[PDF] Equation f(x) = x On se propose de prouver





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Equation f(x) = x

On se propose de prouver l'existence de solutions de l'équation f (x) = x pour certains types de fonctions f puis



FONCTION DERIVÉE

Ainsi pour tout x de R {0}



FONCTION EXPONENTIELLE

Pour tout x on a . Donc la fonction f est constante. Comme.



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1. R f(x) = 1 x. R. ? f (x) = ?. 1 x2. R. ? f(x) =.



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ? ? et ? sont des nombres réels. f (x) = 2x2 ? 20x +10. = 2 x2 ?10x.



T ES Fonction exponentielle

Pour tout réel x ex > 0







FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

( ) 2. 12 23. f x x x. = ?. + . a) Quelle est la nature de l'extremum de la fonction f ? b) Déterminer les coordonnées de cet extremum.



LES FONCTIONS DE REFERENCE

f x ax. = est une fonction linéaire. Exemples : La fonction f définie sur ? par ( ). 6. f x x. = ? + est une fonction affine.



FONCTIONS AFFINES (Partie 2)

Soit une fonction affine f : x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d vérifient y = ax + b 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

– une fonction affine f : x ?? ax + b est partout dérivable et f (x0) = a pour tout x0 Voici deux exemples bien connus Exemples a) Soit n ? 1 un entier 



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Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I



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Démonstration : Comme on pose avec y un nombre réel Pour tout x on a Donc la fonction f est constante Comme on en déduit que



[PDF] developpements limités usuels

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2







[PDF] de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

On donne la fonction f définie sur R par : f(x) = ?x4 + 2x2 + 1 On appelle ? la courbe représentative de f dans un rep`ere orthonormé (O; ? ) 1 Étudier 



[PDF] I Fonctions et domaines de définition II Limites - Normale Sup

(« alors f(x) est dans l'intervalle [L ? ? L + ?] ») Remarque : dans ce cas la courbe de f a une asymptote horizontale d'équation y = L • lim



[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions

La fonction f(x) = sin(1/x) admet-elle une limite en 0? 3 Calculez limx!0 xsin(1/x) Exercice 3 Calculer les limites suivantes : a) lim x!0 sin(2x)

:

ÉQUATION F(X) = X

Objectif

Donner des conditions suffisantes pour l'existence d'une solution de l'équation f(x) = x puis, dans certains cas, trouver une suite donnant des valeurs approchées d'une telle solution.

Outils

Analyse de terminale S.

Image d'un intervalle par une fonction continue.

Suites

On se propose de prouver l'existence de solutions de l'équation f(x) x pour certains types de fonctions f, puis, pour une fonction vérifiant certaines hypothèses, d'approcher l'unique solution de cette équation à l'aide d'une suite du type . 1 nn ufu A. Conditions suffisantes d'existence d'une solution Premier cas : f est une fonction continue et décroissante sur R.

1. f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction

g définie par g(x) f(x) x est continue et strictement décroissante sur R.

2. Comparer g(x) avec f(0) x dans le cas où x est positif.

En déduire lim()

x gx. À l'aide d'un raisonnement semblable, déterminer la limite d e g en .

3. En déduire que l'équation f(x)

x admet une solution unique .

4. Exemple.

Soit f la fonction définie sur R par

12e 12e x x fx.

a. En utilisant le résultat établi ci-dessus, démontrer qu'il existe un unique réel tel que f() .

b. Démontrer que a vérifie cette autre équation : ln2ln(1)ln(1). (Au cours de cette démonstration on établira que appartient à l'intervalle ] 1 ; 1 [. Deuxième cas : f est une fonction continue sur [ a ; b ] et [ a ; b ] est stable par f.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ]. On suppose que l'intervalle [ a ; b ] est stable par

f c'est-à-dire que, pour tout x appartenant à [ a ; b ], f(x) appartient à [ a ; b ].

1. Démontrer que la fonction g définie par g

(x) f(x) x s'annule au moins une fois sur [ a ; b ]. En déduire que l'équation f(x) x admet au moins une solution dans [ a ; b ].

Remarquons que, si f est définie et continue sur un intervalle I stable par f, mais si I n'est plus supposé

fermé, l'existence d'une solution de l'équation f(x) x n'est plus assurée. C'est ce que montre l'exemple

suivant.

VI - Suites Équation f(x) = x 1

2. On considère la fonction f définie sur R par

1 22
x fx.

Démontrer que f est continue sur ] 1 ; 2 [, que ] 1 ; 2 [ est stable par f, et que, pourtant, l'équation

f(x) x n'admet pas de solution appartenant à ] 1 ; 2 [. B. Approximation de la solution de f(x) x à l'aide d'une suite

On considère un intervalle [ a ; b ], un réel k appartenant à ] 0 ; 1 [ et une fonction f vérifiant :

- f est dérivable sur [ a ; b ]. - [ a ; b ] est stable par f. - pour tout réel x de [ a ; b ], '()fxk.

1. À l'aide des résultats de la partie A, démontrer l'existe

nce d'un réel solution de l'équation f(x) x.

2. On suppose que cette équation admet des solutions et .

À l'aide de l'inégalité des accroissements finis démon trer que k, puis que .

3. Soit r un réel de l'intervalle [ a ; b ]. On définit une suite u d'éléments de [ a ; b ] en posant u

0 r et, pour tout entier naturel n, u n1 f(u n a. Démontrer que, pour tout entier n, on a : 1 nn uku. b. En déduire que, pour tout entier n, on a : 0 n n uku et que la suite u est convergente.

4. Exemple.

On se propose de trouver une valeur approchée, à 10 3 près, de la solution de l'équation cos x x.

a. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, tracer, sur [ ; ], la courbe d'équation

y cos x et la droite d'équation y x. On constate graphiquement, et on admettra, que l'équation cos x x possède une solution et une seule, , et que 1 ;1 2 b. Montrer que la fonction définie par f(x) cos x sur 1 ;1 2 vérifie les hypothèses de cette partie et que l'on peut prendre k 0,85. c. Soit u la suite de premier terme u 0

0,5 et telle que, pour tout entier naturel n, u

n1 f(u n

Déterminer un entier naturel n

0 tel que 0 3 10 n u ? Programmer sur la calculatrice le calcul des termes de la suite u.

En déduire une valeur approchée de à 10

3 près.

VI - Suites Équation f(x) = x 2

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