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Introduction au calcul scientifique1

MA261. Introduction au calcul scientifique

Corrig´e 1 : Introduction `a Matlab.

Exercice 1Soient les vecteurs colonnes et la matrice suivants ?u 1=(( 1 2 3)) , ?u2=(( -5 2 1)) , ?u3=(( -1 -3 7)) , A=(( 2 3 4 7 6 5

2 8 7))

1.Structures Matlab

(a) Entrer ces donn´ees sous Matlab. (b) Calculer?u1+ 3?u2-?u3/5. (c) Calculer le produit scalaire entre les vecteurs?u1et?u2. (d) Calculer le produitA?u1.

2.Commandes MatlabTrouver les commandes Matlab permettant de :

(a) calculer??u1?2,??u2?1,??u3?∞; (b) d´eterminer les dimensions de la matriceA, en extraire le nombre de colonnes; (c) calculer le d´eterminant et l"inverse deA.

3.R´esolution de syst`emes lin´eairesProposer deux m´ethodes permettant de r´esoudre le probl`emeA?x=?u1, et d´eterminer

les commandes Matlab associ´ees.

Corrig´e 1Taper en ligne :

u1 = [ 1 ; 2 ; 3 ] u2 = [ -5 ; 2 ; 1 ] u3 = [ -1 ; -3 ; 7 ]

A = [ 2 3 4 ; 7 6 5 ; 2 8 7 ]

u1+3*u2-u3/5 u1"*u2 A*u1 norm(u1,2) norm(u2,1) norm(u3,inf) size(A) size(A,2) det(A) inv(A) x = inv(A)*u1 x = A\u1 Exercice 2Soient la matrice et les vecteurs colonnes suivants A=((

5/8-1/4 1/8

1/4 0 1/4

1/8-1/4 5/8))

,?b=(( 1 -1 1)) ,?u1=(( 5 2 -4)) On d´efinit, pourn≥1, la suite de vecteurs?un+1=A?un+?b.

Introduction au calcul scientifique2

1. Construire une fonctionsuite.mcalculant les premiers termes de la suite?un. Cette

fonction aura comme arguments d"entr´ee les donn´ees suivantes : la matriceA, le second membre?b, le terme initial?u1, et le nombre de termes voulusnbit.

2. Repr´esenter graphiquement l"´evolution de chacune descomposantes.

Qu"observe-t-on?

3. Soient

?u 1b=(( 2 1 0)) ,Ab=(( 5 6 3 -1 5-1

1 2 0))

Observe-t-on le mˆeme comportement si on remplace?u1par?u1b? Que se passe-t-il si on remplaceAparAb(quel que soit le terme initial)? Corrig´e 2Dans le fichiersuite.m, cr´eer la fonction : function u = suite(A,u1,b,nb_it) u = zeros(3,nb_it+1); u(:,1) = u1; for k = 1:nb_it u(:,k+1) = A*u(:,k)+b; end

Puis, taper en ligne :

A = [ 5/8 -1/4 1/8 ; 1/4 0 1/4 ; 1/8 -1/4 5/8 ]

b = [ 1 ; -1 ; 1 ] u1 = [ 5 ; 2 ; -4 ] u = suite(A,u1,b,30); Pour ´etudier le comportement des it´er´es, taper en ligne : hold on plot(u(1,:),"g") plot(u(2,:),"r") plot(u(3,:),"y") hold off

Les it´erations convergent visuellement vers((

10/3 2/3

10/3))

u1b = [ 2 ; 1 ; 0 ]; ub = suite(A,u1b,b,30); hold on plot(ub(1,:),"g") plot(ub(2,:),"r") plot(ub(3,:),"y") hold off

Les it´erations convergent visuellement vers

10/3 2/3

10/3))

Introduction au calcul scientifique3

Ab = [ 5 6 3 ; -1 5 -1 ; 1 2 0 ]

Pour les deux termes initiaux?u1et?u1b, la suite diverge. Pour des it´erations du type?un+1=A?un+?b, il y a convergence si, et seulement si, le rayon spectral deAest strictement inf´erieur `a un. On rappelle que si (λi(A))isont les valeurs propres deA(dansC), alors on a par d´efinition

ρ(A) = maxi|λi(A)|.

Or, on trouveρ(A) = 1/2 etρ(Ab)≈5.9.

Exercice 3SoitA?Rn×n. On introduit le vecteurpAL(resp.pAC), appartenant `aRn, des indices des colonnes (resp. des lignes) du premier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne). Par convention, si tous les coefficients d"une ligne (resp. d"une colonne) sont nuls, le nombre report´e estn+ 1. Par exemple, pour la matrice

A=((((5 6 3 00 5-1 0

0 0 0 0

0 0-1 4))))

?R4×4,on apAL=((((1253)))) etpAC=((((1114)))) Les profils en lignePALet en colonnePACpeuvent alors se d´efinir comme ´etant : P P Leur utilit´e premi`ere est d"´eviter de stocker les composantes nulles en d´ebut de chaque ligne ou colonne. 1. ´Ecrire une fonction qui pour toute matrice calcule son profilligne et colonne, i.e. renvoie les vecteurspALetpAC. Aide : utiliser la fonction Matlab retournant le minimum d"un ensemble.

2. Comment pourrait-on simplement am´eliorer les profils enligne et en colonne?

3. Que peut-on dire des profils des matrices sym´etriques et sym´etriques d´efinies-positives?

Modifier en cons´equence votre fonction.

Corrig´e 31. DansProfil.m, cr´eer la fonctionProfil: function [pL,pC] = Profil(A)

N = size(A,1);

pL = zeros(N,1); pC = zeros(N,1); for I = 1:N pL(I) = min(find(A(I,:))); pC(I) = min(find(A(:,I))); end En sortie, les vecteurs colonnespLetpCcontiennent les valeurs depALetpACavec la correspondancepL(I) = 0??(pAL)i=n+1 (resp.pC(I) = 0??(pAC)i=n+1.)

Introduction au calcul scientifique4

2. Il suffit de d´efinir deux vecteursqAL(resp.qAC) des indices des colonnes (resp. des

lignes) du dernier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne), avec un nombre report´e´egal `a 0 si tous les coefficients sont nuls. Les profils correspondants sont : P P

3. Lorsqu"une matriceAest sym´etrique, on a toujourspAL=pAC: il suffit d"introduire

un unique vecteurpA. Si de plus, la matrice est d´efinie-positive, on remarque queAi,i= (A?ei,?ei)>0, et Par ailleurs, siAest sym´etrique d´efinie-positive, on peut utiliser la factorisation de Cholesky pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires du typeA?x=?b. Dans un premier temps, on calcule la matrice triangulaire inf´erieureLtelle que A=LLT. Dans un second temps, on r´esout successivementL?y=?betLT?x=?ypar un algorithme de descente-remont´ee. Bien sˆur, pour une matriceLtriangulaire inf´erieure, on sait quei,j= 0 d`es que j > i. Leprofil optimis´ed"une telle matrice est donc P Et, pour conclure, si on d´efinit leprofil optimis´ed"une matrice SDP comme ´etant : P

son int´erˆet principal est d"ˆetre conserv´e par la factorisation de Cholesky! En d"autres

termes, on a la propri´et´e :PLopt=PAopt. Dans le fichierProfSDP.m, cr´e´er la fonctionProfSDP: function p = ProfSPD(A) % On suppose que A est SPD.

N = size(A,1);

p = zeros(N,1); for I = 1:N p(I) = min(find(A(:,I))); end En sortie, le vecteur colonnepcontient les valeurs dep. Exercice 41.´Ecrire une fonction MatlabGenereMatriceg´en´erant une matrice d"ordre quelconque avec des ´el´ements al´eatoires. 2. ´Ecrire une fonction MatlabGenereSystemeconstruisant des syst`emes lin´eaires al´eatoires, et les r´esolvant (lorsque c"est possible). Corrig´e 41. Dans le fichierGenereMatrice.m, cr´eer la fonction : function A = GenereMatrice(m,n,Amax)

A = Amax*rand(m,n);

Introduction au calcul scientifique5

Aest une matriceRm×n, dont les ´el´ements sont compris entre 0 etAmax. On peut aussi utiliserrandnpour avoir des ´el´ements n´egatifs, ousprandetsprandnlorsque metnsont tr`es grands.

2. Dans le fichierGenereSysteme.m, cr´eer la fonction :

function [A,b,x,msg] = GenereSysteme(m,Amax,bmax)

A = GenereMatrice(m,m,Amax);

b = bmax*rand(m,1); if det(A)~=0 x = A\b; msg = "ok"; else x = 0; msg = "pas de solution"; end

Mise en oeuvre informatique `a l"aide de Matlab

1.Points `a retenir:

- Lancement de Matlab. - Commandeshelpetlookfor; utilisation de lanotice. - Cr´eation d"un r´epertoire pour ranger les fichiers Matlab. - Ecriture d"une fonctionxxxet sauvegarde dans un fichierxxx.m.

2.Fonctionnalit´es Matlab `a maˆıtriser:

- Initialisation (structurespleinespar d´efaut) pour vecteurs et matrices : u = zeros(N,1), A = zeros(N,M). - G´en´erateural´eatoirepour construction d"exemples : u = rand(N,1), A = rand(N,M).quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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Introduction au calcul scientifique1

MA261. Introduction au calcul scientifique

Corrig´e 1 : Introduction `a Matlab.

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1.Structures Matlab

2.Commandes MatlabTrouver les commandes Matlab permettant de :

3.R´esolution de syst`emes lin´eairesProposer deux m´ethodes permettant de r´esoudre le probl`emeA?x=?u1, et d´eterminer

Corrig´e 1Taper en ligne :

A = [ 2 3 4 ; 7 6 5 ; 2 8 7 ]

5/8-1/4 1/8

1/4 0 1/4

1/8-1/4 5/8))

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1. Construire une fonctionsuite.mcalculant les premiers termes de la suite?un. Cette

2. Repr´esenter graphiquement l"´evolution de chacune descomposantes.

Qu"observe-t-on?

3. Soient

1 2 0))

Puis, taper en ligne :

A = [ 5/8 -1/4 1/8 ; 1/4 0 1/4 ; 1/8 -1/4 5/8 ]

Les it´erations convergent visuellement vers((

10/3))

Les it´erations convergent visuellement vers

10/3))

Introduction au calcul scientifique3

Ab = [ 5 6 3 ; -1 5 -1 ; 1 2 0 ]

ρ(A) = maxi|λi(A)|.

Or, on trouveρ(A) = 1/2 etρ(Ab)≈5.9.

A=((((5 6 3 00 5-1 0

0 0 0 0

0 0-1 4))))

2. Comment pourrait-on simplement am´eliorer les profils enligne et en colonne?

3. Que peut-on dire des profils des matrices sym´etriques et sym´etriques d´efinies-positives?

Modifier en cons´equence votre fonction.

N = size(A,1);

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2. Il suffit de d´efinir deux vecteursqAL(resp.qAC) des indices des colonnes (resp. des

3. Lorsqu"une matriceAest sym´etrique, on a toujourspAL=pAC: il suffit d"introduire

N = size(A,1);

A = Amax*rand(m,n);

Introduction au calcul scientifique5

2. Dans le fichierGenereSysteme.m, cr´eer la fonction :

A = GenereMatrice(m,m,Amax);

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1.Points `a retenir:

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