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Calcul intégral

x dx = F(3) ? F(2) = 9. 2. ?. 4. 2. = 5. 2 . II Interprétation graphique : calcul d'aire. II.1 Aire d'un fonction positive. Propriété 



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est un réel positif. 2) Interprétation graphique. Définition : on appelle unité d'aire du repère orthogonal (



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variables dans l'intégrale double. 2-Intégrales triples. 1.2- Interprétation graphique. • Sf surface représentative de f dans un repère orthonormé.



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L'interprétation graphique en terme d'aires donnée par la figure 7.2 nous permet d'écrire EX comme l'intégrale de Riemann ordinaire : EX .



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Calcul intégral. Table des matières. I Intégrale d'une fonction. 2. II Interprétation graphique : calcul d'aire. 2. II.1 Aire d'un fonction positive .



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Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x y)dxdy dans l'exemple 3 14 pour la fonction f définie par f(x y) = x ? y Correction: On a I1 = ? ?D1f 



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  • Comment interpréter graphiquement une intégrale ?

    f(x) dx ? M(b ? a). f(x) dx. Interprétation graphique : La droite d'équation y = ? est la droite horizontale telle l'aire des partie de plan délimitées par l'axe des abscisses, les droites d'équation x = a et x = b d'une part et les courbes d'équation y = f(x) et y = mf soient de même valeur.

  • Comment bien comprendre les intégrales ?

    En effet, l'intégrale d'une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l'aire de la partie du plan délimitée horizontalement par les droites verticales d'équations x=a et x=b et verticalement par l'axe des abscisses et la courbe de f.

  • Comment faire une double intégration ?

    Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.
  • Le domaine plan situé sous la courbe Cf est la partie plane délimitée par Cf, l'axe (O, I) et les droites d'équations x = a et x = b. On le note ici Pf. Autrement dit, on a: Pf = {M(x; y), a x b et 0 y f(x) }. On admet que Pf a une aire appelée intégrale de f sur [a ; b].
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Table des matières

I Intégrale d"une fonction2

II Interprétation graphique : calcul d"aire2

II.1 Aire d"un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Aire d"une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IIIPropriétés de l"intégrale4

III.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

III.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

III.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

III.4 Inéglité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5

http://nathalie.daval.free.fr-1-

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Dans tout le chapitre,FetGsont des primitives respectivement defetgsurI. aetbsont deux points deI, bornes incluses.

I Intégrale d"une fonction

Définition 1

Le nombreF(b)-F(a), indépendant du choix deF, est appellé intégrale deaàbdef , il est noté ?b a f(x)dx=F(b)-F(a).

Exemple 1

Calcul de l"intégrale :?

3 2 x dx:

ÔUne primitive def(x) =xestF(x) =x2

2.

Ôdonc,?

3 2 x dx=F(3)-F(2) =9

2-42=52.

II Interprétation graphique : calcul d"aire

II.1 Aire d"un fonction positive

Propriété 1

Sifest une fonction positive sur [a;b], alors?b

a f(x)dxest égal à l"aire du domaine compris entre la

courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=aetx=bexprimé en unité d"aire. (U.A.)

Exemple 2

Calcul de l"aire du domaine compris entre la courbe d"équa- tion1 x, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=12 etx= 4dans un repère orthonormé(O;-→i;-→j)d"unité gra- phique1cm : 4 1

21xdx= [ln(x)]412= ln4-ln12= ln4 + ln2

4 1

21xdx= ln8 = 3ln2U.A.≈2,08cm2

1 2 3 4-1

123
-1

II.2 Aire d"une fonction négative

Si la fonctionfest négative, alors la fonction-fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à

l"axe des abscisses. Donc, l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites

d"équationx=aetx=best égale à l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des abcsisses,

et les droites d"équationx=aetx=b.

Dans ce cas,A=

?b a [-f(x)]dx. http://nathalie.daval.free.fr-2-

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Exemple 3

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3

27-x23.

fest négative sur l"intervalle[ 0 ; 9 ]. Pour calculer l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses,

et les droites d"équationx= 0etx= 9, il suffit de calculer l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des

abcsisses, et les droites d"équationx= 0etx= 9:

Graphique def:

A1

Graphique de-f:

A2

A1=A2=?

9 0 [-f(x)]dx=? 9 0? -x327+x23? dx=? -x4108+x39? 9

1=814U.A.

II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire

Pour calculer l"aire d"un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l"intervalle

en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

Exemple 4

On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =x2-x-2. On noteAl"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=-1etx= 3.

A=A1+A2

A=? 2 -1[-f(x)]dx+? 3 2 [f(x)]dx A=? 2 -1(-x2+x+ 2)dx+? 3 2 (x2-x-2)dx A=? -x3

3+x22-2x?

2 -1+?x33-x22+ 2x? 3 2 A=9 2+116 A=19

3≈6,33U.A.

1 2 3-1-2

1234
-1 -2A1 A2 http://nathalie.daval.free.fr-3-

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III Propriétés de l"intégrale

III.1 Relation de Chasles

Propriété 2

Soitfune fonction dérivable surRetb?[a;c], alors ?c a f(x)dx=quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
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