+y002y0= 4Ce2x+ 2Ce2x2Ce2x= 4Ce2x;

ety0est solution de (E) pourC=14 . Les solutions de (E) sont donc les fonctions y=y0+yH=14 e2x+C1ex+C2e2xavecC1; C2réels. Résoudre (E) :y00+y02 =e2x. Le système homogène est le même que ci-dessus, mais désormais l"exposant2(dee2xdans le second membre) est racine caractéristique. On cherche donc une solution particulièrey0sous la formey0=Cxe2x. On a y

00=C(12x)e2xety000=C(22(12x))e2x=C(4x4)e2x;2. Il existe une méthode générale appelée " variation de la constante », à voir en L2.

Notes de cours S2 PeiP année 2013-2014Michel Rumin

83 RECHERCHE D"UNE SOLUTION PARTICULIÈREd"où

y

000+y002y0=C(4x4 + 12x2x)e2x=3Ce2x

ety0=x3 e2xest solution particulière de (E). Les solutions de (E) sont y=y0+yH=x3 e2x+C1ex+C2e2x: L"oscillateur forcé.Soient!0et! >0. On considère l"équation (E) :y00+!20y= sin(!x);

associée à un système masse-force élastique ou à un circuit L,C, sans résistance, mais soumis

à une force ou potentiel extérieur, voir §1.1. L"équation caractéristique estr2+!20= 0de racinesr=i!0. Les solutions réelles du système homogène sont y

H=C1cos(!0x) +C2sin(!0x):

Le second membre de (E) n"est pas du type étudié dans le théorème 3.1 mais on s"y ramène

facilement. En effet on asin(!x) =Im(ei!x)et siYest une solution particulière de (EC) :Y00+!20Y=ei!x;

alorsy0=Im(Y)est une solution particulière de (E). C"est un principe général.Proposition 3.2.SoitYune solution complexe deaY00+bY0+cY=f, aveca,b,créels

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