[PDF] Solutions de linterrogation 10 ???. 2017 ?. c) Calculer la

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eannée, mention Mathématiques2016-2017 M43, Probabilités discrètesSolutions de l"interrogation

10 mars 2017

[ durée : 2 heures ]Exercice 1 Une boîte contient8cubes :1gros rouge et3petits rouges,2gros verts et1petit vert, et enfin1petit jaune. Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (on suppose que la proba- bilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur). a)Proposer un espace de probabilité permettant de modéliser cette expérience aléatoire. Dans la suite, on demande de donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

b)Calculer la probabilité de l"événementA: " obtenir des cubes de 3 couleurs différentes ».

c)Calculer la probabilité de l"événementB: " obtenir au plus un petit cube ».Solution: a)On numérote de1à8les huit cubes :1le gros rouge,2,3et4les petits rouges,5et6 les gros verts,7le petit vert et enfin8le petit jaune. SoitC t1,2,...,8ul"ensemble des cubes. Ainsi on peut prendreΩ tPPPpCq|#P3u, l"ensemble des parties à 3 éléments deC, avec la probabilité uniforme. b)Nous avons#ΩC388.7.61.2.356et donc la probabilité d"un événement élémentaire est de 156
. Pour avoir trois cubes des trois couleurs différentes, nous avons4choix possibles pour le cube rouge,3choix possibles pour le cube vert et un seul choix pour le cube jaune. Ainsi on constate qu"il y a43112événements élémentaires à3couleurs différentes. En conclusionPpAq 12156 314

c)Dans le lot il y a5petits et3gros cubes. Le nombre d"événement élémentaires à0petits

et3gros cubes estC05C331(il y a qu"un seul choix possible de 3 gros cubes), et le nombre d"événements élémentaires à1petit et2gros cubes estC15C2315. Ainsi

PpBq p115q 156

27

Exercice 2

Dans une colonie de vacances, on organise le jeu suivant. On a disposé le long d"un parcours

10balises. Un concurrent court le long du parcours : à chaque fois qu"il arrive à une balise,

on lui tend trois enveloppes extérieurement identiques. L"une contient une étiquette portant

le numéro1, une autre contient une étiquette portant le numéro2et la dernière le numéro

3. Il en choisit une au hasard et prend l"étiquette qui s"y trouve. S"il découvre un chiffre qu"il

n"a pas encore, il le garde, sinon il le jette. Le concurrent a gagné

1dès qu"il a collecté les

trois numéros1,2et3. a)Proposer un espace de probabilité permettant de modéliser cette expérience aléatoire. b)Calculer la probabilité qu"au bout du parcours le concurrent n"ait collecté que l"éti- quette1. c)Calculer la probabilité qu"au bout du parcours il n"ait pas collecté l"étiquette3. d)Calculer la probabilité qu"il perde. e)Calculer la probabilité qu"il trouve l"étiquette2avant l"étiquette3. f)Calculer la probabilité qu"il gagne exactement à la5ebalise.Solution: a)On peut supposer que les coureurs ne s"arrête pas après avoir " gagné » et qu"au final tous les concurrents obtiennent10étiquettes portant les numéros1,2ou3. Ainsi on peut

choisir pourΩ t1,2,3u10avec l"équiprobabilité où chaque événement élémentaire (une

suite ordonnée de10étiquettes) a une probabilité13 10.

NotonsEil"événement " le concurrent n"a collecté que l"étiquettei», etEijl"événement " le

concurrent n"a collecté que des étiquettesiouj». b)PpE1q 13

10car c"est un événement élémentaire.

c)PpE12q 2103

10car il y a210suites ordonnées à10étiquettes composée que de1ou de2.

d)D"après la formule de Poincaré Pp" perdre »q PpE12q PpE13q PpE23q PpE1q PpE2q PpE3q, carEijXEikEisijk, etE12XE13XE23 H. Comme dans la question précédente :

PpE13q PpE23q 2103

10, et comme dans la question b)PpE2q PpE3q 13

10, ainsi

Pp" perdre »q 32103

10313

1021013

9.

e)La probabilité de trouver l"étiquette2avant l"étiquette3est la même que celle de trouver

l"étiquette3avant l"étiquette2.Ces deux événements sont disjoints et leur union est " le

concurrent a trouvé2ou3» (dont la négation estE1).1. Plusieurs concurrents peuvent être gagnants.

Ainsi nous avonsPp"2avant3»qPp"3avant2»qPpE1q 1avecPp"2avant3»q Pp"3avant2»qet on peut conclure que cette probabilité est de

Pp"2avant3»q 12

p113 10q. f)Le nombre de configurations contenant des étiquettes1et2dans les4premières balises et l"étiquette3dans la5eest de242(on enlève les deux configurations contenant que des1ou que des2dans les4premières balises). Et c"est le même nombre dans les deux autres cas où on gagne à la5ebalise avec un1ou avec un2. Ainsi la probabilité de gagner

à la5ebalise est de32423

51481
.Exercice 3

Dans une maternité, on sait que

-10%des accouchements ont lieu avant terme, -40%des accouchements avant terme présentent des complications, -20%des accouchements à terme présentent des complications.

a)Quelle est la probabilité de l"événement " l"accouchement présente des complications »?

b)On sait que Madame B. a eu un accouchement avec des complications. Quelle est la probabilité que son accouchement ait eu lieu avant terme?

(On donnera la réponse sous forme d"une fraction irréductible.)Solution:On noteATl"événement " l"accouchement a lieu avant terme » etCl"événement

" l"accouchement a des complications ». Ainsi nous savons quePpATq 110 ,PATpCq 410 etPAT pCq 210 et on peut en déduire aussi les probabilités complémentairesPpATq 910 P

ATpCq 610

etPAT pCq 810 a)PpCq PpCXATq PpCXATq PATpCq.PpATq PAT pCq.PpATq 410
110
210
910
22100
1150
b)PCpATq PpCXATqPpCqPATpCq.PpATqPpCq4{10022 {100211 .Exercice 4 On dispose de3dés à6faces. Le déAporte sur ses faces les numéros4,4,4,4,0,0(4faces portent un4et2faces un0); le déBporte le numéro3sur toutes ses faces et le déCportent les numéros6,6,2,2,2,2(2faces portent un6et4faces un2). On lance les trois dés2et on

notetA¡Bul"événement " le résultat du déAest supérieur au résultat du dé B ».

a)Déterminer la probabilité de l"événementtA¡Bu. Si la probabilité de l"événementtA¡Buest strictement supérieure à1

2, on dit que " le dé

Aest plus fort que le déB».

b)Parmi les désAetB, est-ce que l"un des deux dés est plus fort?

c)De la même façon, parmi les désBetC, est-ce que l"un des deux dés est plus fort?2. Les résultats des3dés sont considérées indépendants.

d)Parmi les désAetC, est-ce que l"un des deux dés est plus fort? e)Montrer qu"avec ces3dés, quel que soit le dé choisi par un joueur, son adversaire peut toujours choisir un déplus fort. A partir de maintenant, on change un peu les règles du jeu : on lance chaque dé deux fois et on fait la somme des deux résultats obtenus. On noteXA(resp.XB, resp.XC) la variable aléatoire qui donne la somme des résultats de deux lancers indépendants du déA(resp. du déB, resp. du déC). f)Déterminer la loi de chacune des variables aléatoiresXA,XBetXC. On dit que " le déAest plus costaud que le déB» si l"événementtXA¡XBua une probabilité strictement supérieure à1 2. g)Montrer queCest plus costaud queB. h)Qu"en est-il pourAetB? Qu"en est-il pourAetC?

i)Si je joue à cette deuxième version du jeu, quel dé ai-je intérêt à choisir?Solution:

a)PpA¡Bq PpA4q 46 23
b)D"après la question précédente "Aest plus fort queB» carPpA¡Bq ¡12 c)PpB¡Cq PpC2q 46 23

¡12

et donc "Best plus fort queC». d)PpC¡Aq PpC6qPpC2,A0q 26 46
26
59

¡12

et donc "Cest plus fort queA». e)C"est une conséquence directe des trois questions précédentes carAest plus fort queB, qui est plus fort queC, qui plus fort queA. f)Nous avonsXAP t0,4,8uavecPpXA0q PpA0q219 ,PpXA8q PpA4q2 49
et donc finalementPpXA4q 119 49
49

Nous avonsXBP t6uavecPpXB6q 1.

Nous avonsXCP t4,8,12uavecPpXC4q PpC2q249

,PpXC12q PpC 6q219 et donc finalementPpXC8q 149 19 49
g)PpCC¡BBq PpXC8q PpXC12q 49 19 59

¡12

et donc "Cest plus costaud queB». h)PpBB¡AAq PpXA0q PpXA4q 19 49
59

¡12

, donc "Best plus costaud queA».

PpCC¡AAq PpXC12q PpXC8qPpXA 8q PpXC4qPpXA 4q

19 49
59
49
19 3481
12 , etPpAA¡CCq PpA8qPpC4q 49 49
1681
12

Ainsi, niAniCn"est plus costaud que l"autre.

i)D"après les deux questions précédentes il existe un dé plus costaud queAet un dé plus

costaud queB. J"ai donc intérêt à choisirCqui est plus costaud queBet qui n"est pas moins costaud queA.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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