[PDF] Probabilités et Statistiques Pour le cours de “Probabilité

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Probabilités et Statistiques

Julian Tugaut

FISE 1

Version du 12 mars 2023

ii

Table des matières

Table des matières iii

Liste des figures xiii

Liste des tableaux xvii

Avant-propos 1

Notations 3

I Probabilités 5

1 Le langage des ensembles 7

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Notion d"ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3 Inclusion, Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.4 Complémentaire d"un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . .

14

1.3 Partition d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4 Rappels sur la dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 iii ivTABLE DES MATIÈRES

2 Le modèle probabiliste 19

2.1 Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1 L"espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2 Les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Définition et propriétés d"une probabilité . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.3 Espace fondamental dénombrable . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3 Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.2 Indépendance d"évènements . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.3 Lemmes de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Généralités sur les variables aléatoires 43

3.1 Définition et Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.1.2 Opérations sur les variables aléatoires réelles . . . . . . . .

45

3.2 Loi d"une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3 Indépendance des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . .

52

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.3 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4 Variables aléatoires discrètes 55

4.1 Caractérisation de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.1.1 Calcul de la probabilité d"un intervalle . . . . . . . . . . .

56

4.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2.1 Espérance d"une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . .

57

4.2.2 Variance, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5 Lois de probabilité discrètes classiques 71

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

TABLE DES MATIÈRESv

5.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.2 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.3.3 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.3.4 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.3.5 Décomposition deX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

5.3.6 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3.7 Somme de lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.3.8 Courbe représentative de la loi binomiale . . . . . . . . . .

82

5.3.9 Tables de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.4.2 Courbe représentative de la loi de Poisson . . . . . . . . .

85

5.4.3 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.4.4 Somme de lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.4.5 Tables de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

6 Autres lois discrètes classiques 89

6.1 Loi de Rademacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.2 Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

6.3 Loi triangulaire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

6.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6.5 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

6.6 Loi de Zipf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.7 Loi de Benford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.8 Loi logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.9 Loi zêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

7 Fonctions génératrices 103

7.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

7.2 Fonctions génératrices des lois classiques . . . . . . . . . . . . . .

104

7.2.1 SiPX=B(p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

7.2.2 SiPX=B(n;p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

7.2.3 SiPX=P(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

7.2.4 Pour d"autres lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . .

105

7.3 Résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

7.4 Extinction des grands noms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

8 Variables aléatoires à densité 111

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

8.2 Densité : définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

8.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

8.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

8.3 Calcul de la probabilité d"un intervalle . . . . . . . . . . . . . . .

1 14 viTABLE DES MATIÈRES

8.4 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

8.4.1 Espérance d"une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . .

115

8.4.2 Variance, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

8.4.3 Mélange de variables discrètes et à densité . . . . . . . . .

123

8.4.4 Skewness et kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

9 Lois de probabilité continues classiques 125

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

9.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

9.2.1 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

9.3 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

9.3.1 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

9.4 Loi normale (ou gaussienne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

9.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132
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