SECOND DEGRE (Partie 2)
L'équation f(x)=0 n'a pas de solution donc la courbe de f ne traverse pas l'axe des abscisses. L'équation f(x)=0 a une solution unique donc la courbe de f admet.
f(x)= 5x ? 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
3x +2 f '(x)= 2×5x ? 3. Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par 2) On commence par résoudre l'équation f '(x) = 0.
EQUATIONS INEQUATIONS
x + 2 x + 3. = 0 a pour solution x = -2. Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à Soit la fonction affine f définie sur ? par f (x) = ax + b.
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle ?3;2 f (x). + 0 - 0 +. 2) Résolution graphique d'une inéquation.
ÉQUATIONS
x x. RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. 10 x 0625 - 2 = 2 x 0
EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation
Définition 2 : Une équation différentielle d'ordre n est une équation où l'inconnue est une fonction Notation En écriture différentielle on note f'(x)=.
CONTINUITÉ
2 x. 0;+?????. Exemples : a) Soit la fonction f définie sur R {0} par f (x) = Commençons par résoudre l'équation f '(x) = 0 :.
SECOND DEGRE (Partie 2)
l'équation n'a pas de solution. - Si A = 0 : f (x) = a x + b. 2a. ?. ??.
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
= 0 » a pour solution x = –2. Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-quotient. Vidéo https://youtu.be/zhY1HD4oLHg.
comment utiliser le TVI ou ses corollaires
entre f(a) et f(b) l'équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b] Exemple 1 : On souhaite montrer que l'équation cos(2x)=2sin(x)?2 admet au.
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L'équation f(x)=0 a une solution unique donc la courbe de f admet son extremum sur l'axe des abscisses L'équation f(x)=0 a deux solutions donc la courbe de f
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(avec T D 3 et T P 2) 1 Séparation des racines d'une équation On consid`ere une équation f(x)=0 Une solution est un nombre réel ? tel que si on donne
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2 Méthodes de résolution de l'équation f(x)=0 Résoudre une équation signifie rechercher les abscisses des points d'intersection de deux courbes
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Soient f et g deux fonctions de courbes représentatives Cf et Cg • Les solutions de l'équation f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la
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Retrouvez la leçon et de nombreuses autres ressources sur la page 2 Résolution graphique d'équations du type f(x)=k et f(x)=g(x)
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Si la fonction a est continue et que la suite (xn) définie ci-dessus converge alors xn ? ¯x l'unique racine de f(x)=0 dans ]a b[ Nous avons donc
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Définition 2 : Une équation différentielle d'ordre n est une équation où l'inconnue est une fonction Notation En écriture différentielle on note f'(x)=
1 sur 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDÉRIVATION (Partie 1) Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. I. Fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré Dans ce chapitre, nous allons utiliser un outil nouveau, la fonction dérivée, dont l'utilité est d'établir les variations de la fonction dont elle dérive. Soit f une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=5x
2 -3x+2 . Pour déterminer la fonction dérivée f ', on applique la technique suivante : f(x)=5x 2 -3x+2 f'(x)=2×5x-3Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par f(x)=ax
2 +bx+c. On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ℝ par f'(x)=2ax+b
. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) f(x)=4x
2 -6x+1 b) g(x)=x 2 -2x+6 c) h(x)=-3x 2 +2x+8 d) k(x)=x 2 +x+1 e) l(x)=-5x 2 +5 f) m(x)=-x 2 +7x2 sur 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fra) f(x)=4x
2 -6x+1 donc f'(x)=2×4x-6=8x-6 b) g(x)=x 2 -2x+6 donc g'(x)=2×x-2=2x-2 c) h(x)=-3x 2 +2x+8 donc h'(x)=-3×2×x+2=-6x+2 d) k(x)=x 2 +1x+1 donc k'(x)=2x+1 e) l(x)=-5x 2 +5 donc l'(x)=-5×2×x=-10x f) m(x)=-x 2 +7x donc m'(x)=-2×x+7=-2x+7II. Variations d'une fonction polynôme du second degré Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si
, alors f est décroissante sur I. - Si f'(x)≥0, alors f est croissante sur I. Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré Vidéo https://youtu.be/EXTobPZzORo Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk Soit la fonction f définie sur
par f(x)=2x 2 -8x+1. 1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. 1) Pour tout x réel, on a :
f'(x)=2×2x-8=4x-8 . 2) On commence par résoudre l'équation f'(x)=0Soit :
4x-8=0
Donc 4x=8
et x= 8 4 =2. La fonction f ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur 4 est positif. Elle est donc d'abord négative (avant x=2
) puis ensuite positive (après x=2). 3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème : x -∞ 2 +∞ f' - + f -7
3 sur 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frEn effet : f2
=2×2 2 -8×2+1=-7 . La fonction f admet un minimum égal à -7 en x=2. III. Tangente en un point de la parabole 1) Nombre dérivé Méthode : Calculer un nombre dérivé Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-2x
2 -x+4. Calculer le nombre dérivé de f en x = 3. On commence par déterminer la fonction dérivée : f'(x)=-2×2x-1=-4x-1
. Le nombre dérivé de f en x = 3 est f'(3)=-4×3-1=-13. 2) Équation de la tangente Soit f une fonction polynôme du second degré. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative
C f de f. Définition : La tangente à la courbe C fau point A d'abscisse a est la droite : - passant par A, - de coefficient directeur le nombre dérivé f '(a).
4 sur 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe On considère la fonction f définie sur
par f(x)=x 2 -3x-1. A est un point de la courbe d'abscisse 1. 1) Déterminer les coordonnées du point A. 2) Déterminer le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe représentative de f. 3) Donner une équation de tangente. 4) Tracer la tangente en A. 1) Les coordonnées de A sont (1 ; f (1)) avec f (1) = 12 - 3x1 - 1 = -3 On a donc : A(1 ; -3). 2) La fonction dérivée est : f'(x)=2x-3
. Le nombre dérivé en 1 est : f'(1)=2×1-3=-1. Le coefficient directeur de la tangente est -1. 3) Une équation de la tangente en 1 est de la forme y=-1x+p
soit y=-x+p. Pour calculer p, on sait que le point A appartient à la tangente donc ses coordonnées (1 ; -3) vérifient l'équation de la tangente y=-x+p
. Donc -3 = -1 + p Et donc p = -3 + 1 = -2 Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A d'abscisse 1 est y=-x-2
. 4)5 sur 5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frÀ l'aide de la calculatrice, il est possible de tracer la tangente à une courbe en un point. Une fois la courbe tracée sur la calculatrice, saisir : Avec TI-83 : Touches " 2nde » + " PGRM » (Dessin) puis " 5: Tangente » et saisir l'abscisse du point de tangence, ici 2. Puis " ENTER ». Casio 35+ : Touches " SHIFT » + " F4 » (Skech) puis " Tang » et saisir l'abscisse du point de tangence, ici 2. Puis " EXE » + " EXE ». Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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