[PDF] Les Nombres Complexes — 5 oct. 2017 Proposition 11 :

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Les Nombres Complexes

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

5 octobre 2017

Les nombres complexes sont d"une grande utilit´e tant en math´ematiques qu"en sciences physiques. Ils permettent en

particulier l"´etude de circuits ´electroniques en r´egime sinuso¨ıdal et ils jou`erent un rˆole d´eterminant dans la th´eorie de

diffusion de la chaleur, de l"´electricit´e et de la lumi`ere d´evelopp´ee par Maxwel.

1 D´efinitions

1.1 Le corps des complexes

D´efinition 1 :Corps des Nombres Complexes

On appelle "i" un nombre tel quei2=-1.

L"ensembleC={a+i.b|(a, b)?R2}muni de?l"addition usuellela multiplication usuelleest appel´e : le

Corps des nombres complexes

iRest appel´e l"ensemble desimaginaires purs.

Remarque1.Le "nombre" i a ´et´e d´ecouvert au XVIiemesi`ecle par Cardan lors d"une ´etude sur la r´esolution des

´equations du 3

iemeet 4iemedegr´e. 1 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/

Construction officielle de(C,+,×)

1. Au d´epart,Cest en fait l"ensemble des couples de nombres r´eels :C={(x, y)|x, y?R}.

2. Cet ensemble est alors muni des deux op´erations (appel´eeslois de composition internes) suivantes :

(a) + d´efinie par : (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b) (b)×d´efinie par : (x, y)×(a, b) = (xa-yb, xb+ya)

3. On constate que + et×v´erifient les propri´et´es n´ecessaires pour donner `aCla structure de "corps"

(cf le cours sur les structures alg´ebriques) : associativit´e, commutativit´e, existence d"´el´ements neutres,

existence de sym´etriques.

4. Changement de notation :

(a) L"´el´ement (0,1) est not´ei. (b) Les ´el´ements de la forme (x,0) sont not´esx. On constate que les complexes (x, y) s"´ecrivent alorsx+i.y (c) On v´erifie ´egalement qu"avec ces nouvelles notations : i. on a alors bieni2=-1 ii. les 2 relations qui d´efinissent les 2 lois sont bien conserv´ees.

D´efinition 2 :Partie r´eelle, imaginaire

Soitz=a+ib, un nombre complexe.

•a= Re(z) est lapartie r´eelledez

•b= Im(z) est lapartie imaginairedez.

Remarque2.

1. L"expressionz=a+ibest appel´ee laforme alg´ebriquedu complexez.

2. Deux complexes seront ´egaux si et seulement si ils ont les mˆemes parties r´eelles et les mˆemes parties imaginaires.

Proposition 1 :La lin´earit´e deRe()et deIm()

Soientz, z??C.

On a alors :

1. Re(z+z?) = Re(z) + Re(z?)

2. Im(z+z?) = Im(z) + Im(z?)3. Re(λz) =λRe(z)?λ?R

4. Im(λz) =λIm(z)?λ?R

Preuve 1 :Pas de difficult´e.

Remarque3.Dans quel cas peut-on affirmer que Re(z.z?) = Re(z).Re(z?)?

D´efinition 3 :Conjugu´e d"un complexe

Soitz=a+ibun nombre complexe. Leconjugu´edezest le nombre complexe : ¯z=a-ib Remarque4.Remarquons que siz=a+ibalorsz¯z=a2+b2?R+.

On peut alors d´efinir la division d"un complexezpar un complexe non nulz?de la fa¸con suivante :z

z?=zׯz?z?¯z? Th´eor`eme 2 :?(z, z?)?C2, on a les propri´et´es suivantes : 1. z+z?=z+z?2.z×z?=z×z?3.?z z??= z z?(z??= 0)4. z=z Preuve 2 :Il suffit de faire les calculs `a l"aide de la forme alg´ebrique.

Remarque5.On dit que la propri´et´eBestune caract´erisationde la propri´et´eAsi l"on a :A??B.

Les caract´erisations sont tr`es int´eressantes en pratique car elles donnent d"autres approches possibles (et souvent plus

simples) pour d´emontrer une propri´et´e donn´ee. 2 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ Th´eor`eme 3 :Caract´erisation de l"´egalit´e de 2 complexes

Soitz, z??C, on a :

1.z=z????Re(z) = Re(z?)

Im(z) = Im(z?)2.z= 0???Re(z) = 0

Im(z) = 0

Preuve 3 :Imm´ediat compte-tenu de la d´efinition d"un complexe. Exemple 1.(?) Trouver les complexes v´erifiant la relation :z+i¯z= 2 Proposition 4 :Caract´erisation des r´eels et des imaginaires purs

Pour toutz?C, on a : Re(z) =z+

z

2et Im(z) =z-z

2i On en d´eduit des caract´erisations du fait qu"un complexe soit r´eel ou imaginaire pur : ?z?R?? z=z??z-¯z= 0 z?iR?? z=-z??z+ ¯z= 0

Preuve 4 :Imm´ediat.

Remarque6.Ainsi, pour prouver que :

1.zest un r´eel, on pourra calculer ¯z-zet montrer que cette quantit´e est nulle.

2.zest un imaginaire pur, on pourra calculer ¯z+zet montrer que cette quantit´e est nulle.

Exemple 2.(?) Trouver tous les complexesztels quez+ 1-i z+ 1?R.

1.2 Le plan complexe

D´efinition 4 :Affixe, image

Ici, le planP(affine ou vectoriel) est suppos´e muni d"un rep`ere orthonorm´edirectR(O,-→i ,-→j).

1:C-→ P

a+ib?→M(a, b) f

2:C-→ P

a+ib?→-→u(a, b)sont des bijections deCdansP.

1. SiM(a, b) est un point dePalors le nombre complexez=a+ibest appel´eaffixedeM.

2. Si -→u(a, b) un vecteur dePalors le nombre complexez=a+ibest appel´eaffixede-→u.

3. Siz=a+ibun ´el´ement deCalors le pointM(a, b) dePest appel´e lepoint imagedez.

4. Siz=a+ibun ´el´ement deCalors le vecteur-→u(a, b) dePest appel´e levecteur imagedez.

Remarque7.

1. Du fait de l"existence des bijections pr´ec´edentes, il pourra parfois nous arriver de confondre un pointM(ou un

vecteur-→u) et son affixez.

2. On appelleraplan complexele plan affine (resp : vectoriel) muni d"un rep`ere orthonorm´e direct (resp : d"une

base orthonorm´ee directe) o`u les points (resp : vecteurs) sont rep´er´es par leurs affixes.

3 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ Affixe d"un point M du plan.Affixe d"un vecteur-→udu plan.Affixe d"un vecteur--→ABdu plan. Remarque8.M et--→OMont les mˆemes coordonn´ees : ils ont donc la mˆeme affixe. Remarque9.Reconnaˆıtre les transformations du plan suivantes : f:z?→¯zf:z?→ -zf:z?→ -¯z Proposition 5 :Soient-→u1et-→u2deux vecteurs d"affixes respectivesz1etz2. Soitλ?R.

Alors le vecteur somme-→u1+-→u2a pour affixez1+z2et le vecteurλ-→u1a pour affixeλz1.

Preuve 5 :Il suffit de faire les calculs.

Remarque10.Soitu?C. La fonctionf:C-→C

z?→z+urepr´esente la translation de vecteur-→ud"affixeu.

Exemple 3.A quoi correspondent les transformations du plan d"expressions complexes suivantes :?f:z?→¯z+i

g:z?→1-¯z?

1.3 Module d"un complexe

D´efinition 5 :Module d"un nombre complexe

C"est le r´eel d´efini par

|z|=?a2+b2(=⎷z¯z) SiMest le point d"affixez, alors|z|repr´esente la distance?--→OM?. Si-→uest le vecteur d"affixez, alors|z|repr´esente?-→u?. SiAest le point d"affixea,|z-a|repr´esente alors la distance?--→AM?. Remarque11.Un complexezet son conjugu´e ont le mˆeme module :|z|=|¯z| 4 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ Remarque12.Siz?R, le module se confond avec la valeur absolue.

Exemple 4.D´eterminer une caract´erisation complexe du cercle de centre Ω(ω) et de rayonR.

Proposition 6 :Propri´et´es du module

Pour tout (z, z?)?C2(avec ´eventuellementz??= 0) etλ?R, nous avons les propositions suivantes :

1.|z|=| -z|=|¯z|

2.|z|= 0??z= 0

3.|z.z?|=|z|.|z?|4.|λ.z|=|λ|.|z|

5. 1 z= z |z|2(siz?= 0)6. ?z z???=|z||z?|

7.??z+z???2=|z|2+2Re?z.¯z??+|z?|2

Preuve 6 :Il suffit de faire les calculs en pensant `a utiliser la relation|z|2=z.¯z Exemple 5.(?) Soientaetb, deux complexes de module 1. D´emontrer que(a+b)2 ab,a+b1 +ab?R.

Exercice : 1

(?) A r´esoudre par "´equivalences successives" :

1. Prouvez que pour toutx, y?C?, on a :|x

|x|2-y|y|2|=|x-y||x||y|

2. Sia, betcsont des complexes de module 1, prouver que :|ab+bc+ca|=|a+b+c|

Proposition 7 :In´egalit´e entre module et parties r´eelle-imaginaire

Soitz=a+ib?C.

Preuve 7 :Par ´equivalences successives en exprimantz=a+ibet en ´elevant les relations au carr´e.

Attention cependant `a v´erifier les ´equivalences.

Dans quels cas a-t-on des ´egalit´es?

Th´eor`eme Fondamental 8 :In´egalit´es triangulaires

Pour toutz, z??C, on a :???|z| - |z?|???

Lorsquez??= 0, on a|z+z?|=|z|+|z?|si et seulement siz=λz?avecλ?R+.

Preuve 8 :

1. On commence par d´emontrer la deuxi`eme in´egalit´e en l"´elevant au carr´e (v´erifier l"´equivalence!) et en

utilisant la proposition pr´ec´edente.

2. On proc`ede de mˆeme pour la premi`ere.

3. On a :|z+z?|=|z|+|z?| ??Re(z¯z?) =|z¯z?| ?z¯z??R+?z=λz?avecλ?R+.

On traite alors la r´eciproque...

Remarque13.Que peut-on en d´eduire sur les longueurs des cˆot´es d"un triangle? ?|z| - |z?|??? 5 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.(?) Pour tout complexeaetb, montrer que :|1 +a|+|a+b|+|b| ≥1

Exercice : 2

En d´eduire l"in´egalit´e de Ptol´em´ee :

Corollaire 9 :

Pourncomplexesz1,..., znquelconques, on a :

Preuve 9 :Cette in´egalit´e se d´eduit de l"in´egalit´e triangulaire par r´ecurrence.

Exemple 7.(??) En utilisant les complexes, montrer que?a, b, c?R,⎷

Exercice : 3

(??) Soitp?N?.

Prouver que les solutions complexes de l"´equationspzp=zp-1+···+z2+z+ 1 sont toutes de module inf´erieur `a 1.

Aide : vous pourrez utiliser le fait que six >1alorsxk< xp-1pour toutk?[[0,p-1]].

Th´eor`eme 10 :Groupe(U,×)

SoitUl"ensemble des nombres complexes de module 1 :U={z?C| |z|= 1} Cet ensemble :1) Poss`ede l"´el´ement 1 (´el´ement neutre pour la multiplication).

2) Est stable par multiplication (sizetz?sont de module 1 alorsz.z?est de module 1).

3) Est stable par inversion (sizest de module 1, alors1

zexiste et est de module 1). Comme d"autre part,×est associative,Umuni de la multiplication a une structure de groupe . Preuve 10 :Les 3 propri´et´es cit´ees sont facilement v´erifiables.

Nous verrons plus en d´etail la structure de groupe dans le chapitre sur les structures alg´ebriques.

2 Exponentielle imaginaire et applications en trigonom´etrie

2.1 L"exponentielle imaginaire

D´efinition 6 :Exponentielle imaginaire

Soitθun r´eel quelconque. On note

eiθ= cosθ+i.sinθ

Remarque14.On notej=ei2π

3ou plutˆotj=e2iπ3.

Proposition 11 :Calculs avec l"exponentielle imaginaire

Soientθetθ?des r´eels quelconques.

1.|eiθ|= 1

2. eiθ=1eiθ=e-iθ3.i=eiπ 2

4.-1 =eiπ5.eiθeiθ?=ei(θ+θ?)

6. eiθ eiθ?=ei(θ-θ?) 6 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 11 :Ces r´esultats se d´emontrent sans difficult´e `a l"aide des formulestrigonom´etriques.

Proposition 12 :Soitθun r´eel.

e iθ= 1??θ?2πZ Cons´equence :eiθ=eiθ???θ=θ?[2π].

Preuve 12 :Pas de difficult´e.

Lemme 13 :Soient (a, b)?R2. On a alors l"´equivalence suivante : a

2+b2= 1?? ?!θ?]-π, π] tel que?a= cosθ

b= sinθ

Preuve 13 :La r´eciproque est imm´ediate.

Pour le sens direct, on commence par montrer quea?[-1,1].

Remarque15.Ce lemme est tr`es r´eguli`erement utilis´e. Il est important de le connaˆıtre parfaitement.

Exemple 8.Prouver que pour tout vecteur-→ude norme 1, il existe un uniqueθ?]-π, π] tel que-→u?cosθ

sinθ? Th´eor`eme 14 :Morphisme canoniquede (R,+) dans (U,×) e: (R,+)-→(U,×) θ?→eiθest un morphisme de groupes surjectif.

Preuve 14 :eest un morphisme de groupes car :

1. (R,+) et (U,×) ont une structure de groupes (voir cours sur les structures alg´ebriques)

2.e(θ+θ?) =e(θ)×e(θ?)

La surjectivit´e est une cons´equence du lemme pr´ec´edent.

Remarque16.

1. Comme les ant´ec´edents de 1 (´el´ement neutre pour la multiplication) sont les ´el´ements de 2πZ(e(θ) = 1??

θ?2πZ), alors on dit que son noyau (kere) est 2πZ.

2. Comme{e(θ), θ?R}=U, on dit que l"image dee(Ime) estU.

2.2 Formules et applications

Th´eor`eme 15 :Formules de Moivre

?n?Z,?θ?R, einθ=?eiθ?nc"est `a direcos(nθ) +isin(nθ) = (cosθ+isinθ)n

Preuve 15 :Pourn?N, on d´emontre facilement par r´ecurrence queeinθ=?eiθ?npuis quee-inθ=?eiθ?-n.

Remarque17.Le math´ematicien fran¸cais Abraham De Moivre (XVII `eme si`ecle) est l"auteur de cette formule souvent

attribu´ee injustement `a Stirling. APPLICATION: Pour exprimer cosnθou sinnθen fonction de cosθet de sinθ.

1. On remarque que cosnθ= Re[(cosθ+isinθ)n] et que sinnθ= Im[(cosθ+isinθ)n]

2. Puis on utilise la formule du binˆome pour d´evelopper (cosθ+isinθ)n

3. On en extrait alors la partie r´eelle et la partie imaginaire pour obtenir cosnθet sinnθ.

7 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 9.(?) SoitP(θ) = sin6θcos4θ. ExprimerP(θ) en fonction de cosθet sinθ.

Exercice : 4

Polynˆomes de Tchebytchev.

Il est possible d"exprimer cosnθuniquement `a l"aide de cosθsous la formeTn(cosθ). T n(x) est un polynˆome appel´e le ni`eme polynˆome de Tchebychev.

Pour cela, il suffit de transformer les termes en sinθen utilisant la formule sin2θ= 1-cos2θ.

D´eterminer les 5 premiers polynˆomes de Tchebytchev.

Th´eor`eme 16 :Formules d"Euler

Soitθun r´eel quelconque. Alors :

Preuve 16 :Imm´ediat!

Remarque18.Leonhard Euler (1707-1783), de nationalit´e suisse, est l"un des plus talentueux math´ematiciens. Il a

d´ecouvert un nombre incroyable de formules. Exemple 10.(?) Soitz?U. Peut-on trouver un r´eelatel quez=1 +ia 1-ia?

Remarque19.Ces formules permettent de lin´eariser (transformer des produits en sommes) des expressions trigo-

nom´etriques. Cette transformation est particuli`erement utilelors du calcul d"int´egrales. APPLICATION: Pourlin´eariserun produit de sinus et de cosinus :

1. On remplace les cos(a.θ) et les sin(b.θ) `a l"aide des formules d"Euler.

2. On d´eveloppe l"expression obtenue `a l"aide de la formule du binˆome.

3. On regroupe les termes conjugu´es entre eux.

4. On r´eutilise les formules d"Euler pour retrouver des cosinus et des sinus.

Exemple 11.(?)

1. Lin´eariser l"expression suivante :P(x) = sin2xcos2x

2. Lin´eariser l"expression suivante :P(x) = cosxcos22xcos33x.

R´eponse :1

32(cos14x+ cos12x+ 2cos10x+ 5cos8x+ 4cos6x+ 7cos4x+ 9cos2x+ 3)

Exercice : 5

(??) Lin´eariser cosnθet sinnθo`un?N?. Remarque : Ceci est une question r´eguli`erement rencontr´eedans les probl`emes! TECHNIQUE tr`es UTILE: Factorisation par l"angle moiti´e.

Cette technique est TRES utilis´ee (ex : recherche de la forme trigonom´etrique d"un complexe).

Remarquons que :

?e ix+eiy=ei(x+y) 2? ei(x-y)2+e-i(x-y)2? = 2eix+y2cos?x-y2? e ix-eiy=ei(x+y) 2? ei(x-y)2-e-i(x-y)2? = 2ieix+y2sin?x-y2? ?x, y?R Remarque20.En particulier, pour toutx?Ron obtient :

1.eix+ 1 =eix

2? eix2+e-ix2? = 2eix2cos?x2?2.eix-1 =eix2? eix2-e-ix2? = 2ieix2sin?x2? 8 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/ TECHNIQUE: Pour retrouver les formules trigonom´etriques :

L"exponentielle imaginaire et les formules pr´ec´edentes permettent de retrouver facilement les formules

usuelles de trigonom´etrie. Retrouver ainsi les formules suivantes:

1. sinp+ sinq=...2. cosasinb=...3. cos(a+b) =...

Exemple 12.Sauriez-vous retrouver la formule de factorisation de sinp+ cosq?

Formules trigo de base

1. cos(π-x) =-cosx

2. cos(x+π) =-cosx

3. sin(π-x) = sinx

4. sin(x+π) =-sinx

5. cos(x+π

2) =-sinx

6. cos(x-π

2) = sinx

7. sin(x+π

2) = cosx

8. sin(x-π

2) =-cosx

Les formules suivantes sont `a connaˆıtre imp´erativement car elles permettent de retrouver la plupart des autres formules

trigonom´etriques.

1. cos(a+b) = cosa.cosb-sina.sinb

2. sin(a+b) = sina.cosb+ cosa.sinb

3. tan(a+b) =tana+ tanb

1-tana.tanb4. cos2a= cos2a-sin2a= 2.cos2a-1 = 1-2.sin2a

5. sin2a= 2sina.cosa

6. tan2a=2.tana1-tan2a

Remarque21.Sauriez-vous en d´eduire les formules permettant de "d´evelopper" : cos(a-b), sin(a-b) et tan(a-b)?

Caract´erisation de l"´egalit´e de deux sinus, de deux cosinus ou de deux tangentes

Nous avons :

cosa= cosb??a=b[2π] oua=-b[2π] sina= sinb??a=b[2π] oua=π-b[2π] tana= tanb??a=b[π]

Ces ´equivalences nous serons tr`es utiles pour r´esoudre des ´equations trigonom´etriques.

Exemple 13.R´esoudre les ´equations suivantes :

1. cos2x+ 4cosx+ 3 = 0 2. sin2x= cos(π-x) 3. tan2x= 1 4. sin(2x) = cos(3x)

9 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres complexes http://pascal.delahaye1.free.fr/

METHODE : Transformation deacost+bsintenAcos(t-?)

1. Il est ´evident queAcos(t-?) peut s"´ecrire sous la formeacost+bsint(il suffit de d´evelopper!)

2. L"op´eration inverse est aussi possible en proc´edant ainsi :

(a) On ´ecrit :acost+bsint=⎷ a2+b2?a⎷a2+b2cost+b⎷a2+b2sint? (b) On remarque alors que ?a ⎷a2+b2?

2+?b⎷a2+b2?

2= 1.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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